2018-2022年河北中考数学5年真题1年模拟汇编 专题03 函数（学生卷+教师卷）

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专题03 函数
5年中考真题
一、单选题
1．【2020年】如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1.
下列判断正确的是（       ）

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【解析】
【分析】
分别令x（4－x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数．
【详解】
当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式．
2．【2018年】对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（　　）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=3，4，5
【详解】
解：∵抛物线L：y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点
∴①如图1，抛物线与直线相切，

联立解析式
得x2-2x+2-c=0
△=（-2）2-4（2-c）=0
解得：c=1，
当c=1时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；
②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点

此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上
∴c的最小值=2，但取不到，c的最大值=5，能取到
∴2＜c≤5
又∵c为整数
∴c=3，4，5
综上，c=1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．
3．【2022年】某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
【详解】
解：依题意，
，
，且为整数．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
4．【2019年】如图，函数的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数解析式可知函数关于y轴对称，当x＞0时，图象在一象限，当x＜0时，图象在二象限，即可求解．
【详解】
由已知可知函数y关于y轴对称，∴y轴与直线PM重合．当x＞0时，图象在一象限，当x＜0时，图象在二象限，即图象在x轴上方，所以点M是原点．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
二、填空题
5．【2021年】用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．

（1）当时，与的交点坐标为__________；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点A和，为能看到在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数__________．
【答案】          4
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意，得
∴
∵
∴是的解
∴当时，与的交点坐标为：
故答案为：；
（2）当时，得
∴
∵
∴是的解
∴与的交点坐标为：
∵（1）视窗可视范围就由及，且
∴
根据题意，得为正整数
∴
∴
同理，当时，得
∴
∴
∴
∵要能看到在A和之间的一整段图象
∴
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解．
6．【2020年】如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．

（1）若过点，则_________；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则_________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有_________个．
【答案】     －16     5     7
【解析】
【分析】
（1）先确定T1的坐标，然后根据反比例函数（）即可确定k的值；
（2）观察发现，在反比例函数图像上的点，横纵坐标只积相等，即可确定另一点；
（3）先分别求出T1~T8的横纵坐标积，再从小到大排列，然后让k位于第4个和第5个点的横纵坐标积之间，即可确定k的取值范围和k的整数值的个数．
【详解】
解：（1）由图像可知T1（-16,1）
又∵．函数（）的图象经过T1
∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）
∵过点
∴k=-10×4=40
观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．
故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像上的点的横纵坐标积等于k是解答本题的关键．
三、解答题
7．【2022年】如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，．

(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析②5
【解析】
【分析】
（1）设直线AB的解析式为，把点，代入，即可求解；
（2）①根据题意得，点C（2，0），把点C（2，0）代入，即可求解；
②由①得：，可得，再根据题意找到线段AB上的整点，再逐一代入，即可求解．
(1)
解：设直线AB的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴AB所在直线的解析式为；
(2)
解： ，理由如下：
若有光点P弹出，则c＝2，
∴点C（2，0），
把点C（2，0）代入得：
；
∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为；
②由①得：，
∴，
∵点，，AB所在直线的解析式为，
∴线段AB上的其它整点为，
∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，
∴直线CD过整数点，
∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-7，18）时，，即，
当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4，
当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10，
当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在，
当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8，
当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2，
当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即（不合题意，舍去），
综上所述，此时整数m的个数为5个．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，即直线CD过整数点是解题的关键．
8．【2021年】下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方，2号机从原点处沿仰角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．

（1）求的关于的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求的关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
【注：（1）及（2）中不必写的取值范围】
【答案】（1）， （km/min）（2），（3）min
【解析】
【分析】
（1）根据图象分析得知，解析式为正比例函数，根据角度判断k值，即可求得．
（2）根据B、C两点坐标，待定系数法求表达式即可，着陆点令,求解即可．
（3）根据点Q的位置，观察图象，找到满足题意的范围，分类讨论计算即可．
【详解】
解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为:
∵2号机从原点处沿仰角爬升
∴
又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间（min）
∴2号机的飞行速度为：（km/min）
（2） 设线段BC所在直线的函数表达式为：
∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min,
点B的横坐标为：；点B的纵坐标为：4，即,
将,代入中，得：

解得：
∴
令 ,解得：
∴2号机的着陆点坐标为
（3）当点Ｑ在时，要保证 ，则：；
当点Q在上时，,此时，满足题意,时长为（min）；
当点Q在上时，令 ，解得：，此时（min），
∴当时，时长为：（min）
【点睛】
本题考查变量之间的关系、待定系数法求一次函数解析式，根据实际问题，数形结合讨论是解题的关键.
9．【2020年】表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．

－1
0

－2
1

（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
【答案】（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到直线，联立两直线求出交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）分对称点在直线l，直线和y轴分别列式求解即可．
【详解】
（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），
令，
解得，
∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；

（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,
令，解得x=,
∴2×=a-3，
解得a=7；
②当对称点在直线上时，
则2×（a-3）=，
解得a=；
③当对称点在y轴上时，
则+（）=0，
解得a=；
综上：的值为或或7．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐标的对称性．
10．【2019年】长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置开始行进的时间为，排头与的距离为

（1）当时，解答：
①求与的函数关系式（不写的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置的距离为，求与的函数关系式（不写的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为，求与的函数关系式（不写的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【答案】（1）①；②；（2）与的函数关系式为：，此时队伍在此过程中行进的路程为．
【解析】
【分析】
（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．
【详解】
（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300；
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．
（2）T=t追及+t返回，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v400；
因此T与v的函数关系式为：T，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．

【点睛】
本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
11．【2018年】如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．

【答案】（1）m=2，l2的解析式为y=2x；（2）S△AOC﹣S△BOC=15；（3）k的值为或2或﹣．
【解析】
【分析】
（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；
（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k=；当l2，l3平行时，k=2；当11，l3平行时，k=﹣；故k的值为或2或﹣．
【详解】
解：（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣x+5，可得
4=﹣m+5，
解得m=2，
∴C（2，4），
设l2的解析式为y=ax，则4=2a，
解得a=2，
∴l2的解析式为y=2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S△AOC﹣S△BOC=×10×4﹣×5×2=20﹣5=15；

（3）一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，
∴当l3经过点C（2，4）时，k=；
当l2，l3平行时，k=2；
当11，l3平行时，k=﹣；
故k的值为或2或﹣．
【点睛】
本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．
12．【2022年】如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．

