湖南省岳阳市岳阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市岳阳县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题。（共8小题，每小题3分，共24分）
1．已知非零实数a，b，c，d满足＝，则下面关系中成立的是（　　）
A． B． C．ac＝bd D．
2．关于反比例函数y＝图象，下列说法正确的是（　　）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
3．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．168（1+x）2＝128 B．168（1﹣x）2＝128
C．168（1﹣2x）＝128 D．168（1﹣x2）＝128
5．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
6．已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式4m2+8m﹣3的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（　　）

A． B． C． D．
8．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象交于点P，Q，已知点P的坐标为（4，1），点Q的纵坐标为﹣2，根据图象信息可得关于x的方程＝kx﹣b的解为（　　）

A．﹣2，﹣2 B．﹣2，4 C．﹣2，1 D．4，1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．方程x2＝3x的解为：　 　．
10．若2x＝5y，且x≠0，y≠0，则＝　 　．
11．反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 　 　．
12．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为　 　．
13．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝　 　．

14．如图，在菱形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，连接BE交AD的延长线于点F，若DE＝3，则DF的长为 　 　．

15．一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0的根，则这个三角形的周长为 　 　．
16．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．①若BE＝6，则CD＝　 　；②若MP＝1.2，MD＝10，AD＝8；且ME＞MA，则AP＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分64分）
17．解方程：2x2﹣x﹣1＝0．
18．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，
（1）证明：△ACB∽△AED；
（2）求DE的值．

19．已知▱ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）若AB的长为2，求m的值；
（2）当m为何值时，▱ABCD是菱形？
20．已知一次函数y＝x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于C点．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y＝（x＞0）的关系式．

21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0 　 　（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求的值；
22．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．

23．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）当点E运动到边BC的中点时，求EM的长；
（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

24．已知点A（a，m）在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y＝（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y＝﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．



参考答案
一、选择题。（共8小题，每小题3分，共24分）
1．已知非零实数a，b，c，d满足＝，则下面关系中成立的是（　　）
A． B． C．ac＝bd D．
【分析】依题意比例式直接求解即可．
解：因为非零实数a，b，c，d满足＝，
所以肯定，或ad＝bc；
故选：B．
【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例正确进行解答是解题关键．
2．关于反比例函数y＝图象，下列说法正确的是（　　）
A．点（﹣2，1）在它的图象上
B．它的图象经过原点
C．它的图象在第一、三象限
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】利用反比例函数的性质分别 判断后即可确定正确的选项．
解：A、把（﹣2，1）代入得：左边≠右边，故A选项错误，不符合题意；
B、自变量的取值范围为x≠0，所以图象不经过原点，故B选项错误，不符合题意；
C、k＝6＞0，图象在第一、三象限，故C选项正确，符合题意；
D、当x＞0时，y随着x的增大而减小，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
3．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．168（1+x）2＝128 B．168（1﹣x）2＝128
C．168（1﹣2x）＝128 D．168（1﹣x2）＝128
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解：根据题意得：168（1﹣x）2＝128，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
5．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D、由AC2＝AD•AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
6．已知m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式4m2+8m﹣3的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m的值，然后再求代数式的值．
解：把x＝m代入方程x2+2x﹣1＝0，可得：m2+2m﹣1＝0，
即m2+2m＝1；
4m2+8m﹣3＝4（m2+2m）﹣3＝4×1﹣3＝1．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．
解：∵AB被截成三等分，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∴，
∴S△AFG：S△ABC＝4：9
S△AEH：S△ABC＝1：9
∴S△AFG＝S△ABC
S△AEH＝S△ABC
∴S阴影部分的面积＝S△AFG﹣S△AEH＝S△ABC﹣S△ABC＝S△ABC
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．
8．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象交于点P，Q，已知点P的坐标为（4，1），点Q的纵坐标为﹣2，根据图象信息可得关于x的方程＝kx﹣b的解为（　　）

