江苏省徐州市鼓楼区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省徐州市鼓楼区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省徐州市鼓楼区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
4．如图，在四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，点P是直线BD上的点，下列判断错误的是（　　）

A．AD＝CD B．∠DAP＝∠DCP C．AP＝BC D．∠ABP＝∠CBP
5．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与△ABC成轴对称的格点三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．15
7．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC平分线交于点O，若AB＝6，BC＝9，△ABO的面积为6，则△BCO的面积是（　　）

A．9 B．18 C．13.5 D．54
8．已知△ABC的周长是l，BC＝l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（　　）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是 　 　．

10．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　．

11．等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为　 　．
12．如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 　 　（只填一个即可），使△ABD≌△ACE．

13．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若∠ABC＝30°，且OM＝ON，则∠ABO＝　 　°．

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若∠B＝55°，过点A作AD⊥BC于点D，在CD上取一点B'，使BD＝B'D，则∠CAB'＝　 　．

15．如图，点P在△ABC的内部，且PB＝3，M、N分别为点P关于直线AB、BC的对称点，若MN＝6，则∠ABC＝　 　°．

16．如图，∠AOB＝70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP＝　 　．

三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（8分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，AC与BD相交于点O，求证OB＝OD．
证明：∵AB∥CD（ 　 　）；
∴　 　＝　 　（两直线平行，内错角相等）；
在△AOB和△COD中；
，
∴△AOB　 　△COD；
∴OB＝OD　 　．

18．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，且BD＝DC，求证：EB＝FC．

19．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）作四边形ABCD关于直线l的对称图形；
（2）在直线l上找一点P，使PA+PC最小；
（3）四边形ABCD的面积＝　 　．

20．（10分）已知：如图，AE∥CF，AE＝CF，DE＝BF，
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）线段AB与CD的关系为 　 　．

21．（10分）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．

22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．
（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；
（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为 　 　．

23．（12分）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．


24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图1所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处，将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图2所示．
（1）[证明推断]求证：DN＝DM；小明给出的思路：若要证明DN＝DM，只需证明△BDN≌△ADM即可，请你根据小明的思路完成证明过程；
（2）[延伸发现]连接AE，BF，如图3所示，求证：AE＝BF；
（3）[迁移应用]延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图3中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．



2022-2023学年江苏省徐州市鼓楼区八年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．

A．① B．② C．③ D．①③
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故选：B．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，点P是直线BD上的点，下列判断错误的是（　　）

A．AD＝CD B．∠DAP＝∠DCP C．AP＝BC D．∠ABP＝∠CBP
【分析】利用轴对称变换的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是对称轴，
∴△APD≌△CPD，△ABD≌△CBD，
∴AD＝CD，∠DAP＝∠DCP，∠ABP＝∠CBP，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
5．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与△ABC成轴对称的格点三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知．
【解答】解：如图所示：

在方格纸中与△ABC成轴对称的格点三角形共有2个．
故选：B．
6．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．15
【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC．
【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC平分线交于点O，若AB＝6，BC＝9，△ABO的面积为6，则△BCO的面积是（　　）

A．9 B．18 C．13.5 D．54
【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE，然后根据三角形面积公式得到S△BCO：S△ABO＝BC：AB，据此即可得解．
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，
∴OD＝OE，
∴S△BCO：S△ABO＝BC：AB，
∴S△BCO＝×6＝9，
故选：A．

8．已知△ABC的周长是l，BC＝l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（　　）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
【分析】根据条件可以推出AB＝AC，由此即可判断．
【解答】解：∵l＝AB+BC+AC，
∴BC＝l﹣2AB＝AB+BC+AC﹣2AB，
∴AB＝AC，
∴△ABC中BC边中线所在的直线是△ABC的对称轴，
故选：C．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
9．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是 　30　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∠A＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
∵两个三角形是全等三角形，
∴∠D＝∠A＝30°，即x＝30，
故答案为：30．

10．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　100　．

【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
11．等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个三角形的周长为　10　．
【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
故答案为：10．
12．如图，AD＝AE，∠1＝∠2，请你添加一个条件 　AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C　（只填一个即可），使△ABD≌△ACE．