(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
【答案】(1)对称轴为直线，的最大值为4， (2)5
【解析】
【分析】
（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值；
（2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程．
(1)，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
(2)∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．
13．【2020年】用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．
（1）求与的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．

①求与的函数关系式；
②为何值时，是的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围】
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】
【分析】
（1）设W=kx2，利用待定系数法即可求解；
（2）①根据题意列出函数，化简即可；②根据题意列出方程故可求解．
【详解】
（1）设W=kx2,
∵时，
∴3=9k
∴k=
∴与的函数关系式为；
（2）①∵薄板的厚度为xcm，木板的厚度为6cm
∴厚板的厚度为（6-x）cm，
∴Q=
∴与的函数关系式为；
②∵是的3倍
∴-4x+12=3×
解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去)
经检验，x=2是原方程的解，
∴x=2时，是的3倍．
【点睛】
此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解．
14．【2021年】下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点．

（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；
（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；
（3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？
【注：（2）中不必写的取值范围】
【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）．
【解析】
【分析】
（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点的坐标可以确定轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；
（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点；
（3）抓住二次函数图象不变，是在左右平移，要求点横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．
【详解】
解：（1）当，，
解得：，
在左侧，，
关于对称，
轴与重合，如下图：

由题意在坐标轴上标出相关信息，
当时，，
解得：，
，
∴点会落在的台阶上，坐标为，
（2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：，
由（1）知，抛物线过，将代入，
，
解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过），
抛物线:，
关于，且，
其对称轴与台阶有交点．
（3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大；
当，，
解得：（取舍），
故点的横坐标最大值为：，
当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小；
当，，
解得：（舍去），
故点的横坐标最小值为：，
则点横坐标的最大值比最小值大：，
故答案是：．
【点睛】
本题综合性考查了二次函数的解析式的求法及图象的性质，图象平移，抛物线的对称轴，解题的关键是：熟练掌握二次函数解析式的求法及图象的性质，通过已知的函数求解平移后函数的解析式．
15．【2019年】如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．
【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）当b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【解析】
【分析】
（1）求出A、B的坐标，由AB=8，可求出b的值．从而得到L的解析式，找出L的对称轴与a的交点即可；
（2）通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l的距离，配方即可得出结论；
（3）由題意得y1+y2=2y3，进而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L与x轴右交点为D的坐标，即可得出结论；
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x直线解析式a：y=x﹣2019，美点”总计4040个点，②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，“美点”共有1010个．
【详解】
（1）当x=0时，y=x﹣b=﹣b，∴B（0，﹣b）．
∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，当x=2时，y=x﹣4=﹣2，∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2）；
（2）y=﹣（x）2，∴L的顶点C（，）．
∵点C在l下方，∴C与l的距离b（b﹣2）2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；
（3）∵y3是y1，y2的平均数，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．
∵x0≠0，∴x0=b，对于L，当y=0时，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．
∵b＞0，∴右交点D（b，0），∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b）．
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，直线解析式a：y=x﹣2019．
联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
16．【2018年】如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．

【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y=，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v乙＞7.5
【解析】
【详解】
【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；
（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．
【详解】（1）由题意，点A（1，18）代入y=，
得：18=，
∴k=18，
设h=at2，把t=1，h=5代入，
∴a=5，
∴h=5t2；
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，
∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
则t=（x-1），
∴y=﹣（x-1）2+18=，
当y=13时，13=﹣（x-1）2+18，
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
把x=6代入y=，
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；
（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18
得t2=，
解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y=上，
此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8），
由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，
∴v乙＞7.5.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键.本题也考查了函数图象上的临界点问题．
1年模拟新题
一、单选题
1．（2022·河北邯郸·二模）一个周六的早上，小新骑共享单车到区图书馆看书，看完书后步行回家，下列图象能大致反映这一过程的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得离家的距离越来越远，以及看完书后步行回家，速度比原来慢，据此判断即可．
【详解】
解：A．因为看完书后步行回家，速度比原来慢，属于回来所用的时间比去的时间多，故本选项不合题意；
B．去图书馆时，离图书馆的距离越来越小，故本选项不合题意；
C．去图书馆时骑共享单车，速度较快；看书时速度为0，看完书后步行回家，速度比原来慢，故本选项不合题意；
D．去图书馆时路程越来越远，看书时路程不变，回家时路程增加，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是函数图象，要求学生具有利用函数的图象信息解决生活中的实际问题的能力．
2．（2022·河北保定·二模）正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得即可求解．
【详解】
根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，
等边

是正方形，
，，
，则，
．
．
故选C．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图像，正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，从函数图像上获取信息是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·二模）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．
【详解】
解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1；
在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是；
由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．
因而应选第一个图象．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分段函数的画法，运用数形结合的思想是解题的关键．
4．（2022·河北唐山·二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动，设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图像能反映y与x的函数关系的是（　　）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得AB=AD=BC=4，BE=，由点P的运动，分别计算出，当点P从点A运动到点B时；当在线段BC上时；当点P在线段CD上时，△ADP的面积的表达式，由此判断各个选项．
【详解】
解：过点B作BE⊥AD于点 E，如图所示：

边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD=BC=4，
∴∠ABE=30°，
∴AE=2，BE=，
当点P从点A运动到点B时，过点P作PF⊥AD于点F，

则AP=x，AF=，PF=，
S△ADP=•AD•PF=×4=，
∴△ADP的面积逐渐增大；
当在线段BC上时，
S△ADP=•AD•BE=×4×=，
∴△ADP的面积保持不变；
当点P在线段CD上时，如图，过点P作PM⊥AD交AD的延长线于点M，

则AB+BC+CP=x，
则DP=12-x，DM=6，PM=DM=，
S△ADP=•AD•PM=×4×（）=，
∴△ADP的面积逐渐减小．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数图像及菱形的性质，含30°的直角三角形等内容，熟练掌握函数图像及菱形的性质是解题关键．
5．（2022·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象不过点的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用x=1时，求函数值进行一一检验是否为1即可
【详解】
解：当x=1时，，图象过点，选项A不合题意；
当x=1时，，图象过点，选项B不合题意；
当x=1时，，图象不过点，选项C合题意；
当x=1时，，图象过点，选项D不合题意；
故选择：C．
【点睛】
本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
6．（2022·河北石家庄·一模）已知一次函数满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，以下选项所给的一次函数图象满足这个条件的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）满足自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，
∴y随x的增大而增大，排除C、D，
A选项，自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加1个单位长度，不符合题意，
B选项，自变量x每增加1个单位长度，函数值y就增加2个单位长度，符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2022·河北·新河县教师发展中心一模）如图，甲乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y（km）与出发时间t（h）的关系如图所示，下列说法错误的是（       ）

