2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案解析）

这是一份2022-2023学年山东省淄博市高青县八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案解析），共14页。试卷主要包含了5C，【答案】D，【答案】C，【答案】A，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

下列各式中，是分式的是( )
A. a+bB. a+b2C. a+bπD. 1a+b
一组数据2，4，5，3，2的中位数是( )
A. 5B. 3.5C. 3D. 2.5
下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+3)(x−3)=x2−9B. x2−9+x=(x+3)(x−3)−x
C. xy2−x2y=xy(y−x)D. x2+5x+4=x(x+5)+4
若分式a2−1a−1的值为0，则a的值为( )
A. ±1B. 0C. −1D. 1
已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是( )
A. 5B. 5.5C. 6D. 6.5
在计算m2m+1÷⊗m+1时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则这道题的正确的结果是( )
A. 1m−1B. 1mC. m−1D. m
随着电影《你好，李焕英》的热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是( )
A. 400x−6002x=4B. 600x−4002x=4C. 4002x−600x=4D. 6002x−400x=4
如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为( )
A. 80
B. 160
C. 320
D. 480
已知x−y=2，xy=12，那么x3y+x2y2+xy3的值为( )
A. 3B. 5C. 112D. 114
若关于x的方程ax+1+1=x+ax−1的解为负数，且关于x的不等式组−12(x−a)>0x−1≥2x−13无解．则所有满足条件的整数a的值之积是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
分解因式：x3−xy2=______.
多项式x2+mx+6因式分解得(x−2)(x+n)，则m=______ .
若x−y−3=0，则代数式x2−y2−6y的值等于______.
如果有一组数据1，0，−2，3，x的极差是6，那么x的值是______.
已知关于x的分式方程xx−1=m2x−2+3的解是非负数，则m的取值范围是______.
因式分解：
(1)3x2−6xy+3y2；
(2)(a−b)2−a+b.
解分式方程
(1)x2x−3+53−2x=4
(2)1x−1−2x+1=4x2−1
(1)先化简，再求值：4x2−12−4x÷4x2+4x+1x，其中x=14.
(2)先化简，再求值：(1−2x+1x+2)÷x2−2x+1x2−4，其中x=3.
某中学为了解学生参加户外活动的情况，随机调在了该校部分学生每周参加户外活动的时间，并用得到的数据绘制了如下统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的学生共______人，并补全条形统计图；
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数众数和中位数；
(3)若该校共有1500名学生，估计该校参加户外活动时间超过3h的学生人数．
解答下列各题：
(1)已知a2+b2=2，ab=1，求a+b和a−b的值；
(2)若a+1a=3，求：a2+1a2=______.(写出过程)
(3)若a−1a=3，求：a4+1a4=______.(写出过程)
2022年北京冬奥会物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，各种冰墩墩的玩偶，挂件等饰品应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元．
(1)其中700元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种饰品的单价．
(2)购买当日，正逢“五一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种饰品共120件；问最多购买A种饰品多少件？
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式；
(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
(3)若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，利用得到的结论求a2+b2+c2的值．
探究题：
(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9=______；x2−4x+4=______；4x2−20x+25=______；
(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62=4×1×9；(−4)2=4×1×4；(−20)2=4×4×25；
归纳猜想：若多项式ax2+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为______；
(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论；
(4)解决问题：若多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a+b的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
B、a+b2的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
C、a+bπ的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意；
D、1a+b的分母中含有字母，是分式，符合题意．
故选：D.
分式的分母必须含有字母．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：从小到大排列此数据为：2、2、3、4、5，中位数是第三个数3，
故选：C.
先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
3.【答案】C
【解析】解：A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
B.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；
C.是因式分解，故C符合题意；
D.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意．
故选：C.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得a2−1=0a−1≠0，
解得：a=−1，
故选：C.
根据分式值为零及分式有意义的条件列方程及不等式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解当分子为零且分母不等于零时分式的值为零是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴16(4+x+5+y+7+9)=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是12(5+6)=5.5，
故选：B.
先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
本题考查了众数、平均数和中位数的知识，解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
6.【答案】D
【解析】解：m2m+1+⊗m+1=m，
方程两边同时乘以m+1，得m2+⊗=m(m+1)，
解得⊗=m，
∴m2m+1÷⊗m+1=m2m+1÷mm+1=m，
故选：D.
