人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课后练习题

函数专题：分段函数的6种常见考法

一、分段函数的概念

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.

【注意】分段函数是一个函数而不是几个函数

二、分段函数问题解题思路

1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当求的值时，要先判断属于定义域中的“哪段”，然后再代入相应的解析式求解。

2、有关分段函数的不等式问题，要先按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解。

3、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于“哪段”进行分类讨论，然后再代入相应的解析式，列出方程求解，当出现的形式时，应从内往外依次求值。

4、求解分段函数参数的取值范围问题时，一般将参数当成已知，画出分段函数图象，根据函数图象列出满足要求的不等式（组）。

题型一 求分段函数值

【例1】已知函数，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】当时，，，故选：C.

【变式1-1】若，则_________.

【答案】5

【解析】因函数，所以.

【变式1-2】若函数则（    ）

A．4        B．3        C．2        D．1

【答案】C

【解析】因为，所以，故选：C.

【变式1-3】已知函数，则______.

【答案】1

【解析】由题意可得，所以.

题型二 根据分段函数值求参数

【例2】已知函数若，且，则（    ）

A．        B．0        C．1        D．2

【答案】C

【解析】由题意知，，

又，所以，

所以，解得，故选：C

【变式2-1】设函数，若，则_____________.

【答案】

【解析】因为，

所以，

所以，得，

所以，，

所以，得，

【变式2-2】设函数，若，则实数a的值为___________.

【答案】5

【解析】，，解得：.

【变式2-3】（多选）已知，若，则实数a的值可以为（    ）

A．        B．        C．1        D．

【答案】ACD

【解析】因为，，所以

当时，，所以，

所以，解得，所以满足；

当时，，所以，

所以，解得，满足题意；

当时，，所以，

所以，解得，满足题意；

故选：ACD.

题型三 根据分段函数的单调性求参数

【例3】若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题意得， 解得；，解得；

当时，解得.

综上得实数的取值范围为.故选：D.

【变式3-1】已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】当时，单调递减，

在上递减，

且，

解得，故选：.

【变式3-2】已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】对任意的都有成立，在上单调递减，

，解得：，

即实数的取值范围为.故选：B.

【变式3-3】已知在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】在上为单调递增函数；

，解得；

实数的取值范围为．故选：B．

【变式3-4】若，在定义域上是单调函数，则的取值范围_______.

【答案】.

【解析】在定义域上是单调函数，

①函数的单调性是增函数时，可得当时，

即，解之得，

时，是增函数，

时 是增函数，，得或，

综上实数的取值范围是；

②函数的单调性是减函数时，可得当时，

即，解之得或，

时，是减函数，

又时， 减函数，

，得或

综上：实数的取值范围是；

综上所述：的取值范围为。

故答案为：.

题型四 求分段函数的值域

【例4】函数的值域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】,

当，，

当，，

所以，故选：A

【变式4-1】求函数在－的最值.

【答案】最大值是，最小值是.

【解析】在上递增，

对称轴是，

在上递减，在上递增，

，，，，

所以当时，函数最大值是；当时，函数最小值是.

【变式4-2】求的最小值.

【答案】.

【解析】因为，

当时，，

当时，，

当时，，

故函数的最小值为.

【变式4-3】设函数，用表示中最大的一个，则的最小值为_______

【答案】1

【解析】因为的交点坐标为，

的交点坐标为，

的交点坐标为，的图象如图：

由图象可看出的最小值为：1.

题型五 根据分段函数值域求参数

【例5】设函数，若的最小值为，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】分两种情况：

（1）当时，，而，

当且仅当当，即时能取到最值，所以，．

（2）当时，的最小值为，

由（1）知当时，的最小值为4，

所以的最小值为，满足，

所以．

综上：实数的范围是．

【变式5-1】已知的值域为R，那么a的取值范围是(    )

A．(﹣∞，﹣1]        B．(﹣1，)        C．[﹣1，)        D．(0，1)

【答案】C

【解析】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，

那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，

∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，

解得：，且a≥﹣1.故选：C.

【变式5-2】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，

当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，

当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，

因函数的值域为，则有，解得，

所以实数的取值范围为，故选：D

【变式5-3】已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题可知，当时，，其对称轴为，

当时，函数有最大值为，

当时，函数有最大值为，

当时，，在单调递减，故，

因为函数无最大值，故当时，

需满足，解得，不符合题意，

当时，需满足，解得，（舍去）.

综上，实数a的取值范围是.

故选：D.

【变式5-4】（多选）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ）

A．2        B．-1        C．0        D．1

【答案】BC

【解析】当时，，

所以当时，，

若，则，

所以此时，即存在最小值，

若，则当时，，无最小值，

若，则当时，为减函数，

则要使存在最小值时，

则，解得，

综上或，故选：BC.

【变式5-5】已知函数，且是的最小值，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】当时，若，即，

有，在上递减，在上递增，

则与是的最小值矛盾，

若，即，有在上递减，，，则，

当时，函数，

当且仅当，即时取“=”，

因是的最小值，则有，解得，

所以a的取值范围为.

题型六 解分段函数不等式

【例6】已知函数，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】当时，，解得，于是得：，

当时，，解得，于是得，

所以的解集为．

【变式6-1】已知函数，若，则不等式的解集为________.

【答案】

【解析】当时，

则不等式可转化为或

解得或，所以，则不等式的解集为,

【变式6-2】设函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A．（－∞，－1]        B．（0，＋∞）        C．（－1，0）        D．（－∞，0）

【答案】D

【解析】函数，的图象如图：

满足，

可得：或，

解得．故选：D.

【变式6-3】已知函数，则不等式的解集为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】当时，，因为，所以，

故当时，不等式无解，

当时，，

令，得，解得，故选：D.