A．甲的速度是16km/h B．出发时乙在甲前方20km
C．甲乙两人在出发后1.5小时第一次相遇 D．甲到达B地时两人相距30km
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知甲10小时所走路程是160km，即得甲的速度是16km/h，可判定A；根据出发时甲距B地80千米，乙距B地60千米，可判断B；由图得乙的速度是6km/h，即可得甲2小时比乙多走20km，可判断C；甲5小时达到B地可求此时乙所走路程为30km，即得甲到达B地时两人相距30km，可判断D．
【详解】
解：A、由图可知：甲10小时所走路程是80×2=160（km），∴甲的速度是16km/h，故A正确，不符合题意；
B、∵出发时甲距B地80千米，乙距B地60千米，
∴发时乙在甲前方20km，故B正确，不符合题意；
C、由图可得乙的速度是60÷10=6（km/h），
∴出发2小时，乙所走路程是6×2=12（km），甲所走路程为16×2=32（km），
即甲2小时比乙多走20km，
∴甲乙两人在出发后2小时第一次相遇，故C错误，符合题意；
D、∵甲5小时达到B地，此时乙所走路程为5×6=30（km），
∴甲到达B地时两人相距60-30=30（km），故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解图象中特殊点的意义，从函数图象获取到有用信息．
8．（2022·河北·一模）如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出直线AB的解析式为，然后设点P的坐标为，可得，从而得到四边形的面积为，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】
解：设直线AB的解析式为
，
把点代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设点P的坐标为，
∵，
∴点C（-1，0），
∵于点E，于点D，
∴，
∴四边形的面积为

，
∴当m=3时，四边形的面积最大，此时点P（3，2）．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．（2022·河北石家庄·二模）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（       ）

A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【详解】
A、设反比例函数的解析式为，
把(1,200)代入得，k＝200，
∴反比例函数的解析式为：，
当x＝4时，y＝50，
∴4月份的利润为50万元，正确意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；
C、当y＝100时，则，
解得：x＝2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．
D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，
则，解得：，
故一次函数解析式为：y＝30x−70，
故y＝200时，200＝30x−70，
解得：x＝9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
10．（2022·河北·模拟预测）函数y＝ （x＞0，a为常数）的部分图像如下图所示，那么y＝ （x＞0）的图像中，随着x值的增大，y值的变化情况是（       ）

A．增大 B．减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知图像，确定a的属性，从而确定-a的属性，根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】


根据图像可知，的图像位于第一、三象限，
∴a＞0，
∴的图像位于第二、四象限，
在x＞0时，y随x的增大而增大．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像的分布及其性质，正确判断图像分布，灵活运用性质是解题的关键．
11．（2022·河北保定·二模）若点，，在反比例函数（为常数且）上，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将A、B、C的坐标代入求出、、，即可得解．
【详解】
∵A、B、C在反比例函数上，
∴，，，
∵k≠0，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，根据已知的点坐标求出相应的函数值是解答本题的关键．
12．（2022·河北保定·模拟预测）如图，点，，，，均为坐标系中的正方形网格的顶点（网格的横线都与轴平行，纵线都与轴平行，每个小正方形的边长为1），点的坐标为，在双曲线：（）中的常数的值从1逐渐增大到9的过程中，关于双曲线依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是（       ）

A．点点同时经过点，点
B．点点同时经过点，点
C．点同时经过点，点点
D．点点同时经过点，点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得：点N（2，2），点M（1，2），点T（2，3），点Q（1，3），点P（3，1），再把格点代入解析式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：点N（2，2），点M（1，2），点T（2，3），点Q（1，3），点P（3，1），
当双曲线过点M时，，
当双曲线过点N时，，
当双曲线过点Q时，，
当双曲线过点T时，，
当双曲线过点P时，，
∴在常数的值从1逐渐增大到9的过程中，关于双曲线依次经过的格点的顺序为点同时经过点，点点．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比函数的图象和性质是解题的关键．
13．（2022·河北·模拟预测）二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示：①2a＋b＝0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋c＜0；④am²＋bm＜a＋b（m≠1）；⑤abc＜0，下列结论中，正确的个数是（       ）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
对称轴可得b=-2a，可以判断①；
当x=2时，y＞0可以判断②；
当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，再根据b=-2a消元消掉b，可以判断③；
利用二次函数在x=1的时候取到最大值可以判断④；
分别判断abc的符号，再判断⑤．
【详解】
由图象可知，二次函数图象开头向下，即a＜0，对称轴为x=-1,即
可得b=-2a，即2a+b=0，①正确；
由图象可知，当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，②正确；
根据图象的对称性可知，当x=-1时，y=0，即a-b+c=3a+c=0，③错误；
当x=1时，函数取得最大值，若m≠1，则am²+bm+c＜a+b+c，即am²+bm＜a+b，④正确；
由图像可知，a＜0，c＞0，又b=-2a，故b＞0，所以，abc＜0，⑤正确。
综上，有四项正确，故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，要灵活利用二次函数开口方向、对称轴或者代入特殊点、最值进行判断．
14．（2022·河北承德·二模）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：
①a＝－1；
②抛物线的对称轴为x＝－1；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n＝1；
④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，△PAC的面积最大．
其中，所有正确的说法是（       ）

A．①③ B．②③④ C．①④ D．①②④
【答案】D
【解析】
【分析】
将C点坐标代入抛物线解析式求出a即可判断①；根据a即可得抛物线解析式，则其对称轴可得，②即可判断；只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，根据轴，OA=OC=3，即有则n可求，③即可判断；连接PC、AC、OP、PA，根据可得，则④可判断．
【详解】
∵抛物线过C点(0,3)，
∴，
∴a=-1，即①正确，
即抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为，即②正确，
当x=0时，y=3，即C点坐标为(0,3)
∴OC=3，
当y=0，有，
解得x为1或者-3，
∴A(-3,0)，B(1,0)，
∴OA=3，OB=1，
∵B(1,0)，C(0,3)，
∴，
∴要求△PBC周长最小值，即求PC+PB+BC的最小值，
∵BC为定值，
∴即求PC+PB的最小值，
可知只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，
连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，如图1所示，
∵A、B关于PM对称，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∵对称轴x=-1，
∴OM=1，
∴AM=OA-OM=3-1=2，
显然有轴，
有∵OA=OC=3，
∴，
∴PM=AM=2，
∴P点坐标为(-1,2)，
∴n=2，
∴即△PBC周长最小值时，n=2，即③错误，
如图2所示，连接PC、AC、OP、PA，
由图有：，
∵，，，
∴，
∵P在抛物线上，
∴，
∴，
整理得：，
即当时，△PAC的面积最大，即④正确，
综上分析可得，正确的有：①②④．
故选：D．
       
