11.1.5　旋转体

知识点1　圆柱、圆锥、圆台的有关概念

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．                             (　　)

(2)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． (　　)

[提示]　(1)正确；(2)错误，应是平面与圆锥底面平行．

[答案]　(1)√　(2)×

知识点2　旋转体的侧面积与表面积

(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)．

(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式

2．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为(　　)

A．1∶2      B．1∶1    C．1∶4      D．1∶3

B　[以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，

故S1∶S2＝1∶1，选B．]

知识点3　球

1．球的结构特征

2．球的表面积S＝4πR2(R为球的半径)．

3．有下列说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；

②球的直径是球面上任意两点间的连线；

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．

其中正确说法的序号是________．

①　[利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．]

类型1　旋转体的结构特征

【例1】　下列命题中正确的是________(填序号)．

①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周所得到的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥；

⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

④⑤⑥　[①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周得到的旋转体才是圆锥，①错误；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周得到的旋转体才是圆台，②错误；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误；④⑤⑥正确．]

判断旋转体形状的步骤

(1)明确旋转轴．

(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与旋转轴的位置关系．

(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状．

1．(多选题)下列命题中正确的是(　　)

A．圆台的母线延长后交于一点

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

AC　[A正确．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．C正确．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选AC．]

类型2　简单组合体的结构特征

【例2】　一直角梯形ABCD如图所示，分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．

[思路探究]　平面图形旋转⇒旋转体的概念及结构特征．

[解]　以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．

旋转体的形状判断技巧

(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．

2．描述下列几何体的结构特征．

[解]　图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．

类型3　旋转体中的计算

1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？

[提示]　 圆面．

2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？

[提示]　分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．

3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？

[提示]　因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．

【例3】　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．

[思路探究]　作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．

[解]　圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm．

又由题意知，腰长为12 cm，

所以高AM＝

＝3(cm)．

将本例中圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长．

[解]　如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，

设截得此圆台的圆锥的母线长为l，

则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm．

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．

与圆锥有关的截面问题的解决策略

求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．

3．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径．

[解]　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，

得＝，

即1－＝，解得r＝1．

即圆柱的底面半径为1．

类型4　与球有关的计算问题

【例4】　在球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2 ,400π cm2，求此球的半径．

[解]　设球的半径为R cm，两截面圆的半径分别为r cm，r1 cm(r1＜r)，

由πr＝49 π，得r1＝7，由πr2＝400π，得r＝20．

若两截面位于球心的同侧，如图①，C，C1分别是两平行截面的圆心，

在Rt△OBC1中，OC1＝＝(cm)，

在Rt△OAC中，OC＝＝(cm)，

由题意知OC1－OC＝9 cm，即－＝9，解得R＝25．

①　　　　　　　②

若两截面位于球心两侧，如图②，

OC1＝ cm，OC＝ cm，

由题意知OC1＋OC＝9 cm，

即＋＝9，

＝9－，

两边平方得＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．

综上所述，此球的半径为25 cm．

球的截面问题的解题思路

一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径(r)、球心到截面的距离(d)、球的半径(R)之间的数量关系(r2＋d2＝R2)是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面(过球的直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题．

4．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为(　　)

A．24π　　　　　　　　 B．28π

C．32π   D．36π

C　[由题意知球的半径R＝4，所以球的表面积为4πR2＝64π．设圆柱的底面半径为r，高为h，则r2＋＝42，得4r2＋h2＝64，即h2＝64－4r2，所以圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π＝2π＝4π＝4π(0＜r＜4)，所以当r2＝8，即r＝2时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π．此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π－32π＝32π．]

1．旋转后形成如图所示的几何体的平面图形是(　　)

A 　　 B  　 C　 　D

A　[观察几何体的轴截面知，A正确．]

2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　)

A．圆柱　　　B．圆锥　　　C．圆台　　　D．两个圆锥

D　[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．]

3．关于圆台，下列说法正确的是________．

①两个底面平行且全等；

②圆台的母线有无数条；

③圆台的母线长大于高；

④两底面圆心的连线是高．

②③④　[圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆面，则①不正确，②③④正确．]

4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm．

10　[如图是圆锥的轴截面，

则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，

∴AO＝10 cm，SO＝10 cm．]

5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________．

　[设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得

解得r＝．所以此圆柱的底面半径为．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗？

[提示]　能，这三类几何体都是旋转体，可以分别通过矩形，直角三角形，直角梯形绕一特定轴旋转形成．

2．将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形？请画出来．  

[提示]　将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，然后在平面上展开，侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环，如图所示．

3．实际生活中，飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行？

[提示]　因为球面上两点间的最短距离是球面距离，这样走可使行程最短．