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    专题14.5全等三角形的计算与证明大题专练(重难点培优)(原卷+解析)
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    数学八年级上册14.1 全等三角形精品巩固练习

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    这是一份数学八年级上册14.1 全等三角形精品巩固练习,文件包含专题145全等三角形的计算与证明大题专练重难点培优解析版docx、专题145全等三角形的计算与证明大题专练重难点培优原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共32页, 欢迎下载使用。

    2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
    专题14.5全等三角形的计算与证明大题专练(重难点培优)
    姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________
    注意事项:
    本试卷满分100分,试题共24题,选择10道、填空8道、解答6道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
    一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.(2020秋•新宾县期末)已知,如图,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2=60°.
    (1)求证:△ADE≌△ABC;
    (2)求证:AE=CE.

    【分析】(1)证得∠DAB=∠CAB,根据ASA即可得出△ABC≌△ADE;
    (2)由(1)可得AE=AC,即可判定△AEC为等边三角形,即可得出答案.
    【解答】(1)证明:∵∠1=∠2,
    ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
    即∠DAE=∠BAC,
    在△ABC和△ADE中,
    ∠BAC=∠DAEAB=AD∠B=∠D,
    ∴△ABC≌△ADE(ASA);
    (2)证明:由(1)得△ABC≌△ADE,
    ∴AE=AC,
    ∵∠2=60°,
    ∴△ACE是等边三角形,
    ∴AE=CE.
    2.(2021•九龙坡区校级开学)如图,点D是线段CE上一点,且AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
    (1)求证:BD=CE;
    (2)若∠B=40°,∠E=80°,求∠CAD的度数.

    【分析】(1)证明△ABD≌△ACE(SAS),由全等三角形的性质可得出BD=CE;
    (2)由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE=60°,由等腰三角形的性质求出∠DAE=20°,则可求出答案.
    【解答】解:(1)证明∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
    ∴∠BAD=∠CAE,
    在△ABD和△ACE中,
    AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE,
    ∴△ABD≌△ACE(SAS),
    ∴BD=CE;
    (2)∵△ABD≌△ACE,
    ∴∠B=∠C=40°,
    ∵∠E=80°,
    ∴∠CAE=180°﹣∠C﹣∠E=180°﹣40°﹣80°=60°,
    ∵AD=AE,
    ∴∠ADE=∠E,
    ∴∠DAE=180°﹣2∠E=180°﹣160°=20°,
    ∴∠CAD=∠CAE﹣∠DAE=60°﹣20°=40°.
    3.(2021•三水区一模)如图,AB=AC,直线l过点A,BM⊥直线l,CN⊥直线l,垂足分别为M、N,且BM=AN.
    (1)求证△AMB≌△CNA;
    (2)求证∠BAC=90°.

    【分析】(1)由HL证明△AMB≌△CNA即可;
    (2)先由全等三角形的性质得∠BAM=∠ACN,再由∠CAN+∠ACN=90°,得∠CAN+∠BAM=90°,即可得出结论.
    【解答】证明:(1)∵BM⊥直线l,CN⊥直线l,
    ∴∠AMB=∠CNA=90°,
    在Rt△AMB和Rt△CNA中,
    AB=CABM=AN,
    ∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL);
    (2)由(1)得:Rt△AMB≌Rt△CNA,
    ∴∠BAM=∠ACN,
    ∵∠CAN+∠ACN=90°,
    ∴∠CAN+∠BAM=90°,
    ∴∠BAC=180°﹣90°=90°.
    4.(2020秋•綦江区期末)如图,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E,CE、BD相交于点F,连接DE.
    (1)若AC=BC=7,求DE的长;
    (2)求证:BE+CD=BC.