                 图1                                             图2
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，考查了二次函数的对称轴、最值、与坐标轴交点等知识，判断只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，是解答本题的关键．
15．（2022·河北石家庄·三模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（       ）

A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两点距离公式可计算AB长度，由图像可知抛物线的对称轴和点坐标，设出抛物线解析式，将已知点坐标代入即可得出抛物线方程，进而逐项判断即可．
【详解】
①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；
③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误；
④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与性质的实际应用，关键是结合图像设出适当的解析式，利用待定系数法求解．
16．（2022·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线和直线．我们规定：若，取和中较大者为M；若，记．有下列结论：
①当时，M为4；
②当时，使的x的取值范围是；
③当时，使的x的值是，；
④当时，M随x的增大而增大．
其中结论正确的是（       ）

A．②③ B．①④ C．②④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①求出y1，y2，求出m的值即可． ②求出直线与抛物线的交点坐标，利用图象法解决问题即可． ③画出图象，推出M=3时，y1=3，y2=3转化为方程求出x的值即可． ④当b=1时，由，消去y得到，x2-2x+1=0，因为Δ=0，推出此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点，推出b＞1时，直线y=2x+b与抛物线没有交点，由此即可判断．
【详解】
解：①当x=2时，y1=4，y2=4+b，
无法判断4与4+b的大小，故①不符合题意．
②如图1中，b=-3时，

由 ，解得 或，
∴两个函数图象的交点坐标为（-1，-5）和（3，3），
观察图象可知，使的x的取值范围是，故②符合题意，
③如图2中，b=-5时，图象如图所示，

当M=3，y1=3时，
∴-x2+4x=3， 解得x=1或3，
当y2=3时，3=2x-5，解得x=4，也符合条件， 故③不符合题意，
④当b=1时，由，消去y得到，x2-2x+1=0，
∵Δ=0，
∴此时直线y=2x+1与抛物线只有一个交点，
∴b＞1时，直线y=2x+b与抛物线没有交点，
∴M=y2随x的增大而增大，故④符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）甲、乙、丙三人共同探究代数式的情况，三人的说法如下：
甲：只有当时，代数式的值为2；
乙：当x取大于2的实数时，代数式的值随x的增大而减小；
丙：无论x取何值时，代数式的值都不可能大于4．
下列判断正确的是（       ）
A．甲对，乙对 B．甲对，丙对 C．甲错，丙对 D．乙错，丙错
【答案】C
【解析】
【分析】
设，根据二次函数的性质分析即可．
【详解】
设
当时，解得，故甲错；
当时，二次函数中y随x的增大而减小，故乙对；
二次函数，当时二次函数有最大值4，即无论x取何值时，代数式的值都不可能大于4．丙对；
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是构建二次函数解决问题．
二、填空题
18．（2022·河北廊坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形．

（1）线段的长度为_________；
（2）点的坐标为_________；
（3）线段的长度为_________．
【答案】          （22021，0）    
【解析】
【分析】
设等边△BnAnAn+1的边长为an，由y=x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1=an，设An的坐标为（an，0），由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n-1．即可求得A2022的坐标B1B2=a1=，B2021B2022=a2020=×22020=22020．
【详解】
解：设等边△BnAnAn+1的边长为an，
∵点B1，B2，B3，…是在直线y=x（x≥0）上的第一象限内的点，
∴∠AnOBn=30°，
又∵△BnAnAn+1为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1=60°，
∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，
∴BnBn+1=OBn=an，
∵点A1的坐标为（1，0），
设An的坐标为（an，0），
∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，
∴an=2n-1．
∴A2022（22021，0）．
∴B1B2=a1=，B2021B2022a2021=×22020=22020．
故答案为：B1B2=a1=，A2021A2022=22020，2021B2022a2021=×22020=22020．
【点睛】
本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn+1=an=2n-1．
19．（2022·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直轴于点，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，若的坐标为，．

（1）反比例函数的解析式是_________；
（2）设点是线段上的动点，过点且平行轴的直线与反比例函数的图像交于点，则面积的最大值是_________．
【答案】         
【解析】
【分析】
（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论，设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．
【详解】
（1）∵AD＝3，D（4，m），
∴A（4，m＋3），
∵点C是OA的中点，
∴ ，
∵点C，D在双曲线y＝上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）∵m＝1，
∴C（2，2），D（4，1），
设直线CD的解析式为y＝ax＋b，
∴，
∴
∴直线CD的解析式为，
故答案为：；
如图，设点，


C（2，2），D（4，1），
∴2＜n＜4，
∵EF∥y轴交双曲线于F，
∴，
∴EF＝−n＋3−，
∴S△OEF＝

∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，
故答案为：
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与n的函数关系式．
20．（2022·河北石家庄·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段．
（1）k的值为________；
（2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________；

【答案】     –10    
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作射线ON，交y=-于点N′，求得点N′（–，2），据此即可求解．
【详解】
解：（1）∵点M（–5，2）反比例函数的图象上，
∴k=–5×2=-10，
故答案为：-10；
（2）∵k=-10，
∴反比例函数的解析式为y=-，
如图，作射线ON，交y=-于点N′，
设ON的解析式为y=mx，
把N（–1，2）代入得：2=-m，
解得m=-2，
∴ON的解析式为y=-2x，
解方程-2x=-得x=，
由于点N′在第二象限，
∴点N′（–，2），
∴n==，
又∵n>1，
∴1 ∴n的最大值为，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，位似图形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应的坐标是解题的关键．
21．（2022·河北唐山·三模）如图，抛物线，直线与抛物线、轴分别相交于点、．

（1）当时，点的坐标为______；
（2）当时，在拋物线与轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，此时“可点”的个数为______．
【答案】          8个
【解析】
【分析】
（1）将代入解析式求出对应的解析式，再将代入抛物线解析式中即可求解；
（2）将代入抛物线解析式求抛物线与x轴的交点，再根据“可点”的定义判断“可点”的个数即可；
【详解】
（1）解：当时，抛物线，直线
将代入中，
解得：
∴
故答案为：
（2）当时，抛物线，
将代入中，
解得：
∴在抛物线上“可点”有5个：、、、、
在拋物线与轴所围成的封闭图形的边界x轴上也有5个“可点”：、、、、，
综上，共有8个“可点”；
故答案为：8个．
【点睛】
本题主要考查抛物线的应用，掌握抛物线的相关知识并理解“可点”的定义是解题的关键．
22．（2022·河北石家庄·二模）在中，，，的顶点P在BC上滑动，PM始终过点A，且，在点P滑动的过程中：

