北师大数学七年级上册期末复习-专题4--基本平面图形

这是一份北师大数学七年级上册期末复习-专题4--基本平面图形，共45页。试卷主要包含了多边形的初步认识等内容，欢迎下载使用。

专题4--基本平面图形【精讲】
一、线
1．线段、射线、直线的定义
（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线．线段可以量出长度．
（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点．射线无法量出长度．
（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点．直线无法量出长度．
2．线段、射线、直线的表示方法：
（1）线段有两种表示方法：线段AB与线段BA，表示同一条线段．或用一个小写字母表示，线段A．
A
B
a

（2）射线的表示方法：端点在前，任意点在后．射线OP．
O
P

（3）直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线A．
M
N
a

结论：直线、射线、线段之间的区别：

联系：射线是直线的一部分．线段是射线的一部分，也是直线的一部分．
3．点和直线的位置关系有两种：
（1）点在直线上，或者说直线经过这个点；
（2）点在直线外，或者说直线不经过这个点．
4．直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线．简称两点确定一条直线；
（2）过一点的直线有无数条；
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；
（4）直线上有无穷多个点；
（5）两条不同的直线至多有一个公共点．
5．线段的比较
（1）叠合比较法（用圆规截取线段）；（2）度量比较法（用刻度尺度量）．
6．线段的性质
（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短．
（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
（3）线段的中点到两端点的距离相等．
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
7．在线段上，能够把这条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点．如图，点O把线段MN分成两条相等的线段，，点O就是线段MN的中点．
M
N
O


注意：线段的中点是一个非常重要的点，在以后学习几何计算和证明中会经常用到，关键要弄清几个等式：，．
注意．
1.直线、射线、线段之间的区别与联系，并能用相关性质解题．
2．线段的中点是一个非常重要的点，在以后学习几何计算和证明中会经常用到．
二、角
1．角的概念
（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形．两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点．
（2）角还可以看成是一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．角的表示方法
角用“∠”符号表示，角的表示方法有以下四种：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等．
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等．
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧．
3．角的度量：会用量角器来度量角的大小．角的度量有如下规定：
把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”．
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1′ ”, 1°=60′．
把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1″ ”，1′=60″．
4．锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
①平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角；
②周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角；
③0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°；
④角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关．
5．画两个角的和，以及画两个角的差
①用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画；
②三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°．
6．角的平分线
从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线．
若BD是∠ABC的平分线，则有：①∠ABD =∠CBD =∠ABC；
②∠ABC=2∠ABD =2∠CBD．
7．拓展： 钟面角
（1）钟面角是指时针与分针在某一时刻所成的角．
我们知道钟面数字从1到12共有12个大格，60个小格，而1周角＝360°，所以钟面上每个大格对应360°÷12＝30°的角，每个小格对应360°÷60＝6°的角，这样，时针每走1小时对应30°的角，每走1分钟对应30°÷60＝0.5°的角；分针每走1分钟对应6°的角．
（2）钟面角的计算公式：
①当时针在分针前面时，钟面角＝30°m+0.5°n－6°n；
②当时针在分针后面时，钟面角＝6°n－30°m－0.5°n．
其中m表示时针所指钟面的时钟数，n表示分针所指钟面的分钟数，即m点n分．
三、多边形的初步认识
1．多边形的定义
三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾依次相连组成的封闭平面图形．
2． 多边形的基本元素

顶点：如图，在多边形ABCDEF中，点A，B，C，D，E，F是多边形的顶点；
边：线段AB，BC，CD，DE，EF，FA是多边形的边；
内角：∠FAB， ∠ABC， ∠BCD， ∠CDE， ∠DEF，∠AFE是多边形的内角（可简称为多边形的角）．
对角线：如图，AD，AE都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线．
3．正多边形
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．例如：正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°．
4．边形的分割（分割成三角形）
（1）从某一顶点出发：个．由此可得边形的内角和公式：．
（2）从一边上某一点出发：个．
（3）从内部任意一点出发：个．
注意．
1.理解并掌握角平分线定理及逆定理的应用．
2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．




专题4--基本平面图形【精练】
一．选择题（共30小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．一个平角就是一条直线
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．两点之间线段最短
2．下列四个说法：①一个有理数不是整数就是分数；②绝对值等于本身的数只有0；③如果AB＝BC，则点B是线段AC的中点；④一个角的两边越长，角度越大．其中不正确的是（　　）
A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
3．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，下列表示角的方法中，不正确的是（　　）

A．∠A B．∠E C．∠α D．∠1
5．已知∠AOB＝55°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数为（　　）
A．75° B．35° C．75°或35° D．无法确定
6．钟表在8：30时，时针与分针的夹角是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
7．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（　　）
A．150° B．120° C．130° D．140°
8．过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形．这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
9．如图，BD在∠ABC的内部，∠ABD＝∠CBD，如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝（　　）