    【分析】(1)证明△ADE为等边三角形,可得结论;
    (2)在BC上截取BH=BE,证明两对三角形全等:△EBF≌△HBF,△CDF≌△CHF,可得结论.
    【解答】解:(1)∵AC=BC,∠A=60°,
    ∴△ABC为等边三角形,
    ∴AC=AB,
    又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,
    ∴D、E分别是AC、AB的中点,
    ∴AD=12AC,AE=12AB,
    ∴AD=AE,
    ∴△ADE为等边三角形,
    ∴DE=AE=72;
    (2)证明:在BC上截取BH=BE,

    ∵BD平分∠ABC,
    ∴∠ABD=∠CBD,
    ∵BF=BF
    ∴△EBF≌△HBF(SAS),
    ∴∠EFB=∠HFB=60°.
    ∵∠A=60°,
    ∴∠ABC+∠ACB=120°,
    ∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
    ∴∠ABD=∠CBD,∠ACE=∠BCE,
    ∴∠CBD+∠BCE=60°,
    ∴∠BFE=60°,
    ∴∠CFB=120°,
    ∴∠CFH=60°,
    ∴∠CFH=∠CFD=60°,
    ∵CF=CF,
    ∴△CDF≌△CHF(ASA).
    ∴CD=CH,
    ∵CH+BH=BC,
    ∴BE+CD=BC.
    5.(2020•平阳县一模)如图,在四边形ABCD中,∠A=Rt∠,对角线BD平分∠ABC,且BD=BC,CE⊥BD于点E.
    (1)求证:△ABD≌△EBC;
    (2)当∠ADB=60°时,求∠DCE的度数.

    【分析】(1)由“AAS”可证:△ABD≌△EBC;
    (2)由等腰三角形的性质可求∠BDC=75°,即可求解.
    【解答】证明:(1)∵BD平分∠ABC,
    ∴∠ABD=∠CBD,
    ∵BD=BC,∠A=∠CEB=90°,
    ∴△ABD≌△EBC(AAS)
    (2)∵∠ADB=60°,
    ∴∠ABD=30°,
    ∵△ABD≌△EBC,
    ∴∠ABD=∠DBC=30°,且BD=BC,
    ∴∠BDC=75°,
    ∵CE⊥BD,
    ∴∠CED=90°,
    ∴∠DCE=15°.
    6.(2021•锡山区一模)已知:如图,点E,D,B,F在同一条直线上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.求证:
    (1)AD=BC;
    (2)AE∥CF.

    【分析】(1)根据平行线的性质得出∠ADB=∠CBD,根据全等三角形的判定得出△ADB≌△CBD,根据全等三角形的性质得出即可;
    (2)求出∠EDA=∠FBC,根据全等三角形的判定得出△EDA≌△FBC,根据全等三角形的性质得出∠E=∠F即可.
    【解答】证明:(1)∵AD∥CB,
    ∴∠ADB=∠CBD,
    在△ADB和△CBD中
    ∠ADB=∠CBD∠BAD=∠DCBDB=BD
    ∴△ADB≌△CBD(AAS),
    ∴AD=BC;

    (2)∵∠ADB=∠CBD,∠ADB+∠EDA=180°,∠CBD+∠FBC=180°,
    ∴∠EDA=∠FBC,
    在△EDA和△FBC中
    DE=BF∠EDA=∠FBCDA=BC
    ∴△EDA≌△FBC(SAS),
    ∴∠E=∠F,
    ∴AE∥CF.
    7.(2020秋•常州期末)已知:如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB+∠D=180°.
    求证:△ABC≌△EAD.

    【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可.
    【解答】证明:∵AB∥DE,
    ∴∠CAB=∠E,
    ∵∠ECB+∠D=180°,∠ECB+∠ACB=180°,
    ∴∠D=∠ACB,
    在△ABC与△EAD中,
    ∠CAB=∠E∠ACB=∠DAB=AE,
    ∴△ABC≌△EAD(AAS).
    8.(2021•苏州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD、BE相交于点H,AE=BE.试说明:
    (1)△AEH≌△BEC.
    (2)AH=2BD.

    【分析】(1)由“ASA”可证△AEH≌△BEC;
    (2)由全等三角形的性质可得AH=BC,由等腰三角形的性质可得结论.
    【解答】解:(1)∵AD⊥BC,
    ∴∠DAC+∠C=90°,
    ∵BE⊥AC,
    ∴∠EBC+∠C=90°,
    ∴∠DAC=∠EBC,
    在△AEH与△BEC中,
    ∠DAC=∠EBC∠AEH=∠BEC=90°AE=BE,
    ∴△AEH≌△BEC(ASA);
    (2)∵△AEH≌△BEC,
    ∴AH=BC,
    ∵AB=AC,AD⊥BC,
    ∴BC=2BD,
    ∴AH=2BD.
    9.(2021•洪泽区二模)如图,线段AC交BD于O,点E,F在线段AC上,△DFO≌△BEO,且AF=CE,连接AB、CD,求证:AB=CD.