（1）当______时，；
（2）BD的最大值为______．
【答案】     PC##CP    
【解析】
【分析】
（1）先证△BDP∽△CPA，再根据AAS添加条件BD=PC，即可求解答案；
（2）根据（1）的结论得到△BDP∽△CPA，即有，进而有，再结合已知的线段长度，可得到，再根据二次函数的性质即可得到BD的最大值．
【详解】
（1）BD=PC时，△BDP≌△CPA，
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠C=∠MPN，∠MPB=∠C+∠PAC=∠DPB+∠MPN
∴∠DPB=∠PAC，
∴△BDP∽△CPA，
即有当BD=PC时，有△BDP≌△CPA；
（2），理由如下：
根据（1）的结果有：△BDP∽△CPA，
∴，
∴，
∵AB=AC=4，BC=6，
∴BP=BC=PC=6-PC，
∴，
整理得：，
∵,
∴当PC=3时，BD有最大值，且最大值为，
故答案为：PC，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定以及二次函数求最值等知识，利用△BDP∽△CPA得到二次函数是解答本题的关键．
23．（2022·河北保定·二模）已知二次函数（a为常数）．

（1）若，则二次函数的顶点坐标为___________；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是___________．
【答案】         
【解析】
【分析】
本题给出的是二次函数的顶点式，可以推出二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），第一小问直接把a=2代入顶点坐标即可，第二小问要进行等量变换，具体见详解．
【详解】
①由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）；
②设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=，则y=a-1=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标，第二问需要用等量变换，消掉a，得到y关于x的关系式．
三、解答题
24．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点A，点C在x轴上，沿直线AC翻折，点B恰好落在y轴负半轴上的点D处．

(1)求线段AB的长度；
(2)求直线AC的表达式；
(3)判断在内部是否存在整点（横纵坐标均为整数的点），如果存在直接写出整点的坐标，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)5
(2)
(3)存在；两个整点
【解析】
【分析】
（1）先求出AB的坐标，从而得到OA，OB的长即可利用勾股定理求出AB的长；
（2）设，则，利用△ABC的面积与△ACD的面积相等建立方程求解即可；
（2）首先根据A、B、C三点的坐标可以确定横坐标为整数的只能是-2，-1，然后把分别代入直线AB和直线AC的解析式求出此时的函数值，结合函数图象即可得到答案．
(1)解：直线与轴、轴分别交于点B、点A，
∴，，
∴OA=3，OB=4，
∴在中，．
(2)
解：设，则，
∴，，
由翻折可得，
∴，
∴
解得，
∴点C坐标为
设直线的表达式为   
把点和代入得，
解得，
∴AC的表达式是；
(3)
解：∵，，
∴横坐标可以为整数，，把代入，
∴有整点，
把代入，
把代入，
∴有整点．
综上，有两个整点．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的几何应用，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
25．（2022·河北唐山·二模）如图，在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x经过点A（﹣4，a），直线l2与l1交于点，与y轴交于点B，点A关于x轴对称的点A′在直线l2上．

(1)求直线l2的函数表达式；
(2)连接AB，求△AOB的面积；
(3)过点D（n，0）作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，若M，N两点间的距离不小于5，直接写出n的取值范围；
(4)若Q是直线l2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，直接写出OQ'的最小值．
【答案】(1)直线的函数表达式为
(2)
(3)或
(4)OQ'的最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据对称点的性质可以得到A′的坐标，再通过点 A′和点C的坐标就可以计算得出直线l2的函数表达式；
（2）根据l2的函数表达式计算出点B的纵坐标，得到OB的长度，根据点A的坐标可以计算出△AOB的高，根据三角形的面积公式计算出最终的答案；
（3）根据直线的l1、l2的函数表达式，用含n的表达式得出M、N的坐标，再根据线段MN不小于5的判断条件得到关于n的不等式，最后计算出n的范围；
（4）根据旋转的性质，得出，设点Q的坐标为，再根据l2的函数表达式和全等三角形的性质，得到Q′的坐标，再根据勾股定理得到OQ′的一元二次方程，最后通过配方法计算出最小值．
(1)
∵点A（﹣4，a）和点在直线l1：y＝x上,
∴，，
∴点A的坐标为（﹣4，-4），点C的坐标为，
∵A关于x轴对称的点为A′，
∴A′的坐标为（﹣4，4），
设直线l2为，
∵点A′（﹣4，4）和点C在直线l2上，
∴，
解方程组得，，
∴直线l2的函数表达式为，
故答案为：．
(2)

过点A做AH垂直于BO，交直线BO与点H，
∵设B点为，且B点在直线l2：上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
(3)
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵D垂直于x轴，
∴，
∵点M 在l1点上，点N在l2上，
∴， ，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
(4)
过点Q做QE垂直于轴，交轴于点E，过点垂直于轴，交轴于点F
设点Q的坐标为，
得，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴的最小是.
故答案为．
【点睛】
本题考查直角坐标系、求一次函数的解析式、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、解一元一次不等式、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握直相关知识的联系与运用．
26．（2022·河北石家庄·三模）陕西沿黄公路是一条全长800余公里的高颜值公路，它沿着黄河西岸串联陕西4市12县50多景点，其中一段48公里的公路串联府谷龙蛇湾景区和府州古城，甲、乙两人分别从府谷龙蛇湾景区、府州古城骑自行车出发相向而行，甲比乙先出发1小时，两人分别以各自的速度匀速行驶．甲、乙两人距府州古城的距离y（km）与甲出发时间x（h）的函数关系图象如图所示，结合图象信息回答下列问题：