A． B．20° C．60° D．
10．如图，D是线段AB上的一点，点C是AB的中点，AB＝6，DB＝1，则CD＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．6
11．如图，点C、D分别是线段AB上两点（CD＞AC，CD＞BD），用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
12．计算：600″＝（　　）
A．6′ B．10′ C．36′ D．60′
13．把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　）
A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″
14．已知点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知线段AB＝6，下面四个选项中能确定点C是线段AB中点的是（　　）
A．BC＝3 B．AC＝BC＝3 C．AC＝BC D．AB＝2AC
16．把一根木条固定在墙面上，至少需要两枚钉子，这样做的数学依据是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短
C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对
17．如图所示，由A到B有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是（　　）

A．两点确定一条直线 B．两点间距离的定义
C．两点之间，线段最短 D．因为它直
18．如图，把一张长方形纸片沿对角线BD折叠，∠CBD＝25°，则∠ABF的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
19．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（　　）

A．18° B．20° C．36° D．45°
20．如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A1处，点D落在点D1处，若∠1＝30°，则∠BMC＝（　　）

A．135° B．120° C．105° D．100°
21．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的大小为（　　）

A．80° B．75° C．60° D．45°
22．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（　　）

A．110° B．145° C．35° D．70°
23．如图，射线OA表示的方向是（　　）

A．东偏南55° B．南偏东35° C．北偏西35° D．南偏东55°
24．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于灯塔南偏西15°的方向，同时观测到轮船B位于灯塔北偏东50°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）

A．65° B．105° C．140° D．145°
25．在海上，一座灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于灯塔（　　）
A．南偏西50°方向 B．南偏西40°方向
C．北偏东50°方向 D．北偏东40°方向
26．如图所示，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠COE＝28°，则∠AOD的度数为（　　）

A．56° B．62° C．72° D．124°
27．如图，在直线l上依次有A，B，C三点，则图中线段共有（　　）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
28．如图，已知线段AB＝12cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
29．点A，B，C在同一直线上，已知AB＝3cm，BC＝1cm，则线段AC的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm
30．扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为（　　）

A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．100πcm2
二．填空题（共7小题）
31．如图所示，一艘补给船从点A出发沿北偏东65°方向航行，给B点处的船补给物品，然后左转90°沿着BC方向航行，则∠DBC的大小为 　 　．

32．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，若∠ACB＝85°，则C处在B处的北偏东　 　度方向．

33．若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为 　 　．
34．已知∠AOB，过O点作OC，若∠AOC＝∠AOB，且∠AOC＝35°，则∠BOC＝　 　．
35．如图，已知四边形ABCD和四边形BEFM均为正方形，以B为圆心，以BE为半径作弧EM．若大正方形的边长为8厘米，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）

36．将12°12'化成度是 　 　°．
37．计算：35°45′+72°19′＝　 　．
三．解答题（共11小题）
38．如图，已知C，D是线段AB上的两点，C是AD的中点，CD＝3DB．
（1）图中以点A，B，C，D中任意两点为端点的线段共有 　 　条；
（2）设BD＝2cm，求AB的长．

39．补全解题过程：
已知：如图，点A在线段BC上，AB＝2AC，点D是线段BC的中点．CD＝3，求线段AD的长．
解：∵点D是线段BC的中点，CD＝3，
∴BC＝2 　 　＝　 　．
∵BC＝AC+　 　，
∵AB＝2AC，
∴BC＝　 　AC．
∴AC＝　 　．
∴AD＝CD﹣AC＝　 　．

40．如图，已知线段m，n（m＜n）．
（1）尺规作图：在射线AE上截取AC＝m，CB＝n，使得AB＝m+n（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若点O是AB的中点，当m＝3，n＝5时，求线段OC的长；
（3）在（1）的条件下，若点O是AB的中点，点D是AO的中点，则线段CD＝　 　（用含m，n的代数式表示）．


41．如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
（1）尺规作图：以E为顶点，作∠AEF＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．

42．如图，已知直线AE，O是直线AE上一点．OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．∠AOB＝30°．
（1）求∠COE的度数；
（2）求∠BOD的度数．

43．如图，C是线段AB上一点，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts．

（1）当t＝1s时，CP＝　 　cm，QB＝　 　cm；
（2）当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？
（3）当运动时间为多少时，BQ＝AP？
44．如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s．
（1）若AP＝PB，
①当动点C，D运动了2s时，AC+PD＝　 　cm；
②当C，D两点间的距离为5cm时，则运动的时间为 　 　s；
（2）当点C，D在运动时，总有PD＝2AC，
①求AP的长度；
②若在直线AB上存在一点Q，使AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长度．