    【分析】先由△BEO≌△DFO,即可得出OF=OE,DO=BO,进而得到AO=CO,再证明△ABO≌△CDO,即可得到AB=CD.
    【解答】证明:∵△BEO≌△DFO,
    ∴OF=OE,DO=BO,
    又∵AF=CE,
    ∴AO=CO,
    在△ABO和△CDO中,
    AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO,
    ∴△ABO≌△CDO(SAS),
    ∴AB=CD.
    10.(2020秋•遵化市期末)已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,
    求证:①△BEC≌△DEA;
    ②DF⊥BC.

    【分析】(1)根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA;
    (2)根据第一问的结论,利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D,从而不难求得DF⊥BC.
    【解答】证明:(1)∵BE⊥CD,
    ∴∠BEC=∠DEA=90°,
    又∵BE=DE,BC=DA,
    ∴△BEC≌△DEA(HL);

    (2)∵△BEC≌△DEA,
    ∴∠B=∠D.
    ∵∠D+∠DAE=90°,∠DAE=∠BAF,
    ∴∠BAF+∠B=90°.
    即DF⊥BC.
    11.(2021•鹿城区一模)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上(BD<BE),BD=CE.
    (1)求证:△ABD≌△ACE.
    (2)若∠ADE=2∠B,BD=2,求AE的长.

    【分析】(1)根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到∠B=∠C,然后根据SAS证明△ABD和△ACE全等即可;
    (2)证得∠B=∠BAD,得出BD=AD=2,由全等三角形的性质可得出答案.
    【解答】(1)证明:∵AB=AC,
    ∴∠B=∠C,
    在△ABD和△ACE中,
    AB=AC∠B=∠CBD=CE,
    ∴△ABD≌△ACE(SAS);
    (2)解:∵∠ADE=2∠B,
    ∴∠B=∠BAD,
    ∴BD=AD=2,
    ∵△ABD≌△ACE,
    ∴AE=AD=2.
    12.(2021•张家界模拟)如图,四边形ABCD中,AB=BC=2CD,AB∥CD,∠C=90°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,连接DE
    (1)求证:△ABE≌△BCD;
    (2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系,并说明理由;
    (3)若CD=1,试求△AED的面积.

    【分析】(1)由平行线的性质得出∠ABE+∠C=180°,得出∠ABE=90°=∠C,再证出BE=CD,由SAS证明△ABE≌△BCD即可;
    (2)由全等三角形的性质得出AE=BD,证出∠ABF+∠BAE=90°,得出∠AFB=90°,即可得出结论;
    (3)由全等三角形的性质得出BE=CD=1,求出CE=BC﹣BE=1,得出CE=CD,△AED的面积=梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积,即可得出答案.
    【解答】(1)证明:∵AB∥CD,
    ∴∠ABE+∠C=180°,
    ∵∠C=90°,
    ∴∠ABE=90°=∠C,
    ∵E是BC的中点,
    ∴BC=2BE,
    ∵BC=2CD,
    ∴BE=CD,
    在△ABE和△BCD中,AB=BC∠ABE=∠CBE=CD,
    ∴△ABE≌△BCD(SAS);
    (2)解:AE=BD,AE⊥BD,理由如下:
    由(1)得:△ABE≌△BCD,
    ∴AE=BD,
    ∵∠BAE=∠CBD,∠ABF+∠CBD=90°,
    ∴∠ABF+∠BAE=90°,
    ∴∠AFB=90°,
    ∴AE⊥BD;
    (3)解:∵△ABE≌△BCD,
    ∴BE=CD=1,
    ∵AB=BC=2CD=2,
    ∴CE=BC﹣BE=1,
    ∴CE=CD,
    ∴△AED的面积=梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积=12(1+2)×2-12×2×1-12×1×1=32.
    13.(2020•岳麓区校级开学)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别在AD、BC上,AE=CF,过点A、C分别作EF的垂线,垂足为G、H.
    (1)求证:△AGE≌△CHF;
    (2)连接AF、CE,线段AF与CE是否相等?请说明理由.