(1)甲的骑行速度为________km/h，乙的骑行速度为________km/h；
(2)求线段的函数表达式；
(3)甲出发多长时间后两人第一次相距6km？
【答案】(1)12；8
(2)
(3)当甲出发2.5h时，两人第一次相距6km
【解析】
【分析】
（1）根据图象得出A，B两地之间的距离；根据速度=路程÷时间可得到乙的速度；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）先求得线段对应的函数表达式，根据相距6km列方程，求解即可．
(1)
解：由图象可知，线段l1为甲骑行的函数图象，线段l2为乙骑行的函数图象，
故甲的骑行速度为48÷4=12(km/h)，
乙的骑行速度为48÷（7–1）=8(km/h)；
故答案为：12；8；
(2)
解：设线段对应的函数表达式为，
则有，
解得：
∴ 线段对应的函数表达式为；
(3)
解：设线段对应的函数表达式为，
则有，
解得，
∴线段对应的函数表达式为；
由题意可得，，
解得，
答：当甲出发2.5h时，两人第一次相距6km．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
27．（2022·河北保定·一模）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：

(1)在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用______小时．
(2)求线段AB对应的函数表达式；
(3)先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，一共用时3h，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象，并标注出a所对应的值．
【答案】(1)4；
(2)线段AB的函数表达式为： y=40x +20 ；
(3)作图见解析．
【解析】
【分析】
（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，即可求解；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由时间恰好是3h，列出方程可求解，即可画出函数图像．
(1)
解：由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，
用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时；
故答案为4；
(2)
解：设线段AB的函数表达式为y=k1x+b1，将(0，20)，(2， 100)代入y= k1x+b1，

解得 ，
线段AB的函数表达式为： y=40x +20 ；
(3)
解：设线段AC的函数表达式为y=k2x+b2，将(0， 20)，(6， 100)代入y= k2x+b2，
，
解得 ，
线段AC的函数表达式为：；
，解得，
把代入得，
点是先用普通充电器充电，再用快速充电器充电时电量y与充电时间x的函数图象的转折点，作图如下图所示，作点D，E(3，100)，连接AD，DE，折线ADE即为所求作的图形，
．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式及一元一次方程的应用，求出解析式是解答本题的关键．
28．（2022·河北承德·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，A是反比例函数图象上一点．直线OA与y轴的正半轴的夹角为，．设直线AB与x轴交于点D，直线l经过点D，与y轴交于点H，设点H的纵坐标为t．

(1)求k的值及点A的坐标．
(2)t为何值时，直线l过△AOD的重心？
(3)设点P是x轴上一动点，若△PAB的面积为2，直接写出P点的坐标．
【答案】(1)k=2，A(1,2)
(2)
(3)(-1,0)和(7,0)
【解析】
【分析】
（1）过A点作AN⊥x轴于N点，设OA的中点为M点，根据B(m,1)在直线上即可求出B点坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据轴，得到∠OAN=∠AOH=，即可得到AN=2ON，结合A点在上即可求出A点坐标；
（2）设直线AB的解析式为：，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，则有D点坐标，结合H点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式，直线l的经过△AOD的重心，且直线l过D点，可知直线l的经过OA的中点，根据A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，可知OA中点的坐标为，将代入直线l的解析，即可求出t；
（3）分三种情况讨论：第一种情况，当P点在O点左侧时；第二种情况，当P点在OD之间时；第三种情况，当P点在D点右侧时，即可求解．
(1)
过A点作AN⊥x轴于N点，设OA的中点为M点，如图，

∵B(m,1)在直线上，
∴当y=1时，x=2，即m=2，
∴B点坐标为(2,1)，
∵B点在反比例函数上，
∴k=xy=1×2=2，
∴k=2，反比例函数的解析式为，
∵AN⊥x，
∴轴，
∴∠OAN=∠AOH=，
∵，
∴在Rt△AON中，，
∴AN=2ON，
∵A点在，
∴，即，
∴ON=1，AN=2，
∴A点坐标为(1,2)；
(2)
∵A点坐标为(1,2)，B点坐标为(2,1)，
∴设直线AB的解析式为：，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：，
∴当y=0时，x=3，即D点坐标为(3,0)，
∵H的纵坐标为t，
∴H的坐标为(0,t)，
∵D点坐标为(3,0)，H的坐标为(0,t)，
∴设直线l的解析式为：，
∴，解得，
∴直线l的解析式为：，
∵直线l的经过△AOD的重心，且直线l过D点，
∴直线l的经过OA的中点，
∵A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，
∴OA中点的坐标为，
∴将代入，即有，
即当时直线l的经过△AOD的重心；
(3)
过B点作BG⊥x轴于G点，
∵A(1,2)、B(2,1)、D(3,0)，
∴AN=2，BG=1，OD=3，
∵P点在x轴上，
设P点坐标为(p,0)
分类讨论：
第一种情况，当P点在O点左侧时，
如图，连接AP、BP，

∴OP=-p，
∴PD=OP+OD=-p+3=3-p，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得p=-1，
即此时P点坐标为：(-1,0)；
第二种情况，当P点在OD之间时，即，
如图，连接AP、BP，

∵P(p,0)，
∴OP=p，PD=OD-OP=3-p，
∴，，，
∵，
∵，
∴，解得p=-1，
∵，
∴此时不符合题意舍去，
第三种情况，当P点在D点右侧时，即，
如图，连接AP、BP，

∵P(p,0)，，
∴OP=p，DP=OP-OD=p-3，
∴，，，
∵，
∵，
∴，解得p=7，
即P点坐标为：(7,0)；
综上：P点坐标为(-1,0)、(7,0)．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、锐角三角函数、三角形的重心的性质、求解三角形的面积、求一次函数和反比例函数解析式等知识，理解三角形重心的含义是解答本题的关键．
29．（2022·河北邯郸·三模）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点，点，已知双曲线经过点，双曲线．把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”．

（1）当时，和坐标轴之间（不含边界）有______个“优点”；
（2）若，则和之间（不含边界）最多有______个“优点”．
【答案】     15     6
【解析】
【分析】
对于（1），先确定L2的位置，再根据优点的定义解答；
对于（2），先确定L1的位置，再根据范围确定L2的位置，得出最大值即可.
【详解】
（1）当时，经过点（-2，6），（-3，4），（-4，3）．
如图，画出L2的图象，
由图可知：L2的图象和坐标轴之间（不含边界）有15个优点．
故答案为：15；

（2）∵经过点（-1，6），
∴，
L1的图象如图所示.
当-12≤k2≤-2时，画出和的图象，
由图象可知：L1与之间有4个优点（不含边界），L1与之间有6个优点（不含边界），
∴L1与L2之间（不含边界）最多有6个优点．

故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象和性质，理解新定义“优点”是解题的关键．
30．（2022·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与BC交于点E，与AB交于点F．