45．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD、OE．并且使OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB＝50°，∠DOE＝30°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，求∠AOE的度数；
（3）当∠AOD＝n°时，则∠BOE＝（150﹣n）°，求∠BOD的度数．

46．（1）如图1，OC是∠AOB内部的一条射线，且OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
①若∠AOC＝20°，∠BOC＝50°，则∠EOD的度数是 　 　．
②若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOD的度数，并根据计算结果直接写出∠EOD与∠AOB之间的数量关系．
（2）如图2，射线OC在∠AOB的外部，且OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．试着探究∠EOD与∠AOB之间的数量关系．

47．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．

（1）求图1中∠BOD的度数．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．

48．如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数；
（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT＝∠NOT或者∠NOT＝∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．


专题4--基本平面图形
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．一个平角就是一条直线
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．两点之间线段最短
【分析】概念分析题，针对每个选项逐个分析，通过线和角的概念即可判断．
【解答】解：A：角和直线不是一个概念，故A错误；
B：连接两点线段的长度叫两点的距离，故B错误；
C：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故C错误．
故选：D．
【点评】主要就是概念中容易出错的地方，直线、射线、线段的区别，角度的定义要熟记．
2．下列四个说法：①一个有理数不是整数就是分数；②绝对值等于本身的数只有0；③如果AB＝BC，则点B是线段AC的中点；④一个角的两边越长，角度越大．其中不正确的是（　　）
A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】利用分别判断，即可确定选项．
【解答】解：①一个有理数不是整数就是分数，故①正确；
②绝对值等于它本身是非负数，故②错误；
③若AB＝BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故③错误．
④角的大小与边的长短无关，故角的两边越长，角就越大是错误的．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的概念、绝对值的性质、角的概念及线段中点的定义，熟记概念和性质是解题的关键．
3．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【解答】解：A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；
B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了角的表示方法，关键是注意用三个大写字母表示，顶点字母要写在中间；唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
4．如图，下列表示角的方法中，不正确的是（　　）

A．∠A B．∠E C．∠α D．∠1
【分析】先表示出各个角，再根据角的表示方法选出即可．
【解答】解：图中的角有∠A、∠1、∠α、∠AEC，
即表示方法不正确的有∠E，
故选：B．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要考查学生对角的表示方法的理解和掌握．
5．已知∠AOB＝55°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数为（　　）
A．75° B．35° C．75°或35° D．无法确定
【分析】分清OC在∠AOB内部还是外部就可求出答案
【解答】解：①当OC在∠AOB内时，
∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝55°﹣20°＝35°
②当OC在∠AOB外时，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝55°+20°＝75°
综上所述
∠AOC＝35°或75°．
故选：C．
【点评】根据题意画出图形，本题中易错的地方是漏掉其中的一种情况，所以求解时要分情况讨论．
6．钟表在8：30时，时针与分针的夹角是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
2×30°+×30°＝75°，
∴钟表在8：30时，时针与分针的夹角是：75°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
7．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（　　）
A．150° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
5×30°﹣40×0.5°＝150°﹣20°＝130°，
∴在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：130°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针1分钟转0.5°是解题的关键．
8．过一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形．这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形，计算可求解．
【解答】解：由题意得5+2＝7，
故过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形的多边形为七边形，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的边数与对角线的关系，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，将这个多边形分成（n﹣2）个三角形．
9．如图，BD在∠ABC的内部，∠ABD＝∠CBD，如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝（　　）

A． B．20° C．60° D．
【分析】设∠ABD＝x，根据已知得出∠CBD＝3x，结合已知，进而得出答案．
【解答】解：设∠ABD＝x，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝x+3x＝4x＝80°，
解得：x＝20°，
即∠ABD＝20°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角的计算，正确用同一未知数表示出各角度数是解题关键．
10．如图，D是线段AB上的一点，点C是AB的中点，AB＝6，DB＝1，则CD＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．6
【分析】根据点C是AB的中点，AB＝6，可计算出BC的长度，由BD＝1，CD＝BC﹣BD即可得出答案．
【解答】解：∵点C是AB的中点，AB＝6，
∴BC＝＝＝3，
∵BD＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点的距离计算的方法进行计算是解决本题的关键．
11．如图，点C、D分别是线段AB上两点（CD＞AC，CD＞BD），用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】由作图可得点C和点D分别是AE、BF的中点，再根据线段中点的定义可得答案．
【解答】解：∵CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，
∴点C和点D分别是AE、BF的中点，
∴CE＝AE，DF＝BF，
∴CD＝CE+DF＝AE+BF＝AB＝4．
故选：A．
【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．
12．计算：600″＝（　　）
A．6′ B．10′ C．36′ D．60′
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可．
【解答】解：∵1′＝60″，
∴600″＝10′，
故选：B．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
13．把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　）
A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″
【分析】根据大单位化小单位除以进率，可得答案．
【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″，
故选：A．
【点评】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
14．已知点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据线段的中点性质先求出AD，再求出AB即可．
【解答】解：如图：