    【分析】(1)由垂线的性质得出∠G=∠H=90°,AG∥CH,根据平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH,由AAS即可证明△AGE≌△CHF;
    (2)连接AF、CE,由全等三角形的性质得出AE=CF,证出△AEF≌△CFE(SAS),由全等三角形的性质即可得出结论.
    【解答】(1)证明:∵AG⊥EF,CH⊥EF,
    ∴∠G=∠H=90°,AG∥CH,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠DEF=∠BFE,
    ∵∠AEG=∠DEF,∠CFH=∠BFE,
    ∴∠AEG=∠CFH,
    在△AGE和△CHF中,
    ∠G=∠H∠AEG=∠CFHAE=CF,
    ∴△AGE≌△CHF(AAS);
    (2)解:线段AF与CE相等,理由如下:
    连接AF、CE,如图所示:

    由(1)得:△AGE≌△CHF,
    ∴AE=CF,
    ∵AE∥CF,
    ∴∠AEF=∠CFE,
    又∵EF=FE,
    ∴△AEF≌△CFE(SAS),
    ∴CE=AF.
    14.(2021•宁波模拟)如图,点B,C,E,F在同一直线上,点A,D在BC的异侧,AB=CD,BF=CE,∠B=∠C.
    (1)求证:AE∥DF.
    (2)若∠A+∠D=144°,∠C=30°,求∠AEC的度数.

    【分析】(1)证△ABE≌△DCF(SAS),得∠AEB=∠DFC,即可得出结论;
    (2)由全等三角形的性质得∠A=∠D,∠B=∠C=30°,再求出∠A=72°,然后由三角形的外角性质求解即可.
    【解答】(1)证明:∵BF=CE,
    ∴BF+EF=CE+EF,
    即BE=CF,
    在△ABE和△DCF中,
    AB=DC∠B=∠CBE=CF,
    ∴△ABE≌△DCF(SAS),
    ∴∠AEB=∠DFC,
    ∴AE∥DF;
    (2)解:∵△ABE≌△DCF,
    ∴∠A=∠D,∠B=∠C=30°,
    ∵∠A+∠D=144°,
    ∴∠A=72°,
    ∴∠AEC=∠A+∠B=72°+30°=102°.
    15.(2019秋•瑞安市期中)已知:AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,点E,F分别在AB和CD上.
    (1)如图1,EF过点P,且与AB垂直,求证:PE=PF.
    (2)如图2,EF过点P,求证:PE=PF.

    【分析】(1)由角平分线的性质定理即可得出结论;
    (2)过点P作GH⊥AB于G,交CD于H,证明△PGE≌△PHF,即可得出结论.
    【解答】(1)证明:作PM⊥BC于M,如图1所示:
    ∵AB∥CD,EF⊥AB,
    ∴EF⊥CD,
    ∵BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线,PM⊥BC,
    ∴PE=PM,PM=PF,
    ∴PE=PF;
    (2)证明:过点P作GH⊥AB于G,交CD于H,如图2所示:
    则PG⊥AB,PH⊥CD,
    ∴∠PGE=∠PHF=90°,
    由(1)得:PG=PH,
    在△PGE和△PHF中,∠PGE=∠PHFPG=PH∠GPE=∠HPF,
    ∴△PGE≌△PHF(ASA),
    ∴PE=PF.


    16.(2021春•临漳县期末)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE,BD相交于点O.
    (1)求证:△AEC≌△BED;
    (2)若∠C=70°,求∠AEB的度数.

    【分析】(1)由外角的性质可证∠C=∠BDE,由“AAS”可证△AEC≌△BED;
    (2)由全等三角形的性质可得EC=ED,∠BED=∠AEC,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解.
    【解答】证明:(1)∵∠ADE=∠C+∠2=∠1+∠BDE,且∠1=∠2,
    ∴∠C=∠BDE,
    又∵∠A=∠B,AE=BE,
    ∴△AEC≌△BED(AAS).
    (2)∵△AEC≌△BED,
    ∴EC=ED,∠BED=∠AEC,
    ∴∠EDC=∠C=70°,∠2=∠BEA,
    ∴∠2=180°﹣2×70°=40°,
    ∴∠AEB=40°.
    17.(2020秋•武昌区期中)如图1,在△ABC中,D为AB边上一点,连CD,E为AB边上一点,若AE平分∠BAC,ED平分∠BDC.
    (1)求证:2∠BCD+∠ACD=180°;
    (2)如图2,若AC+DC=AB,且∠ACD=18°,求∠BAC的度数.

