2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列各式中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一组数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知一组数据，，，，，的平均数为，众数为，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在计算时，把运算符号“”看成了“”，得到的计算结果是，则这道题的正确的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 随着电影你好，李焕英的热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用元和元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多倍，且第二次比第一次进价便宜元，设书店第一次购进套，根据题意，下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知，，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若关于的方程的解为负数，且关于的不等式组无解．则所有满足条件的整数的值之积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共20分）

11. 分解因式：______．
12. 多项式因式分解得，则 ______ ．
13. 若，则代数式的值等于______．
14. 如果有一组数据，，，，的极差是，那么的值是______．
15. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______．

三、解答题（本题共8小题，共90分）

16. 因式分解：
    ；
    ．
17. 解分式方程
     
18. 先化简，再求值：，其中．
    先化简，再求值：，其中．
19. 某中学为了解学生参加户外活动的情况，随机调在了该校部分学生每周参加户外活动的时间，并用得到的数据绘制了如下统计图．
    
    请根据以上信息，解答下列问题：
    这次调查的学生共______人，并补全条形统计图；
    求本次调查获取的样本数据的平均数众数和中位数；
    若该校共有名学生，估计该校参加户外活动时间超过的学生人数．
20. 解答下列各题：
    已知，，求和的值；
    若，求：______写出过程
    若，求：______写出过程
21. 年北京冬奥会物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，各种冰墩墩的玩偶，挂件等饰品应运而生．某学校决定购买，两种型号的冰墩墩饰品作为“校园读书节”活动奖品，已知种比种每件多元，预算资金为元．
    其中元购买种商品，其余资金购买种商品，且购买种的数量是种的倍．求，两种饰品的单价．
    购买当日，正逢“五一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买，两种饰品共件；问最多购买种饰品多少件？
22. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图可以得到，请解答下列问题：
    写出图中所表示的数学等式；
    根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
    若，，利用得到的结论求的值．

23. 探究题：
    问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：______；______；______；
    探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：；；；
    归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数，，之间存在的关系式为______；
    验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
    解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
B、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
C、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
D、的分母中含有字母，是分式，符合题意．
故选：．
分式的分母必须含有字母．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，中位数是第三个数，
故选：．
先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C.是因式分解，故C符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故选：．
根据分式值为零及分式有意义的条件列方程及不等式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解当分子为零且分母不等于零时分式的值为零是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，，的众数为，
，中至少有一个是，
一组数据，，，，，的平均数为，
，
，
，中一个是，另一个是，
这组数为，，，，，，
这组数据的中位数是，
故选：．
先判断出，中至少有一个是，再用平均数求出，即可得出结论．
本题考查了众数、平均数和中位数的知识，解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
方程两边同时乘以，得，
解得，
，
故选：．
先通过，求出，再将代入原式再求解即可．
本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法运算，并能准确计算是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由第二次购进的数量比第一次多倍，可得出第二次购进套，利用单价总价数量，结合第二次比第一次进价便宜元，即可得出关于的分式方程，此题得解．
解：第二次购进数量比第一次多倍，且第一次购进套，
第二次购进套．
依题意得：．
故选：．
 

8.【答案】 

【解析】解：边长为、的长方形周长为，面积为，
，，


．
故选：．
直接利用长方形面积求法以及周长求法得出，，再将原式提取公因式分解因式，代入数据求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
原式




．
故选：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将分式方程去分母得：

解得：
解为负数

当时，；时，，此时分式的分母为，
，且；
将不等式组整理得：
不等式组无解

的取值范围为：，且
满足条件的整数的值为：，
所有满足条件的整数的值之积是．
故选：．
分别解分式方程和不等式组，从而得出的范围，从而得整数的取值，进而得所有满足条件的整数的值之积．
本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：因式分解得，得
，，
，
，．
解得，，
故答案为．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
根据，得出，两边平方移项即可得出的值．
本题主要考查因式分解的应用，熟练利用因式分解将已知等式变形是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：数据，，，，的极差是，
或，
解得或，
故答案为：或．
由数据，，，，的极差是，知或，解之即可．
本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
 

15.【答案】且 

【解析】解：关于的分式方程的解为：，
分式方程有可能产生增根，
，
；
关于的分式方程的解是非负数，
，
解得：，
综上，的取值范围是且．
故答案为：且．
求得分式方程的解，依据题意列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要考虑可能产生增根的情形，这是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；
． 

【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
直接提取公因式即可求解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

17.【答案】解：方程两边乘，得，
解得：，
当时，，
原分式方程的解为；
方程两边乘，得，
解得：，
当时，，
故是原分式方程的增根．
原分式方程无解． 

【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

18.【答案】解：


，
当时，
原式

；



，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可；
利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】 

【解析】解：本次接受调查的学生人数为：人，
人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；
平均数是：小时，
众数是小时，中位数是小时，
即本次调查获取的样本数据的平均数是小时、众数是小时、中位数是小时；
人，
即估计该校户外活动时间超过小时的学生有人．
根据参加户外活动小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数；用总人数乘即可得出外活动时间为小时的学生人数，再补全条形统计图即可；
根据统计图中的数据，可以计算出平均数，写出相应的众数和中位数；
根据统计图中的数据，可以计算出该校户外活动时间超过小时的学生人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】   

【解析】解：，，



，
；



，
；
，



；
故答案为：；
．



；
，




．
故答案为：．
利用完全平方公式进行求解即可；
对已知条件进行平方运算，从而可求解；
对已知条件进行平方运算，从而可求解．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】解：设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种饰品的单价为元，种饰品的单价为元．
设购买种饰品件，则购买种饰品件，
依题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多购买种饰品件． 

【解析】设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，利用数量总价单价，结合购买种的数量是种的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出种饰品的单价，再将其代入中即可得出种饰品的单价；
设购买种饰品件，则购买种饰品件，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：图整体是边长为的正方形，因此面积为，图也可以看作个部分的面积和，即，
因此有；


，
即：，
把，，代入，得
，
，
答：的值为． 

【解析】用两种方法分别用代数式表示图的面积即可；
利用整式乘法的计算方法进行计算即可；
将，，代入进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出正确答案的关键．
 

23.【答案】；       

【解析】解：；；．
故答案为：；；．
由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：．
故答案为：．
验证结论：可用，
验证：，，
．
根据题意可得：，
，
，
，
解得．
可用完全平方公式进行分解因式；
根据问题情境式子中的系数关系，可猜想；
可用完全平方公式进行验证；
多项式是完全平方式，则系数，，存在的关系为，可得出，进而求出的值．
本题考查了完全平方公式的综合应用以及对因式分解的理解和应用，解题的关键是掌握二次三项式因式分解：．