∵C是线段AD的中点，CD＝1，
∴AD＝2CD＝2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB＝2AD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键．
15．已知线段AB＝6，下面四个选项中能确定点C是线段AB中点的是（　　）
A．BC＝3 B．AC＝BC＝3 C．AC＝BC D．AB＝2AC
【分析】根据线段中点的定义判断即可．
【解答】解：A．点C可以在线段AB的延长线上一点，也有BC＝3，故A不符合题意；
B．∵AC＝BC＝3，
∴点C是线段AB中点，故B符合题意；
C．点C可以在线段AB的垂直平分线上任意一点，故C不符合题意；
D．点C可以在BA的延长线上一点，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了两点间距离，直线、射线、线段，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
16．把一根木条固定在墙面上，至少需要两枚钉子，这样做的数学依据是（　　）
A．两点之间线段最短 B．两点之间直线最短
C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【解答】解：把一根木条固定在墙面上，至少需要两枚钉子，这样做的数学依据是：两点确定一条直线．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
17．如图所示，由A到B有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是（　　）

A．两点确定一条直线 B．两点间距离的定义
C．两点之间，线段最短 D．因为它直
【分析】根据线段的性质进行解答即可．
【解答】解：最短的路线选①的理由是两点之间，线段最短，
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
18．如图，把一张长方形纸片沿对角线BD折叠，∠CBD＝25°，则∠ABF的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】利用折叠的特性可得∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用正方形的性质∠ABC＝90°，则∠ABE＝90°﹣∠EBC，结论可得．
【解答】解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，
则∠EBC＝∠CBD+∠EBD＝50°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠EBC＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，正方形的性质，利用折叠是全等变换得出：∠CBD＝∠EBD，这是解题的关键．
19．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（　　）

A．18° B．20° C．36° D．45°
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，
∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，
∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．
故选：C．
【点评】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．
20．如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A1处，点D落在点D1处，若∠1＝30°，则∠BMC＝（　　）

A．135° B．120° C．105° D．100°
【分析】根据“折叠”前后的等量关系可以得知MB和MC分别是∠AMA1和∠DMD1的角平分线，再利用平角是180°，计算求出∠BMC．
【解答】解：∵∠1＝30°
∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣30°＝150°
∵将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在点A1处，点D落在点D1处，
∴MB平分∠AMA1，MC平分∠DMD1
∴∠BMA1+∠CMD1＝（∠AMA1+∠DMD1）＝75°
∴∠BMC＝∠1+∠BMA1+∠CMD1＝30°+75°＝105°
故选：C．
【点评】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在初中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握．
21．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠AOB的大小为（　　）

A．80° B．75° C．60° D．45°
【分析】依据一幅直角三角板的度数有60°，45°，30°，90°，据此解答即可．
【解答】解：根据题意可得∠AOB＝45°+30°＝75°．
故选：B．
【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°，比较简单．
22．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，则∠AOD等于（　　）

A．110° B．145° C．35° D．70°
【分析】首先根据角平分线定义可得∠BOD＝2∠BOC＝70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．
【解答】解：∵射线OC平分∠DOB．
∴∠BOD＝2∠BOC，
∵∠COB＝35°，
∴∠DOB＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了角平分线定义和邻补角的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．
23．如图，射线OA表示的方向是（　　）

A．东偏南55° B．南偏东35° C．北偏西35° D．南偏东55°
【分析】方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
【解答】解：由题可得，射线OA表示的方向是南偏东55°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
24．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于灯塔南偏西15°的方向，同时观测到轮船B位于灯塔北偏东50°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）

A．65° B．105° C．140° D．145°
【分析】先求出50°的余角为40°，然后再加上90°与15°的和即可．
【解答】解：由题意得：
90°﹣50°＝40°，
∴∠AOB＝15°+90°+40°＝145°，
故选：D．
【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
25．在海上，一座灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于灯塔（　　）
A．南偏西50°方向 B．南偏西40°方向
C．北偏东50°方向 D．北偏东40°方向
【分析】根据方向角的概念和平行线的性质解答．
【解答】解：根据方向角的概念，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于灯塔的南偏西40°方向．
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，比较简单，只要同学们熟练掌握方向角的概念，再结合平行线的性质求解．
26．如图所示，∠AOB是平角，OC是射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，若∠COE＝28°，则∠AOD的度数为（　　）