    【分析】(1)过E作EG⊥AC于G,EH⊥AB于H,EI⊥CD于I,先由角平分线的性质得EG=EH,EI=EH,则EG=EI,得CE平分∠DCG,则∠BCD=∠BCG,即可得出结论;
    (2)延长AC至点F,使CF=CD,连接BF,先证AF=AB,则∠ABF=∠AFB,再证△CDB≌△CFB(SAS),得∠ABC=∠FBC,则∠AFB=∠ABF=2∠ABC,求出∠BCD=∠BCF=81°,然后由三角形的外角性质得∠CDB=∠BAC+18°,最后由三角形内角和定理进而得出答案.
    【解答】(1)证明:过E作EG⊥AC于G,EH⊥AB于H,EI⊥CD于I,如图1所示:
    ∵AE平分∠BAC,ED平分∠BDC,
    ∴EG=EH,EI=EH,
    ∴EG=EI,
    ∴CE平分∠DCG,
    ∴∠BCD=∠BCG,
    ∵∠DCG+∠ACD=180°,
    ∴2∠BCD+∠ACD=180°;
    (2)解:延长AC至点F,使CF=CD,连接BF,如图2所示:
    则AC+CF=AC+DC=AB,
    即AF=AB,
    ∴∠ABF=∠AFB,
    在△CDB和△CFB中,
    CD=CF∠BCD=∠BCFBC=BC,
    ∴△CDB≌△CFB(SAS),
    ∴∠ABC=∠FBC,
    ∴∠AFB=∠ABF=2∠ABC,
    ∵∠ACD=18°,
    ∴∠BCD=∠BCF=12(180°﹣18°)=81°,
    ∵∠CDB=∠BAC+∠ACD=∠BAC+18°,∠CDB+∠BCD+∠ABC=180°,
    ∴∠BAC+18°+∠BAC+81°+∠ABC=180°,
    ∴∠ABC=81°﹣2∠BAC,
    又∵∠ABF+∠AFB+∠BAC=180°,
    ∴4∠ABC+∠BAC=180°,
    ∴4(81°﹣∠BAC)+∠BAC=180°,
    解得:∠BAC=48°.


    18.(2020秋•唐山期中)如图,在△ABC中,AD,CE分别是BC、AB边上的高,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD到点G,使得AG=BC,连接BG,若CF=AB.
    (1)求证:△ABG≌△CFB;
    (2)在完成(1)的证明后,爱思考的琪琪想:BF与BG之间有怎样的数量关系呢?它们之间又有怎样的位置关系?请你帮琪琪解答这一问题,并说明理由.

    【分析】(1)根据SAS证明△ABG≌△CFB,再利用全等三角形的性质证明即可;
    (2)根据全等三角形的性质得出∠G=∠FBD,再证明即可.
    【解答】(1)证明:∵AD,CE是高,
    ∴∠BAD+∠AFE=∠BCF+∠CFD=90°,
    ∵∠AFE=∠CFD,
    ∴∠BAD=∠BCF,
    在△ABG与△CFB中,
    AG=BC∠BAD=∠BCFCF=AB,
    ∴△ABG≌△CFB(SAS);
    (2)解:BF=BG,BF⊥BG,理由如下:
    ∵△ABG≌△CFB,
    ∴BF=BG,∠G=∠FBD,
    ∵AD⊥BC,
    ∴∠BDG=90°
    ∴∠G+∠DBG=90°,
    ∴∠FBD+∠DBG=90°,
    ∴∠FBG的度数为90°,
    ∴BF⊥BG.
    19.(2021•乐清市一模)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,E是对角线AC上一点,连接BE,DE.
    (1)求证:BE=DE.
    (2)当BE∥CD,∠BAD=78°时,求∠BED的度数.