(1)当点E是BC的中点时，点F的纵坐标为_________；
(2)定义：矩形OABC内所有横、纵坐标均为整数的点记为整点．若规定矩形的边AB，BC与曲线EF围成的封闭图形为M，当M内（不含边界）整点个数为5个时，k的取值范围是_________．
【答案】(1)3
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知点E的坐标，反比例函数解析式可求，点F横坐标为4，纵坐标可求．
（2）分别找出当M内（不含边界）整点个数为5个时的反比例函数临界位置，分别求出k的值即可求出k的取值范围．
(1)∵点E是BC的中点，点B的坐标为
∴点E的坐标为
将点E代入中
得
解得：
∴反比例函数解析式为
∵反比例函数与AB交于点F
∴点F横坐标为4，
将代入解析式中可得：

∴点F的纵坐标为3，
故答案为3．
(2)

如图所示：当反比例函数的图像经过点时，图像必经过点，此时图形M内的整点有4个，此时；当反比例函数的图像经过点时，图像必经过点，此时图形M内的整点有5个，此时；
∴当M内（不含边界）整点个数为5个时，k的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质及数形结合的思想，充分理解题意是解答本题的关键．
31．（2022·河北唐山·二模）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y＝的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为7米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上的点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x．

(1)请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式；
(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，≥，请直接写出OD长度的取值范围．
【答案】(1)y＝﹣（x﹣5）2+2(2)米(3)7≤OD≤12
【解析】
【分析】
（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
(1)解：∵B在双曲线y=上，且根据题意yB=2，
∴B（5，2），
∵B为抛物线BCD的最高点，
则设抛物线BCD的解析式为y=a（x-5）2+2顶点式，
根据题意得此时D （7，0），代入解析式得a（7-5）2+2=0，
解得：a=-，
∴滑道BCD段y与x之间函数关系式为y=-（x-5）2+2；
(2)令上式y＝时，则﹣（x﹣5）2+2＝，
解得x1＝4（舍去），x2＝6，
∴C（6，），
将y＝6代入y＝中得x＝，
∴A（，6），
∴6﹣＝，
此时滑行者距滑道起点的水平距离为米；
(3)解：连接BD，作BE⊥x轴于E，
根据上面所得B （5，2），D （7，0）时，
∴点E（5，0），
∴BE=2，DE=7-5=2，∠BED=90°，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴∠BDO=45°，
∵滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，
∴ED≥2，即OD≥7，
∵实际场地限制，≥，
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．

【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
32．（2022·河北承德·二模）在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线，已知绳子最低点距离地面米．以点B为坐标原点，直线BD为x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系，如图1所示．

(1)求立柱AB的长度；
(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，如图2所示，求MN的长；
(3)若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线的开口大小与抛物线的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的距离．
【答案】(1)3(2)(3)4
【解析】
【分析】
（1）根据AB=CD，以及抛物线图像的对称轴性可知抛物线的对称轴x=5，据此可得求出系数b和顶点坐标(5,)，再代入顶点坐标即可求出c，则抛物线与y轴的交点坐标可求，即AB可求；
（2）根据题意可得抛物线F1的顶点坐标为(3,2)，则设抛物线F1的解析式为，再根据A点坐标即可求出抛物线F1的解析式为，即当x=4时即可求出MN的长；
（3）设顶点坐标为(a,1.92)， M点坐标为(m,0)，根据题意有，根据抛物线F1的开口大小与抛物线的开口大小相同，设抛物线F1的解析式为，根据A(0,3)即可求出a=3.6，根据M点坐标为(m,0)，得到N点坐标为(m,2.4)，结合抛物线F1过N点，可求得m-a=2.4，即可求出m，则问题得解．
(1)根据题意有B(0,0)、D(10,0)，抛物线的顶点的纵坐标为，
∵AB=CD，B(0,0)、D(10,0)，
∴根据题意可知抛物线的对称轴为x=5，
∴，即b=，
即：，
∵顶点的纵坐标为，
∴则抛物线的顶点坐标为(5,)，
∴将(5,)代入，
得：，解得c=3，
即抛物线解析式：，
∴当x=0时，y=3，
∴抛物线与y轴的交点A坐标为：(0,3)，
∴AB=3；
(2)根据题意有BM=4，
∵抛物线F1的顶点相对A下降了1米，顶点距离立柱MN也是1米，
∴抛物线F1的顶点的纵坐标为3-1=2，横坐标为4-1=3，
∴抛物线F1的顶点坐标为(3,2)，
∴设抛物线F1的解析式为，
∵抛物线F1与y轴交于点A(0,3)，
∴代入A点坐标有：，
解得，
∴抛物线F1的解析式为，
∵根据题意有M、N两点的横坐标相同，M(4,0)，
∴当x=4时，，
∴N点坐标(4,)，
∴MN=；
(3)根据题意有抛物线F1的纵坐标为1.92，则设顶点坐标为(a,1.92)，
设M点坐标为(m,0)，
根据题意有，
∵抛物线F1的开口大小与抛物线的开口大小相同，
∴设抛物线F1的解析式为，
∵抛物线F1过A(0,3)，
∴当x=0时，，
解得a=3.6，
∵MN=2.4，M点坐标为(m,0)，
∴N点坐标为(m,2.4)，
∵抛物线F1过N点，
∴当x=m时，，
解得m-a=2.4，
∴m=a+2.4=3.6+2.4=6，
即BM=6，
∴MD=BD-BM=10-6=4，
即MN与CD的距离为4．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，理解两个抛物线开口大小相同即是二次项系数相同以及正确表示出函数解析式是解答本题的关键．
33．（2022·河北唐山·一模）如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点正上方点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．

(1)当小张滑到离处的水平距离为米时，其滑行高度为米，求出，的值；
(2)在的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
(3)若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于米，求的取值范围．
【答案】(1)，(2)米(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意将点（0，4）和（8，10）代入求出、的值即可；
（2）设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意列出方程，解出即可；
（3）求出山坡的顶点坐标为（6，6），根据题意得， 再解出的取值范围即可．
(1)
解：由题意可知抛物线：过点（0，4）和（8，10）
将其代入得： ，
解得， ．
∴ ，．
(2)由（1）可得抛物线解析式为： ，
设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：
，
解得：，舍，
故运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为米．
(3)∵抛物线经过点（0，4），
，
抛物线： ，
当时，运动员到达坡顶，
即，
∴ ．
【点睛】
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
34．（2022·河北张家口·一模）定义：表示不超过实数x的最大整数，如：．函数、的图象如图所示．

