2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级（上）期中数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年浙江省杭州市萧山区城区六校八年级（上）期中数学试卷

1.     下面是科学防控新冠知识的图案，其中的图案是轴对称图形的是(    )

A. 勤洗手勤通风 B. 喷嚏后慎揉眼
C. 戴口罩讲卫生 D. 打喷嚏捂口鼻

2.     a，b都是实数，且，则下列不等式的变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.     下列各组数不可能是一个三角形的三边长的是(    )

A. 5，12，13 B. 1，2，2 C. 5，7，12 D. 10，11，12

4.     等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.     下面语句是命题的是(    )

A. 是有理数 B. 已知求
C. 作的角平分线 D. 正数大于一切负数吗？

6.     如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是(    )
    

A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA

7.     如图，在中，，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若，则的周长为(    )

A. 25cm
B. 35cm
C. 30cm
D.

8.     如图，，AC平分，，则与满足的数量关系为(    )

A.
B.
C.
D.

9.     已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

10. 如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且，，将沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F处，则线段FG的长为(    )

A.  B.  C.  D. 1

11. 命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是______.
12. 若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是______.
13. 若，且，求a的取值范围______.
14. 如图，在中，BD平分，，，若的面积为12，则的面积为______.

15. 如图，在中，，，点D，E分别在AB，BC上，连结CD，DE，若，，，则BE的长为______.

16. 如图，在边长为4的等边中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则的最小值为______.

17. 在中，利用直尺和圆规作图．
    作出AB边上的中线CD；
    作出的角平分线

18. 学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：
    ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米如图；
    ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米如图
    根据以上信息，求旗杆AB的高度．

19. 如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，，，且
    证明：≌；
    若，，请求出DE的长度．

20. 已知：如图，中的平分线与BC的垂直平分线交于点D，于点E，的延长线于点
    求证：；
    若，，求AC的长．

21. 阅读理解应用：想要比较a与b的大小关系，可以进行作差法，结果如下：
    若则；若则若则
    比较与2ab的大小；
    直接利用的结论求的最小值；
    已知，请你运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小．
22. 如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于G，
    求证：
    已知，，连接ED，求的面积．

23. 如图，在中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
    出发2秒后，求的周长．
    问t为何值时，为等腰三角形？
    另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分？

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故选：
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

2.【答案】D 

【解析】解：A、，
，故此选项不符合题意；
B、，
，
，故此选项不符合题意；
C、，
，故此选项不符合题意；
D、，
，故此选项符合题意；
故选：
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知
A、，能组成三角形，不符合题意；
B、，能组成三角形，不符合题意；
C、，不能够组成三角形，符合题意；
D、，能组成三角形，不符合题意．
故选：
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
 

4.【答案】A 

【解析】

【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．由已知底角为，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的顶角的值．
【解答】
解：等腰三角形的底角为，
它的一个顶角为  

5.【答案】A 

【解析】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；
B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．
故选：
根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由图可知，三角形上面两角及夹边没被遮住，
所以可以根据三角形两角及夹边作出图形，
依据是
故选：
图中三角形没被遮住的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由于DE垂直平分线段AB，根据线段垂直平分线的性质得到，由此得到的周长，又，，由此即可求出的周长．
【解答】
解：垂直平分AB，
，
的周长

，
又，，
的周长
故的周长为
故选：  

8.【答案】C 

【解析】解：在射线AD上截取，连接CE，如图所示：

，AC平分，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，

故选：
在射线AD上截取，连接CE，根据SAS不难证得≌，从而得，，可求得，得，证得，即可得出结果．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，
 

9.【答案】A 

【解析】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且，
根据直角三角形中角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为，此时底角为；

当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，

BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且，
根据直角三角形中角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为，此时顶角是，底角为
故其底角为或
故选：
因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
本题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．
 

10.【答案】A 

【解析】解：将沿直线CE翻折，使点B落在点G，
，，，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故选：
由将沿直线CE翻折，使点B落在点G，可得，，，，设，则，根据勾股定理可得，即可解得答案．
本题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质，得出及勾股定理的应用．
 