    【分析】(1)由角平分线的性质得∠BAE=∠DAE,由SAS证得△BAE≌△DAE,即可得出结论;
    (2)由△BAE≌△DAE,得出∠BEA=∠DEA,推出∠BEC=∠DEC,易求∠BAC=∠DAC=12∠BAD=39°,由等腰三角形与三角形内角和定理求出∠ACD=∠ADC=70.5°,由平行线的定义得出∠BEC=∠ACD=70.5°,即可得出结果.
    【解答】(1)证明:∵AC平分∠BAD,
    ∴∠BAE=∠DAE,
    在△BAE和△DAE中,
    AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE,
    ∴△BAE≌△DAE(SAS),
    ∴BE=DE;
    (2)解:由(1)得:△BAE≌△DAE,
    ∴∠BEA=∠DEA,
    ∴∠BEC=∠DEC,
    ∵AC平分∠BAD,∠BAD=78°,
    ∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=12×78°=39°,
    ∵AC=AD,
    ∴∠ACD=∠ADC=12×(180°﹣39°)=70.5°,
    ∵BE∥CD,
    ∴∠BEC=∠ACD=70.5°,
    ∴∠BEC=∠DEC=70.5°,
    ∴∠BED=2×70.5°=141°.
    20.(2021•岳麓区模拟)如图,AD平分∠BAC,AB=AC,且AB∥CD,点E在线段AD.上,BE的延长线交CD于点F,连接CE.
    (1)求证:△ACE≌△ABE.
    (2)当AC=AE,∠CAD=38°时,求∠DCE的度数.

    【分析】(1)先由角平分线的性质可得∠CAE=∠BAE,再根据已知条件即可用SAS证明方法进行证明即可得出答案;
    (2)现根据等腰三角形的性质可得出∠ACE=∠AEC=71°,再根据平行线的性质,∠DCA+∠BAC=180°,求解即可得出答案.
    【解答】证明:(1)∵AD平分∠BAC,
    ∴∠CAE=∠BAE,
    在△ACE和△ABE中,
    AC=AB∠CAE=∠BAEAE=AE,
    ∴△ACE≌△ABE(SAS);
    (2)∵AC=AE,∠CAD=38°,
    ∴∠ACE=∠AEC=71°,
    又∵∠CAD=∠BAD=38°,
    ∴∠CAB=∠CAD+BAD=38°+38°=76°,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠DCA+∠BAC=180°,
    ∴∠DCE+∠ACE+∠BAC=180°,
    ∴∠DCE=180°﹣71°﹣76°=33°.
    21.(2021•南岗区模拟)已知:在△ABC和△DBE中,AB=DB,BC=BE,其中∠ABD=∠CBE.
    (1)如图1,求证:AC=DE;
    (2)如图2,AB=BC,AC分别交DE,BD于点F,G,BC交DE于点H,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四对全等三角形.

    【分析】(1)根据SAS证明△ABC与△DBE全等,利用全等三角形的性质解答即可.
    (2)根据全等三角形的判定解答即可.
    【解答】证明:(1)∵∠ABD=∠CBE,
    ∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,
    即∠ABC=∠DBE,
    在△ABC与△DBE中,
    AB=DB∠ABC=∠DBEBC=BE,
    ∴△ABC≌△DBE(SAS),
    ∴AC=DE;
    (2)由(1)得△ABC≌△DBE,
    ∴∠A=∠D,∠C=∠E,AB=DB,BC=BE,
    ∴AB=BE,
    ∵AB=BC,
    ∴∠A=∠C,
    ∴∠A=∠E,
    在△ABG与△EBH中,
    ∠A=∠EAB=BE∠ABD=∠EBC,
    ∴△ABG≌△EBH(ASA),
    ∴BG=BH,
    在△DBH与△CBG中,
    BG=BH∠DBH=∠CBGDB=CB,
    ∴△DBH≌△CBG(SAS),
    ∴∠D=∠C,
    ∵DB=CB,BG=BH,
    ∴DG=CH,
    在△DFG与△CFH中,
    ∠DFG=∠CFH∠D=∠CDG=CH,
    ∴△DFG≌△CFH(AAS).
    22.(2019秋•沙坪坝区校级月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD∥BC,E在AB上,AE=AC=AD,连接DE交AC于G.
    (1)若AG=EG=2,如图1,求AB的长度.
    (2)如图2,求证:AG+BC=AB.