(1)探究填空：点是否在函数的图象上__________；
是否在函数的图象上__________；（填“在”或“不在”）
(2)判断：是否是方程的解，并说明原因；
(3)观察函数、的图象，请你求出方程的所有的解．
(4)拓展：对于方程：，请你结合方程、函数及图象的知识继续探究：
①当c为何值时，方程只有一个解，并求出方程的解；
②若方程有两个解，请直接写出c的取值范围__________．
【答案】(1)在，在(2)是，见解析(3)或或(4)①；②且
【解析】
【分析】
（1）把x=1代入，求出y值与1比较即可判定；
（2）把x=-2代入方程左右两边，求出值比较即可判定；
（3）利用图象法求解即可
（4）①当时，利用图象法求解，
②当1 (1)
解：把x=1代入，得y=[1]=1，
把x=1代入y=-x2+2=-12+2=1,
所以点A(1,1)在函数的图象上，在函数的图象上，
故答案为：在，在；
(2)
解：把x=-2代入方程，左边=[-2]=-2，右边=-(-2)2+2=-4-2=-2，
∴左边=右边，
∴x=-2是方程的解；
(3)解：由图象可得，当x>0时，方程的解为x=1，
当-2≤x<0时，方程的解为x=-2，
当-2 -3=-x2+2，解得x=,
∴方程的解为x=-
当x<-3时，方程无解，
综上，方程的所有解为；x=1或x=-2或x=-；
(4)解：①由图象可知：当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点，
∴方程只有一个解
则，解得或（舍）
∴方程的解为；


②由图象可知：当1 当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点，
当0 当c=0时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有三个交点，
当-1 当c<-1时，函数y=[x]与函数y=-x2+c没有交点，
∴方程有两个解，c的取值范围为－1


【点睛】
本题考查新定义，二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握利用图象法求解一元二次方程的解是解题的关键．
35．（2022·河北保定·二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．

(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)；点B的坐标为
(2)该运动员此次跳水失误了，见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令得出点B的坐标为；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式得，根据，确定该运动员此次跳水失误了；
（3）根据题意得到点E，M，N ，当抛物线过点M时，，分情况求出值，进而根据点D在之间得出．
(1)解：设抛物线的解析式为，
由最高点即顶点坐标为可知，
将原点代入求得，
∴抛物线的解析式为，
令得，解得（舍），，
∴点B的坐标为；
(2)解：当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，
将代入解析式得，
，
∴该运动员此次跳水失误了；
(3)解：．
∵，点E的坐标为，
∴点M，N的坐标分别为，
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，
∴当抛物线过点M时，，
把代入，得；
同理，当抛物线过点时，，
由点D在之间得．
【点睛】
本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
36．（2022·河北石家庄·一模）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为，从发射装置的发射点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线．

(1)直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离；
(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于米时，求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；
(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在上，其横坐标为14，轴，，．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．
【答案】(1)；；小球离B处的水平距离为12米；
(2)，米
(3)
【解析】
【分析】
（1）有题意可得点B坐标，然后代入可求得c的值；先求出的函数表达式，根据两个函数值的差为1可求得此时小球离B处的水平距离；
（2）先将代入抛物线，可得最远着陆点在小山丘外的平地上，再将代入抛物线，可得b的取值范围，然后求出的顶点坐标，根据函数的增减性求出最值即可；
（3）由题意可得，小球恰好落在装置内时，对应的横坐标范围是13—14，分别将和代入函数表达式求出对应b的取值范围即可．
(1)由题意可得点B的坐标为，
将代入中，
解得；
∵与y轴交于点A，
∴，．由题意可知，抛物线经过点（4，8），
∴，解得．
∴抛物线的函数表达式；
∵小球与小山丘的竖直距离为1米，∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴当小球与小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离为12米；
(2)将代入抛物线，得，
∴最远着陆点在小山丘外的平地上，其坐标为（15，0）
将代入抛物线，得，
解得：
∵抛物线，∴小山丘顶坐标为，
∵当小球飞行到小山丘顶正上方，且与顶部距离不小于米时，
∴，解得：
∴b的取值范围是．
∵，∴抛物线，∴的顶点坐标为，
∵，∴当时，有最小值为．
∴小球飞行路线的项点到x轴距离的最小值为米；
(3)∵抛物线
当时，，
∴，
∵，，∴，
当时，，
∴与CD的交点坐标为
若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），
则当时，，解得，
当时，，解得；
故b的取值范围：．
【点睛】
本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
37．（2022·河北石家庄·二模）如图，抛物线与x轴交于点，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)点C的纵坐标为______（用含b的式子表示），______度；
(2)当时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
【答案】(1)；45；(2)面积的最大值为1，；(3)①；②或．
【解析】
【分析】
（1）将点代入抛物线中可求得，从而得点C的纵坐标，继而有，令，求得，得OB=OC，求得的度数；
（2）由（1）得， ，直线BC的方程为，设点，表示的面积，运用二次函数的对称性可求得面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）①运用配方法得抛物线，求得点，运用中点坐标公式得AQ的中点坐标为，从而有，求解即可得答案；
②分情况讨论：抛物线的对称轴在y轴的左侧时，点C在点O的上方时；当抛物线的对称轴在y轴的右侧时，点C在点F或点F的上方，且当 时，抛物线所对应的点的纵坐标小于2，建立不等式组，求解可得答案．
(1)解：将点代入抛物线中得，
解得，
所以点C的纵坐标为，
所以，
令，
解得，
所以，
所以OB=OC，
所以，
故答案为：；45；
(2)解：当时，，
所以，，
设直线BC的解析式为，
∴，解得：，
所以直线BC的解析式为，
设点，
当时，，
所以的面积为，
当时，的面积取得最大值1，此时，
所以面积的最大值为1，此时点P的坐标为；
(3)解：①因为抛物线，
所以点，
又点，
所以AQ的中点坐标为，
因为AQ的中点落在直线EF上时，点E的坐标为（3，2）．
所以，
解得（舍去），
所以；
②因为抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，
所以当抛物线的对称轴在y轴的左侧时，点C在点O的上方时，满足题意，
此时，
解得，
当抛物线的对称轴在y轴的右侧时，点C在点F或点F的上方，且当 时，抛物线所对应的点的纵坐标小于2，满足题意，
此时，
解得，
所以或．
【点睛】
本题考查抛物线的综合知识：求抛物线的解析式；抛物线的对称性；抛物线与x、y轴的交点，以及抛物线的增减性，解决问题的关键在于熟练掌握抛物线的图象性质．