11.【答案】两边相等的三角形是等腰三角形 

【解析】

【分析】
本题主要考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】
解：命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是：两边相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：两边相等的三角形是等腰三角形．  

12.【答案】20 

【解析】解：等腰三角形有两边分别分别是4和8，
此题有两种情况：
①4为底边，那么8就是腰，三角形的三边为4，8，8能构成三角形，则等腰三角形的周长为，
②8底边，那么4是腰，，所以不能围成三角形应舍去．
该等腰三角形的周长为20，
故答案为：
解决本题要注意分为两种情况4为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
 

13.【答案】 

【解析】解：，且，
，
则
故答案为：
根据题意，在不等式的两边同时乘以后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出，解此不等式即可求解．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点D作于E，于F，
平分，，，
，
由题意得：，则，
解得：，

故答案为：
过点D作于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
和，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：
先证和，得，再由勾股定理得，则，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明和是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
作B关于AC的对称点，连接、，交AC于E，此时，根据两点之间线段最短可知就是的最小值，故E即为所求的点．
本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．
【解答】
解：作B关于AC的对称点，连接、，交AC于E，此时，根据两点之间线段最短可知就是的最小值，

、关于AC的对称，
、互相垂直平分，
四边形是平行四边形，
三角形ABC是边长为4，
为BC的中点，
，
，，，
作交BC的延长线于G，
，
在中，
，
，
在中，
故的最小值为
故答案为：  

17.【答案】解：如图，CD为所作；
如图，AE为所作．
 

【解析】作AB的垂直平分线得到AB的中点D，然后连接CD即可；
作的平分线即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】解：设，根据题意得：
在中，，
即：，
解得：
答：旗杆AB的高度为9米． 

【解析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌
解：≌，
，，
，
的长度是 

【解析】由，得，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明≌；
由≌，得，，即可由求得DE的长度为
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接DB，

点D在的平分线上，，，
，
点D在BC的垂直平分线上，
；
在与中，
，
，
；
解：，
，
在与中，
，
，
，
 

【解析】连接BD，根据垂直平分线性质可得，可证，可得；
求出，证明，得出，则可得出答案．
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．证明是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
；
由的结论可知，，即，
，
故的最小值是5；




，
 

【解析】直接利用作差法，再配方，然后利用非负数的性质得出结论即可；
利用的结论得出答案即可；
直接利用作差法，再配方，然后利用非负数的性质得出结论即可．
此题考查了配方法的运用，非负数的性质，作差法是比较两个式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：连接DE，
在中，点E是AB的中点，
，
，
，又，

解：作于F，
，，
，
，，
，
，
的面积 

【解析】连接DE，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论；
作于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图1，，，，

，
动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，
出发2秒后，则，
，
由勾股定理得：，
的周长为：；
①如图2，若P在边AC上时，，
此时用的时间为3s，为等腰三角形；

②若P在AB边上时，有三种情况：
如图3，若使，此时，P运动的路程为，
所以用的时间为6s，为等腰三角形；
如图4，若，作于点D，
，
，
，
在中，，
所以，
所以P运动的路程为，
则用的时间为，为等腰三角形；
如图5，若，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为，
则所用的时间为，为等腰三角形；
综上所述，当t为3或或6或时，为等腰三角形；
分两种情况：
①当P点在AC上，Q在AB上，则，，
直线PQ把的周长分成相等的两部分，
，
不符合题意，舍；
②当P点在AB上，Q在BC上，则，
直线PQ把的周长分成相等的两部分，
，
此时Q在C处，
当t为6时，直线PQ把的周长分成相等的两部分． 

【解析】求出AC的长，再根据时，可得，则，根据勾股定理计算PB的长，最后将三边相加可得其周长；
分四种情形：如图2，当时，为等腰三角，如图3，当时，为等腰三角形，如图4，若点P在AB上，，如图5，当时，分别求解即可；
分两种情况讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则，，；当P点在AB上，Q在AC上，则，，分别求得t的值即可．
本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形．