先通过m2m+1+⊗m+1=m，求出⊗=m，再将⊗=m代入原式再求解即可．
本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法运算，并能准确计算是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
由第二次购进的数量比第一次多1倍，可得出第二次购进2x套，利用单价=总价÷数量，结合第二次比第一次进价便宜4元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：∵第二次购进数量比第一次多1倍，且第一次购进x套，
∴第二次购进2x套．
依题意得：400x−6002x=4.
故选：A.
8.【答案】B
【解析】解：∵边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，
∴a+b=10，ab=16，
∴a2b+ab2=ab(a+b)
=16×10
=160.
故选：B.
直接利用长方形面积求法以及周长求法得出a+b=10，ab=16，再将原式提取公因式ab分解因式，代入数据求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵x−y=2，xy=12，
∴原式=xy⋅(x2+xy+y2)
=xy⋅[(x−y)2+3xy]
=12×[22+3×12]
=12×(4+32)
=12×112
=114.
故选：D.
原式提取公因式，再利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：将分式方程去分母得：
a(x−1)+(x+1)(x−1)=(x+a)(x+1)
解得：x=−2a−1
∵解为负数
∴−2a−1<0
∴a>−12
∵当x=1时，a=−1；x=−1时，a=0，此时分式的分母为0，
∴a>−12，且a≠0；
将不等式组整理得：x∵不等式组无解
∴a≤2
∴a的取值范围为：−12∴满足条件的整数a的值为：1，2
∴所有满足条件的整数a的值之积是2.
故选：C.
分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．
本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法，是解题的关键．
11.【答案】x(x+y)(x−y)
【解析】解：原式=x(x2−y2)
=x(x+y)(x−y).
故答案为：x(x+y)(x−y).
直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12.【答案】−5
【解析】解：x2+mx+6因式分解得(x−2)(x+n)，得
x2+mx+6=(x−2)(x+n)，(x−2)(x+n)=x2+(n−2)x−2n，
x2+mx+6=x2+(n−2)x−2n，
−2n=6，m=n−2.
解得n=−3，m=−5，
故答案为−5.
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．
13.【答案】9
【解析】解：∵x−y−3=0，
∴x=y+3，
∴x2=(y+3)2=y2+6y+9，
∴x2−y2−6y=9，
故答案为：9.
根据x−y−3=0，得出x=y+3，两边平方移项即可得出x2−y2−6y的值．
本题主要考查因式分解的应用，熟练利用因式分解将已知等式变形是解题的关键．
14.【答案】4或−3
【解析】解：∵数据−2，0，1，3，x的极差是6，
∴x−(−2)=6或3−x=6，
解得x=4或x=−3，
故答案为：4或−3.
由数据−2，0，1，3，x的极差是6，知x−(−2)=6或3−x=6，解之即可．
本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
15.【答案】m≤6且m≠2
【解析】解：关于x的分式方程xx−1=m2x−2+3的解为：x=6−m4，
∵分式方程有可能产生增根1，
∴6−m4≠1，
∴m≠2；
∵关于x的分式方程xx−1=m2x−2+3的解是非负数，
∴6−m4≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是m≤6且m≠2.
故答案为：m≤6且m≠2.
求得分式方程的解，依据题意列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要考虑可能产生增根的情形，这是解题的关键．
16.【答案】解：(1)3x2−6xy+3y2
=3(x2−2xy+y2)
=3(x−y)2；
(2)(a−b)2−a+b=(a−b)(a−b−1).
【解析】(1)此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
(2)直接提取公因式(a−b)即可求解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
17.【答案】解：(1)方程两边乘(2x−3)，得x−5=4(2x−3)，
解得：x=1，
当x=1时，2x−3≠0，
∴原分式方程的解为x=1；
(2)方程两边乘(x−1)(x+1)，得x+1−2(x−1)=4，
解得：x=−1，
当x=−1时，x2−1=0，
故x=−1是原分式方程的增根.
∴原分式方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：(1)4x2−12−4x÷4x2+4x+1x
=(2x−1)(2x+1)−2(2x−1)⋅x(2x+1)2
=x−2(2x+1)
=x−4x−2，
当x=−14时，
原式=14−4×14−2
=14−1−2
=−112；
(2)(1−2x+1x+2)÷x2−2x+1x2−4
=(x+2x+2−2x+1x+2)÷(x−1)2(x+2)(x−2)
=−(x−1)x+2⋅(x−2)(x+2)(x−1)2
=−x−2x−1，
当x=3时，
原式=−3−23−1
=−12.