A．﹣2，﹣2 B．﹣2，4 C．﹣2，1 D．4，1
【分析】把P（4，1）代入y＝求出m，得出反比例函数的解析式y＝，把y＝﹣2代入求出Q的横坐标，根据P（和Q的横坐标，即可求出答案．
解：∵把P（4，1）代入y＝得：m＝4，
∴y＝，
把y＝﹣2代入上式得：﹣2＝，
x＝﹣2，
∴Q（﹣2，﹣2），
即两函数的交点坐标为P（4，1），Q（﹣2，﹣2），
∴根据图象信息可得关于x的方程＝kx﹣b的解为4或﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．方程x2＝3x的解为：　x1＝0，x2＝3　．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案是：x1＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．
10．若2x＝5y，且x≠0，y≠0，则＝　　．
【分析】根据已知条件得出＝，再把化成1+，然后进行计算即可得出答案．
解：∵2x＝5y，且x≠0，y≠0，
∴＝，
∴＝1+＝1+＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
11．反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 　m＞3　．
【分析】根据反比例函数的性质列式计算即可得解．
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴3﹣m＜0，
解得m＞3．
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
12．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为　9：1　．
【分析】先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴三角形的相似比是3：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1．
故答案为：9：1．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
13．如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则k＝　﹣12　．

【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
解：∵AB⊥OB，
∴S△AOB＝＝6，
∴k＝±12，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣12，
故答案为﹣12．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝12，点E在边CD上，连接BE交AD的延长线于点F，若DE＝3，则DF的长为 　4　．

【分析】根据菱形的性质知AF∥BC，CD＝AB＝BC＝12，则△DEF∽△CEB，根据对应边成比例可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AF∥BC，CD＝AB＝BC＝12，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
∴，
∴DF＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，说明△DEF∽△CEB是解题的关键．
15．一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0的根，则这个三角形的周长为 　15　．
【分析】先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答．
解：x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x﹣2）＝0，
x﹣5＝0或x﹣2＝0，
x1＝5，x2＝2，
分两种情况：
当第三边为2时，
∵2+4＝6，
∴不能组成三角形，
当第三边为5时，这个三角形的周长＝4+5+6＝15，
综上所述：这个三角形的周长为15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．①若BE＝6，则CD＝　6　；②若MP＝1.2，MD＝10，AD＝8；且ME＞MA，则AP＝　1.6　．

【分析】①通过证明△BAE∽△CAD，可得＝＝，可求CD的长，②通过证明△PME∽△AMD，由相似三角形的性质可求AM的长，即可求解．
解：①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AC＝AB，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠CAD，＝，
∴△BAE∽△CAD，
∴＝＝，
∴CD＝BE＝6，
②在等腰Rt△ADE中，AD＝8，
∴AE＝DE＝8，
∵△BAE∽△CAD，
∴∠ADC＝∠AEB，
又∵∠PME＝∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
∴，
∴AM•ME＝1.2×10＝12，
∴AM•（8﹣AM）＝12，
∴AM＝2或6（不合题意），
∴＝，
又∵∠AMP＝∠DME，
∴△AMP∽△DME，
∴＝，
∴AP＝×8＝1.6，
故答案为：6，1.6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分）
17．解方程：2x2﹣x﹣1＝0．
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解方程：2x2﹣x﹣1＝0，
（x﹣1）（2x+1）＝0，
x﹣1＝0，2x+1＝0，
∴．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．
18．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，
（1）证明：△ACB∽△AED；
（2）求DE的值．

【分析】（1）由∠C＝∠E＝90°和∠BAC＝∠DAE根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠E＝90°，∠BAC＝∠DAE，
∴△ACB∽△AED．

（2）解：∵△ACB∽△AED，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边成比例．
19．已知▱ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）若AB的长为2，求m的值；
（2）当m为何值时，▱ABCD是菱形？
【分析】（1）把x＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0得4﹣2m+﹣＝0，然后解关于m的方程即可；
（2）先根据菱形的性质得到AB＝AD，然后利用根的判别式的意义得到Δ＝m2﹣4（﹣）＝0，然后解方程即可．
解：（1）当AB＝2时，
把x＝2代入方程x2﹣mx+﹣＝0的4﹣2m+﹣＝0，
解得m＝；
（2）∵▱ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴方程x2﹣mx+﹣＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4（﹣）＝0，
解得m1＝m2＝1，
即m的值为1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了菱形的性质．
20．已知一次函数y＝x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于C点．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y＝（x＞0）的关系式．