A．56° B．62° C．72° D．124°
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC＝56°，推出∠AOC＝124°，再根据角平分线的定义求解即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝56°．
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝124°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝∠AOC＝62°．
故选：B．

【点评】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．如图，在直线l上依次有A，B，C三点，则图中线段共有（　　）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【分析】根据线段的概念求解．
【解答】解：图中线段共有AB、AC、BC三条，
故选：B．
【点评】本题主要考查线段的定义，掌握线段的定义和数线段的方法．
28．如图，已知线段AB＝12cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据M是AB中点，先求出BM的长度，则MN＝BM﹣BN．
【解答】解：∵AB＝12cm，M是AB中点，
∴BM＝AB＝6cm，
又∵NB＝2cm，
∴MN＝BM﹣BN＝6﹣2＝4（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的长短比较，根据点M是AB中点先求出BM的长度是解本题的关键．
29．点A，B，C在同一直线上，已知AB＝3cm，BC＝1cm，则线段AC的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答．
【解答】解：本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图，AC＝AB﹣BC，

又∵AB＝3cm，BC＝1cm，
∴AC＝3﹣1＝2cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC＝AB+BC，

又∵AB＝3cm，BC＝1cm，
∴AC＝3+1＝4cm．
故线段AC＝2cm或4cm．
故选：D．
【点评】考查了两点间的距离，在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
30．扇子是引风用品，夏令营必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5cm，贴纸的部分BD的长为10cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为（　　）

A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．100πcm2
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形ADE的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为30cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：设AB＝R，AD＝r，
则S贴纸＝πR2﹣πr2
＝π（R2﹣r2）
＝π（R+r）（R﹣r）
＝×（15+5）×（15﹣5）π
＝π（cm2）．
答：贴纸部分的面积为πcm2．
故选：C．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式，此题难度一般．
二．填空题（共7小题）
31．如图所示，一艘补给船从点A出发沿北偏东65°方向航行，给B点处的船补给物品，然后左转90°沿着BC方向航行，则∠DBC的大小为 　65°　．

【分析】延长AB到E，根据题意可得：∠GAE＝65°，∠GAF＝90°，∠CBE＝90°，DB∥AF，从而求出∠BAF＝25°，然后利用平行线的性质可得∠DBA＝∠BAF＝25°，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：延长AB到E，

由题意得：
∠GAE＝65°，∠GAF＝90°，∠CBE＝90°，DB∥AF，
∴∠BAF＝∠GAF﹣∠GAB＝25°，
∵DB∥AF，
∴∠DBA＝∠BAF＝25°，
∵∠CBE＝90°，
∴∠CBA＝180°﹣∠CBE＝90°，
∴∠DBC＝∠CBA﹣∠DBA＝65°，
故答案为：65°．

【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
32．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，若∠ACB＝85°，则C处在B处的北偏东　80　度方向．

【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角．
【解答】解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，
∴∠BAC＝45°+15°＝60°，
∵∠ACB＝85°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣85°＝35°，
∴C处在B处的北偏东45°+35°＝80°，
故答案为80．
【点评】本题考查了方向角，熟练利用平行线的性质与三角形的内角和定理是解题的关键．
33．若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为 　15　．
【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．
【解答】解：设这个多边形是n边形．
依题意，得n﹣3＝12，
∴n＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．
34．已知∠AOB，过O点作OC，若∠AOC＝∠AOB，且∠AOC＝35°，则∠BOC＝　35°或105°　．
【分析】分两种情况计算，①当OC在∠AOB的内部时；②当当OC在∠AOB的外部时，利用角的和差关系计算即可．
【解答】解：①当OC在∠AOB的外部时，

∵∠AOC＝∠AOB，∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝3∠AOC＝3×35°＝105°；
②当当OC在∠AOB的内部时，

∵∠AOC＝∠AOB，∠AOC＝35°，
∴∠BOC＝∠AOC＝35°．
故∠BOC的度数为35°或105°．
故答案为：35°或105°．
【点评】此题考查的是角的运算，正确画出图形是解决此题关键．
35．如图，已知四边形ABCD和四边形BEFM均为正方形，以B为圆心，以BE为半径作弧EM．若大正方形的边长为8厘米，则图中阴影部分的面积为 　16π平方厘米　．（结果保留π）