【解析】(1)利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可；
(2)利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】50
【解析】解：(1)本次接受调查的学生人数为：4÷8%=50(人)，
50×32%=16(人)，
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
(2)平均数是：2×4+3×16+4×14+5×10+6×650=3.96(小时)，
众数是3小时，中位数是4小时，
即本次调查获取的样本数据的平均数是3.96小时、众数是3小时、中位数是4小时；
(3)1500×14+10+650=900(人)，
即估计该校户外活动时间超过3小时的学生有900人．
(1)根据参加户外活动2小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数；用总人数乘32%即可得出外活动时间为3小时的学生人数，再补全条形统计图即可；
(2)根据统计图中的数据，可以计算出平均数，写出相应的众数和中位数；
(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校户外活动时间超过3小时的学生人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】7 119
【解析】解：(1)∵a2+b2=2，ab=1，
∴(a+b)2
=a2+b2+2ab
=2+2
=4，
∴a+b=±2；
(a−b)2
=a2+b2−2ab
=2−2
=0，
∴a−b=0；
(2)∵(a+1a)2=a2+1a2+2，
∴a2+1a2
=(a+1a)2−2
=32−2
=7；
故答案为：7；
(3)∵(a−1a)2=a2+1a2−2.
∴a2+1a2
=(a+1a)2+2
=32+2
=11；
∵(a2+1a2)2=a4+1a4+2，
∴a4+1a4
=(a2+1a2)2−2
=112−2
=121−2
=119.
故答案为：119.
(1)利用完全平方公式进行求解即可；
(2)对已知条件进行平方运算，从而可求解；
(3)对已知条件进行平方运算，从而可求解．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21.【答案】解：(1)设B种饰品的单价为x元，则A种饰品的单价为(x+20)元，
依题意得：1600−700x=3×700x+20，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，
∴x+20=15+20=35.
答：A种饰品的单价为35元，B种饰品的单价为15元．
(2)设购买A种饰品m件，则购买B种饰品(120−m)件，
依题意得：35×0.8m+15×0.8(120−m)≤1600，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10.
答：最多购买A种饰品10件．
【解析】(1)设B种饰品的单价为x元，则A种饰品的单价为(x+20)元，利用数量=总价÷单价，结合购买B种的数量是A种的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种饰品的单价，再将其代入(x+20)中即可得出A种饰品的单价；
(2)设购买A种饰品m件，则购买B种饰品(120−m)件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)图2整体是边长为a+b+c的正方形，因此面积为(a+b+c)2，图2也可以看作9个部分的面积和，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
(2)(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
即：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
(3)把a+b+c=10，ab+ac+bc=35，代入(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，得
100=a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2=100−70=30，
答：a2+b2+c2的值为30.
【解析】(1)用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可；
(2)利用整式乘法的计算方法进行计算即可；
(3)将a+b+c=10，ab+ac+bc=35，代入(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出正确答案的关键．
23.【答案】(x+3)2； (x−2)2 (2x−5)2 b2=4ac
【解析】(1)解：x2+6x+9=(x+3)2；x2−4x+4=(x−2)2；4x2−20x+25=(2x−5)2.
故答案为：(x+3)2；(x−2)2；(2x−5)2.
(2)由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：b2=4ac.
故答案为：b2=4ac.
(3)验证结论：可用x2+4x+4，
验证：∵b2=42=16，4ac=4×1×4=16，
∴b2=4ac.
(4)根据题意可得：[−(2n+6)]2=4(n+1)(n+6)，
∴4n2+24n+36=4(n2+7n+6)，
∴4n2+24n+36=4n2+28n+24，
∴4n=12，
解得n=3.
(1)可用完全平方公式进行分解因式；
(2)根据问题情境式子中的系数关系，可猜想b2=4ac；
(3)可用完全平方公式进行验证；
(4)多项式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2=4ac，可得出[−(2n+6)]2=4(n+1)(n+6)，进而求出n的值．
本题考查了完全平方公式的综合应用以及对因式分解的理解和应用，解题的关键是掌握二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).