【分析】（1）分别把x＝0和y＝0代入一次函数的解析式，即可求出A、B的坐标；
（2）根据三角形的中位线求出OA＝OD＝3，即可得出D、C的横坐标是3，代入一次函数的解析式，求出C的坐标，代入反比例函数的解析式，求出k即可．
解：（1）∵y＝x+2，
∴当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（0，2）．

（2）∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵OB是△ACD的中位线，
∴OA＝OD＝3，
即D点、C点的横坐标都是3，
把x＝3代入y＝x+2得：y＝2+2＝4，
即C的坐标是（3，4），
∵把C的坐标代入y＝得：k＝3×4＝12，
∴反比例函数y＝（x＞0）的关系式是y＝（x＞0）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，具有一定的代表性．
21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0 　不是　（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求的值；
【分析】（1）利用因式分解法解方程得x1＝，x2＝﹣1，然后根据“倍根方程”的定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得x1＝1，x2＝，再根据“倍根方程”的定义得到＝1×2或＝1×，从而得到的值．
解：（1）2x2+x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
2x﹣1＝0或x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣1，
所以一元二次方程2x2+x﹣1＝0 不是“倍根方程”；
故答案为：不是；
（2）（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0），
x﹣1＝0或mx﹣n＝0，
解得x1＝1，x2＝，
当＝1×2＝2，
当＝1×＝，
综上所述，的值为2或．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
22．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长．

【分析】设正方形的边长为xcm，根据题意知：底面的边长为：（10﹣2x）cm、（6﹣x）cm，根据该底面的面积是24cm2，列出方程并解答即可．
解：设正方形的边长为xcm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程．
23．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）当点E运动到边BC的中点时，求EM的长；
（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

【分析】（1）由AB＝AC，根据等边对等角，可得∠B＝∠C，由△ABC≌△DEF，可得∠AEF＝∠B，进而可得∠CEM＝∠BAE，即可证得结论；
（2）先证明△ABE∽△AEM，利用相似三角形性质求解即可；
（3）根据△AEM是等腰三角形，分三种情况：当AE＝EM时，当AM＝EM时，当AE＝AM时，分别讨论计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE
又∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF＝∠B，
∴∠CEM＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2 ）解：∵点E是边BC的中点，AB＝AC，
∴AE⊥BC，AE＝＝＝4，
∵△ABE∽△ECM
∴＝，即：＝，
∴EM＝；

（3）解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM，
当AE＝EM时，则△ABE≌ECM，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝1，
当AM＝EM时，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE＝∠MEA+∠CEM，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴＝，
∴CE＝＝，
∴BE＝6﹣＝；
当AE＝AM时，点E与点B重合，即BE＝0，此时重叠部分图形不能构成三角形；
综上所述，BE＝1或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理应用、等腰三角形性质等．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想的应用是解此题的关键．
24．已知点A（a，m）在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a＝﹣2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C．
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y＝（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线y＝﹣（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝﹣（x＜0）上的点D（d，n）处，求m和n的数量关系．

【分析】（1）①如图1﹣1中，求出PB、PC的长即可解决问题；
②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），利用待定系数法，把问题转化为方程解决即可；
（2）分两种情形①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），可得m+n＝0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y＝﹣上，作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，推出OB＝OH，AB＝D′H，由A（a，m），推出D′（m，﹣a），即D′（m，n），由D′在y＝﹣上，可得mn＝﹣8；
解：（1）①如图1﹣1中，

由题意：B（﹣2，0），P（1，0），PB＝PC＝3，
∴C（1，3）．

②图1﹣2中，由题意C（t，t+2），

∵点C在y＝上，
∴t（t+2）＝8，
∴t＝﹣4 或2，


（2）如图2中，

①当点A与点D关于x轴对称时，A（a，m），D（d，n），
∴m+n＝0．
②当点A绕点O旋转90°时，得到D′，D′在y＝﹣上，
作D′H⊥y轴，则△ABO≌△D′HO，
∴OB＝OH，AB＝D′H，
∵A（a，m），
∴D′（m，﹣a），即D′（m，n），
∵D′在y＝﹣上，
∴mn＝﹣8，
综上所述，满足条件的m、n的关系是m+n＝0或mn＝﹣8．
【点评】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．