【分析】根据正方形的性质得出∠ABC＝∠DCM＝90°，BE＝BM＝8，AB＝BC＝CD＝AD，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，则阴影部分的面积S＝S扇形BME+S正方形ABCD+S△DMC﹣S△ADE，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且大正方形的边长为8厘米，
∴∠ABC＝∠DCM＝90°，BE＝BM＝8，AB＝BC＝CD＝AD，
设AB＝BC＝CD＝AD＝a，
则阴影部分的面积S＝S扇形BME+S正方形ABCD+S△DMC﹣S△ADE
＝+a2+•a•（8﹣a）﹣•（8+a）•a
＝16π（平方厘米），
故答案为：16π平方厘米．
【点评】本题考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，解此题的关键是能表示出阴影部分的面积．
36．将12°12'化成度是 　12.2　°．
【分析】根据度分秒的进制换算后进行计算即可．
【解答】解：∵12′＝0.2°，
∴12°12'＝12.2°，
故答案为：12.2．
【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
37．计算：35°45′+72°19′＝　108°4′　．
【分析】先算分，满60进位，再算度，依此计算即可求解．
【解答】解：35°45′+72°19′＝107°64′＝108°4′．
故答案为：108°4′．
【点评】考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
三．解答题（共11小题）
38．如图，已知C，D是线段AB上的两点，C是AD的中点，CD＝3DB．
（1）图中以点A，B，C，D中任意两点为端点的线段共有 　6　条；
（2）设BD＝2cm，求AB的长．

【分析】（1）分别写出各个线段即可得出答案；
（2）根据线段的和差即可求得AB的长．
【解答】解：（1）线段有：AC，AD，AB，CD，CB，DB共6条，
故答案为：6；
（2）∵BD＝2cm，
∴CD＝3DB＝6（cm），
∵C是AD的中点，
∴AD＝2CD＝12（cm），
∴AB＝AD+DB＝12+2＝14（cm）．
【点评】本题考查了两点之间的距离，根据线段的和差得出AB是解题关键．
39．补全解题过程：
已知：如图，点A在线段BC上，AB＝2AC，点D是线段BC的中点．CD＝3，求线段AD的长．
解：∵点D是线段BC的中点，CD＝3，
∴BC＝2 　CD　＝　6　．
∵BC＝AC+　AB　，
∵AB＝2AC，
∴BC＝　3　AC．
∴AC＝　2　．
∴AD＝CD﹣AC＝　1　．

【分析】根据线段中点的的定义和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵点D是线段BC的中点，CD＝3，
∴BC＝2CD＝6．
∵BC＝AC+AB，
∵AB＝2AC，
∴BC＝3AC．
∴AC＝2．
∴AD＝CD﹣AC＝1．
故答案为：CD，6，AB，3，2，1．
【点评】本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键．
40．如图，已知线段m，n（m＜n）．
（1）尺规作图：在射线AE上截取AC＝m，CB＝n，使得AB＝m+n（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若点O是AB的中点，当m＝3，n＝5时，求线段OC的长；
（3）在（1）的条件下，若点O是AB的中点，点D是AO的中点，则线段CD＝　　（用含m，n的代数式表示）．


【分析】（1）在射线AE上延长截取AC＝m，CB＝n，从而得到AB；
（2）先利用点O是AB的中点得到AO＝4，然后计算OA﹣AC即可；
（3）先由点O是AB的中点得到AO＝（m+n），再利用点D是AO的中点得到AD＝（m+n），然后计算AC﹣AD即可．
【解答】解：（1）如图，AB为所作；

（2）∵m＝3，n＝5，
∴AB＝3+5＝8，
∵点O是AB的中点，
∴AO＝AB＝×8＝4，
∴OC＝OA﹣AC＝4﹣3＝1；
（3）∵点O是AB的中点，
∴AO＝AB＝（m+n），
∵点D是AO的中点，
∴AD＝AO＝（m+n），
∴CD＝AC﹣AD＝m﹣（m+n）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了两点间的距离．
41．如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
（1）尺规作图：以E为顶点，作∠AEF＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．

【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作∠AEF＝∠ABC，交BD于点F；
（2）根据∠DFE＝150°，结合（1）即可求∠BEF的度数．
【解答】解：（1）如图，∠AEF即为所求；

（2）∵∠DFE＝150°，
∴∠EFB＝180°﹣150°＝30°，
∵∠AEF＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠FBC＝∠EFB＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠BEF＝∠FBC＝30°．
答：∠BEF的度数为30°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
42．如图，已知直线AE，O是直线AE上一点．OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．∠AOB＝30°．
（1）求∠COE的度数；
（2）求∠BOD的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠AOC的度数，由平角的定义可求出答案；
（2）求出∠COD，再根据角的和差关系求解即可．
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
又∵∠AOB＝30°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝60°，
∵∠COE+∠AOC＝180°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°；
（2）∵OD是∠COE的平分线．∠COE＝120°，
∴∠COD＝∠COE＝60°，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD
＝30°+60°
＝90°．
【点评】本题考查角平分线以及角的计算，理解角平分线的意义以及角的和差关系是正确计算的前提．
43．如图，C是线段AB上一点，AB＝12cm，AC＝4cm，P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts．