    【分析】(1)根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACB=90°,根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠D,得到∠BAC=∠D,根据全等三角形的性质得到BC=AG=2,求得∠BAC=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论;
    (2)延长BC到F,使CF=AG,根据全等三角形的性质得到∠CAF=∠D,求得AH⊥DE,根据等腰三角形的性质得到∠EAH=∠DAH,根据平行线的性质得到∠DAH=∠F,于是得到结论.
    【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,AD∥BC,
    ∴∠DAC=∠ACB=90°,
    ∵AE=AD,
    ∴∠AED=∠D,
    ∵AG=EG,
    ∴∠AEG=∠EAG,
    ∴∠BAC=∠D,
    ∵AC=AD,
    ∴△ACB≌△DAG(AAS),
    ∴BC=AG=2,
    ∵∠AGD=∠GAE+∠AEG=2∠D,
    ∴∠D=30°,
    ∴∠BAC=30°,
    ∴AB=2BC=4;
    (2)延长BC到F,使CF=AG,
    ∵AD∥BC,∠ACB=90°,
    ∴∠DAG=∠ACB=90°,
    ∵AD=AC,
    ∴△ACF≌△DAG(SAS),
    ∴∠CAF=∠D,
    ∴∠CAF+∠AGD=90°,
    ∴AH⊥DE,
    ∵AE=AD,
    ∴∠EAH=∠DAH,
    ∵AD∥BC,
    ∴∠DAH=∠F,
    ∴∠BAF=∠F,
    ∴AB=BF,
    ∴AG+BC=AB.

    23.(2021春•盐田区校级期中)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,∠B=∠C=∠DEF=60°,BD=CE.
    (1)求证:∠BDE=∠CEF;
    (2)若DE=3,求EF的长.

    【分析】(1)由三角形内角和定理及平角的定义可得出答案;
    (2)证明△BDE≌△CEF( ASA),由全等三角形的性质得出DE=EF.
    【解答】(1)证明:∵∠B+∠BDE+∠BED=180°,∠DEF+∠FEC+∠BED=180°,∠B=∠DEF=60°,
    ∴∠BDE=∠CEF;
    (2)解:在△BDE和△CEF中,
    ∠B=∠CBD=CE∠BDE=∠CEF,
    ∴△BDE≌△CEF( ASA),
    ∴DE=EF,
    ∵DE=3,
    ∴EF=3.
    24.(2020秋•东西湖区期末)以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AE=AB,AC=AD,CE与BD相交于M,∠EAB=∠CAD=α.

    (1)如图1,若α=40°,求∠EMB的度数;
    (2)如图2,若G、H分别是EC、BD的中点,求∠AHG的度数(用含α式子表示);
    (3)如图3,连接AM,直接写出∠AMC与α的数量关系是 90°+12α .
    【分析】(1)由“SAS”可证△AEC≌△ABD,可得∠AEC=∠ABD,由外角的性质可得结论;
    (2)由“SAS”可证△ACG≌△ADH,可得AG=AH,∠CAG=∠DAH,即可求解;
    (3)由全等三角形的性质可得S△ACG=S△ADH,EC=BD,由面积法可求AP=AN,由角平分线的性质可求∠AMD,即可求解.
    【解答】解:(1)∵∠EAB=∠CAD=α,
    ∴∠EAC=∠BAD,
    在△AEC和△ABD中,
    AE=AB∠EAC=∠BADAC=AD,
    ∴△AEC≌△ABD(SAS),
    ∴∠AEC=∠ABD,
    ∵∠AEC+∠EAB=∠ABD+∠EMB,
    ∴∠EMB=∠EAB=40°;
    (2)连接AG,AH,

    由(1)可得:EC=BD,∠ACE=∠ADB,
    ∵G、H分别是EC、BD的中点,
    ∴DH=CG,
    在△ACG和△ADH中,
    AC=AD∠ACE=∠ADBCG=DH,
    ∴△ACG≌△ADH(SAS),
    ∴AG=AH,∠CAG=∠DAH,
    ∴∠AGH=∠AHG,∠CAG﹣∠CAH=∠DAH﹣∠CAH,
    ∴∠GAH=∠DAC,
    ∵∠DAC=α,
    ∴∠GAH=α,
    ∵∠GAH+∠AHG+∠AGH=180°,
    ∴∠AHG=90°-12α;
    (3)如图3,连接AM,过点A作AP⊥EC于P,AN⊥BD于N,

    ∵△ACE≌△ADB,
    ∴S△ACE=S△ADB,EC=BD,
    ∵12EC×AP=12×BD×AN,
    ∴AP=AN,
    又∵AP⊥EC,AN⊥BD,
    ∴∠AME=∠AMD=180°-α2,
    ∴∠AMC=∠AMD+∠DMC=90°+12α,
    故答案为:90°+12α.

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