人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.1 向量数量积的概念课堂教学课件ppt

课后素养落实(十四)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是(　　)

A．e1·e2＝1　 B．e1·e2＝－1

C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1

C　[因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos 0°＝1；

当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos 180°＝－1.

综上所述，得e1·e2＝±1.]

2．在△ABC中，·<0，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

C　[因为·＝||||cos A<0，

所以cos A<0.所以角A是钝角．

所以△ABC是钝角三角形．]

3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量是，则a·b为(　　)

A．3　 B．　　　

C．2　 D．

B　[a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉＝|b|·|a|cos 〈a，b〉＝3×＝.]

4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于(　　)

A．150° B．120°  

C．60° D．30°

B　[如图所示．因为|a|＝|b|＝|c|，

所以△OAB是等边三角形．

所以〈a，b〉＝120°.]

5．(多选题)给出下列判断，其中正确的是(　　)

A．若a2＋b2＝0，则a＝b＝0

B．已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝，则|a·c|＝|b·c|

C．a，b共线⇔a·b＝|a||b|

D．|a||b|<a·b

AB　[由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正确；若a＋b＝，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故B正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以C不正确；对于D应有|a||b|≥a·b，所以D不正确．故选AB.]

二、填空题

6．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b 上投影的数量为______．

3　[因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝3.]

7．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．

－25　[ 因为||2＝||2＋||2，

所以B＝90°，所以·＝0.

因为cos  C＝，cos  A＝，

所以·＝||·||cos (180°－C)

＝4×5×＝－16.

·＝||·||cos (180°－A)

＝5× 3×＝－9.

所以·＋·＋·＝－25.]

8．已知正方形ABCD的边长为2，则向量在上的投影的数量为________，在上的投影的数量为________．

0　－　[法一：因为正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量在上的投影的数量为||cos 90°＝0，在上的投影的数量为||cos 135°＝2×＝－.

法二：如图，正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量在上的投影的数量为0，在上的投影的数量为，所以在上的投影的数量为－.]

三、解答题

9．已知|a|＝2，b2＝3，在下列情况下分别求a·b.

(1)a∥b；

(2)a⊥b；

(3)a与b的夹角为150°.

[解]　因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝.

(1)当a∥b时， a·b＝|a||b|cos 0°＝2××1＝2或a·b＝|a||b|cos 180°＝2××(－1)＝－2.

(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos 90°＝2××0＝0.

(3)当a与b的夹角为150°时， a·b＝|a||b|cos 150°＝2××＝－3.

10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求：

(1)在方向上投影的数量；

(2)在方向上投影的数量．

[解]　连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，

所以△ABC是等腰直角三角形．

又因为D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，

所以BD＝2.

延长AB到E(如图所示)，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°.

因此，

(1)在方向上投影的数量是

||cos 135°＝4×＝－2.

(2)在方向上投影的数量是

||cos 135°＝2×＝－2.

11．如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 ·的值为(　　)

A．r B．2r  

C．1 D．2

D　[如图，作AB的中点H，连接CH，则向量在方向上的投影的数量为AH＝||cos ∠CAB，

所以·＝||||cos ∠CAB＝||||＝2.]

12．(多选题)对于非零向量a，b，c，下列命题正确的是(　　)

A．若a·b＝b·c，则a＝b

B．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2

C．若a∥b，则a在b上的投影的数量为|a|

D．若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，则a∥b

BD　[对于选项A，若a·b＝b·c，则(a－c)·b＝0，故A错误；对于选项B，若a⊥b，所以a·b＝0，则a·b＝(a·b)2，故B正确；对于选项C，若a∥b，则a在b上的投影的数量为±|a|，故C错误；对于选项D，若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，推出a＝－b，由平行向量基本定理可知a∥b，故D正确．故选BD.]

13．如图所示，一个大小为5 N，与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3 N，方向水平向左．小车向右运动的距离为2 m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cos 37°≈0.8)为________．小车克服阻力做的功为________．

8 J　6 J　[拉力F对小车做的功WF＝Fs cos θ＝5×2×0.8 J＝8 J，

小车克服阻力做的功为W克f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．]

14．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·(e1－e2)＝0，且b·e1＝1，则|b|＝________．

　[因为e1·e2＝|e1|·|e2|cos 〈e1，e2〉＝cos 〈e1，e2〉＝.

又0°≤〈e1，e2〉≤180°，所以〈e1，e2〉＝60°.

因为b·(e1－e2)＝0，所以b与e1，e2的夹角均为30°，

所以b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1，

从而|b|＝＝.

15．如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：

(1)·；(2)·.

[解]　(1)因为∥，且方向相同，

所以与的夹角是0°，

所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9.

(2)因为与的夹角为60°，

所以与的夹角为120°，

所以·＝||||·cos 120°

＝4×3×＝－6.