（1）当t＝1s时，CP＝　3　cm，QB＝　6　cm；
（2）当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？
（3）当运动时间为多少时，BQ＝AP？
【分析】（1）先求出CB的长度，再根据P和Q的运动速度可得答案；
（2）ts后，AP＝t，AQ＝4+2t，然后列方程可得答案；
（3）ts后，AP＝t，BQ＝|8﹣2t|，根据题意列方程可得答案．
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴CB＝12﹣4＝8cm，
当t＝1s时，CP＝4﹣1×1＝3（cm），QB＝8﹣2×1＝6（cm）．
故答案为：3，6；
（2）t秒后，AP＝t，AQ＝4+2t，
∴（4+2t）﹣t＝12，
解得t＝2，
答：当运动时间为2s时，PQ为AB的一半；
（3）ts后，AP＝t，BQ＝|8﹣2t|，
∴t＝|8﹣2t|，
解得t＝8或，
答：当运动时间为8s或s时，BQ＝AP．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
44．如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发在线段AB上向左运动（无论谁先到达A点，均停止运动），点C的运动速度为1cm/s，点D的运动速度为2cm/s．
（1）若AP＝PB，
①当动点C，D运动了2s时，AC+PD＝　12　cm；
②当C，D两点间的距离为5cm时，则运动的时间为 　4　s；
（2）当点C，D在运动时，总有PD＝2AC，
①求AP的长度；
②若在直线AB上存在一点Q，使AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长度．


【分析】（1）①由题意可求AP＝BP＝9cm，CP＝2cm，DB＝4cm，则可分别求出AC＝7cm，PD＝5cm，则AC+PD＝12cm；
②设运动时间为ts，则CP＝tcm，DB＝2tcm，可求CD＝t+（9﹣2t）＝5，求出t即可；
（2）①由已知可得PB﹣BD＝2（AP﹣CP），再由BD＝2CP，得到PB＝2AP，即可求AP＝6cm；
②分两种情况讨论：当Q点在B点右侧时，AB＝PQ＝18cm；当Q点在AB之间时，AP＝BQ＝6cm，则PQ＝18﹣6﹣6＝6cm．
【解答】解：（1）①∵AB＝18cm，AP＝PB，
∴AP＝BP＝9cm，
∵动点C，D运动了2s，
∴CP＝2cm，DB＝4cm，
∴AC＝AP﹣CP＝9﹣2＝7cm，PD＝PB﹣BD＝9﹣4＝5cm，
∴AC+PD＝12cm，
故答案为：12；
②设运动时间为ts，
∴CP＝tcm，DB＝2tcm，
∴CD＝CP+PD＝t+（9﹣2t），
∵CD＝5cm，
∴t+（9﹣2t）＝5，
∴t＝4s，
故答案为：4；
（2）①∵AC＝AP﹣CP，PD＝PB﹣BD，PD＝2AC，
∴PB﹣BD＝2（AP﹣CP），
∵BD＝2CP，
∴PB﹣BD＝PB﹣2CP＝2（AP﹣CP），
∴PB＝2AP，
∵PB+AP＝AB＝18cm，
∴AP＝6cm；
②当Q点在B点右侧时，AQ﹣BQ＝AB，
∵AQ﹣BQ＝PQ，
∴AB＝PQ＝18cm；
当Q点在AB之间时，
∵AQ﹣BQ＝PQ，
∴AQ＝PQ+BQ，
∵AQ＝AP+PQ，
∴AP＝BQ，
∵AP＝6cm，
∴BQ＝6cm，
∴PQ＝18﹣6﹣6＝6cm；
综上所述：PQ的长度为6cm或18cm．
【点评】本题考查两点间距离，熟练掌握线段上两点间距离的求法，分类讨论是解题的关键．
45．如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD、OE．并且使OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）若∠AOB＝50°，∠DOE＝30°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，求∠AOE的度数；
（3）当∠AOD＝n°时，则∠BOE＝（150﹣n）°，求∠BOD的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠AOB的度数，∠COD＝∠DOE的度数由∠BOD＝∠BOC+∠COD代入计算即可得出答案；
（2）设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠COB，由已知条件可得∠AOB＝∠BOC＝100°﹣2x°，即可算出∠COD+∠COB+∠AOB的度数，即可列出代数式x+100﹣2x+100﹣2x＝110，算出x＝30，
即可算出∠EOD＝∠DOC的度数由∠AOE＝∠AOD+∠DOE代入计算即可得出答案；
（3）设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠BOC＝y°，依题意可知，x°+y°+y°＝n°，x°+x°+y°＝（150﹣n）°，即可的则x°+3y°＝150°，可算出x°+y°＝50°，即可得出答案．
【解答】解：（1）OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOB＝50°；
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COD＝∠DOE＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝50°+30°＝80°；
（2）∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，
∴设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠COB，
∵∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，
∴∠AOB＝∠BOC＝100°﹣2x°，
∴∠COD+∠COB+∠AOB＝110°，
∴x+100﹣2x+100﹣2x＝110，
解得x＝30，
即∠EOD＝∠DOC＝30°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°+30°＝140°．
（3）设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠BOC＝y°，
依题意可知，x°+y°+y°＝n°，x°+x°+y°＝（150﹣n）°
则3x°+3y°＝150°，
∴x°+y°＝50°，
∴∠BOD＝50°．
【点评】本题主要考查了角的计算及角平分线的定义，熟练掌握角的计算及角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．
46．（1）如图1，OC是∠AOB内部的一条射线，且OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
①若∠AOC＝20°，∠BOC＝50°，则∠EOD的度数是 　35°　．
②若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOD的度数，并根据计算结果直接写出∠EOD与∠AOB之间的数量关系．
（2）如图2，射线OC在∠AOB的外部，且OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．试着探究∠EOD与∠AOB之间的数量关系．

【分析】（1）①由角平分线的定义及角的和差可求解∠EOD＝∠AOC+∠BOC，再将∠AOC，∠BOC的度数代入计算可求解∠EOD的度数；
②由角平分线的定义及角的和差可求解∠EOD＝∠AOC+∠BOC，再将∠AOC，∠BOC的度数代入计算可求解∠EOD的度数；根据计算的结果可求得∠EOD与∠AOB之间的数量关系；
（2）由角平分线的定义及角的和差可求解∠EOD＝∠AOC+∠BOC，进而可求得∠EOD与∠AOB之间的数量关系．
【解答】解：（1）①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOD＝∠COD+∠EOC＝∠AOC+∠BOC，
∵∠AOC＝20°，∠BOC＝50°，
∴∠EOD＝25°+10°＝35°，
故答案为：35°；
②∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOD＝∠COD+∠EOC＝∠AOC+∠BOC，
∵∠AOC＝α，∠BOC＝β，
∴∠EOD＝＝（α+β）；
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，
∴∠EOD＝∠AOB；
（2）∠EOD＝∠AOB．
证明：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOD＝∠COD﹣∠EOC＝∠AOC﹣∠BOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB．
即∠EOD＝∠AOB．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，角的计算，灵活运用角平分线求解交的度数是解题的关键．
47．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．

（1）求图1中∠BOD的度数．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；
（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；
②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°；
（2）①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°﹣α＝45°，
∴α＝30°；
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°﹣α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
【点评】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．
48．如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．
（1）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝∠AOD，求∠AOD的度数；
（3）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT＝∠NOT或者∠NOT＝∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值．

【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；
（2）设∠AOD＝x，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出∠AOP和∠QOP的度数，依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论．
【解答】解：（1）OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD．
∵∠COD＝60°，
∴∠AOD＝2∠COD＝120°；
（2）设∠AOD＝x，则∠BOC＝x．
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，
∵∠AOB＝90°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝150°﹣∠BOC．
∴x＝150﹣x．
解得：x＝140°．
∴∠AOD的度数为140°．
（3）当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，

由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．
∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，
∠QOP＝90°﹣∠AOQ﹣∠BOP＝90°﹣21t．
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝∠AOP．
∴90°﹣21t＝（90°﹣12t）．
解得：t＝3．
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，

由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．
∴∠AOP＝90°﹣∠BOP＝90°﹣12t，
∠QOP＝∠BOP﹣∠BOQ＝∠BOP﹣（90°﹣∠AOQ）＝21t﹣90°．
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝∠AOP或∠AOP＝∠QOP．
∴21t﹣90°＝（90°﹣12t）或90°﹣12t＝（21t﹣90）．
解得：t＝5或t＝6．
当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，

由于∠AOP≠∠QOP，
∴此时射线OP不可能为两条射线OA和OQ的“和谐线”．
当射线OP与射线OQ均在∠AOB的外部时，如图，

由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t．
∴∠AOP＝12t﹣90°，
∠QOP＝360°﹣∠AOP﹣∠AOQ＝450°﹣21t．
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠AOP＝∠QOP．
∴12t﹣90°＝（450°﹣21t）．
解得：t＝14．
综上所述，在0＜t＜15时，当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值为3或5或6或14．
【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想方法的应用，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
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