【分析】已知一对应边和对应角相等，所以根据全等三角形的判定定理AAS或SAS填空即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加AB＝AC，根据SAS可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠ADB＝∠E，根据ASA可以判定△ABD≌△ACE．
在△ABD与△ACE中，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，若添加∠B＝∠C，根据AAS可以判定△ABD≌△ACE．
综上所述，若添加AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C都可以判定△ABD≌△ACE．
故答案为：AB＝AC或∠ADB＝∠E或∠B＝∠C．
13．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若∠ABC＝30°，且OM＝ON，则∠ABO＝　15　°．

【分析】根据角平分线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM＝ON，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°．
故答案为：15．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若∠B＝55°，过点A作AD⊥BC于点D，在CD上取一点B'，使BD＝B'D，则∠CAB'＝　20°　．

【分析】根据直角三角形的性质可求∠C＝35°，根据垂直平分线的性质可求∠AB′D＝55°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝55°，
∴∠C＝35°，
∵AD⊥BC，BD＝B'D，
∴∠AB′D＝55°，
∴∠CAB'＝∠AB′D﹣∠C＝55°﹣35°＝20°．
故答案为：20°．
15．如图，点P在△ABC的内部，且PB＝3，M、N分别为点P关于直线AB、BC的对称点，若MN＝6，则∠ABC＝　90　°．

【分析】证明M，B，N共线，利用轴对称变换的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接BM，BN．

∵P，M关于AB对称，P，N关于BC对称，
∴PB＝BM＝BN＝3，
∵MN＝6，
∴M，B，N共线，
∴∠MBN＝180°，
∴∠ABC＝∠PBM+∠PBN＝（∠PBM+∠PBN）＝90°，
故答案为：90．
16．如图，∠AOB＝70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP＝　55°或40°或70°　．

【分析】分三种情况：①OC＝OP1；②CO＝CP2；③P3O＝P3C；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：①OC＝OP1，
∵∠AOB＝70°，
∴∠OCP1＝＝55°，
②CO＝CP2，
∵∠AOB＝70°，
∴∠OCP2＝180°﹣70°×2＝40°；
③P3O＝P3C，
∵∠AOB＝70°，
∴∠OCP3＝70°．
综上所述，∠OCP＝55°或40°或70°．
故答案为：55°或40°或70°．

三、解答题（本大题有9小题，共84分）
17．（8分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，AC与BD相交于点O，求证OB＝OD．
证明：∵AB∥CD（ 　已知　）；
∴　∠OAB　＝　∠COD　（两直线平行，内错角相等）；
在△AOB和△COD中；
，
∴△AOB　≌　△COD；
∴OB＝OD　全等三角形的对应边相等　．

【分析】由SAS证明△AOB≌△COD，即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD（已知）；
∴∠OAB＝∠OCD（两直线平行，内错角相等）；
在△AOB和△COD中；
，
∴△AOB≌△COD（AAS）；
∴OB＝OD （全等三角形的对应边相等）．
故答案为：已知；∠OAB，∠OCD；≌；全等三角形的对应边相等．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，且BD＝DC，求证：EB＝FC．

【分析】根据角平分线的性质可得出DE＝DF，结合BD＝CD即可证出Rt△BED≌Rt△CFD（HL），再根据全等三角形的性质即可证出EB＝FC．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△BED和Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB＝FC．
19．（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）作四边形ABCD关于直线l的对称图形；
（2）在直线l上找一点P，使PA+PC最小；
（3）四边形ABCD的面积＝　8　．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可；
（2）连接AC′交直线l于点P，连接CP，点P即为所求；
（3）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的4个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，四边形A′B′C′D′即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）四边形ABCD的面积＝4×4﹣2××1×2﹣2××2×3＝8，
故答案为：8．

20．（10分）已知：如图，AE∥CF，AE＝CF，DE＝BF，
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）线段AB与CD的关系为 　AB∥CD，AB＝CD　．

【分析】（1）证得DF＝BE，可证明△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，得出AB∥CD，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF．
即DF＝BE，
∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：AB∥CD且AB＝CD．
理由：∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，
∴AB∥CD，AB＝CD．
故答案为：AB∥CD，AB＝CD．
21．（10分）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．

【分析】由等边三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，证出∠CDE＝∠CED＝30°，则可得出结论．
【解答】证明：∵等边△ABC中，BD是边AC上的高，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠DBC＝∠CED，
∴BD＝DE．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．
（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；
（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为 　4.8　．

【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝DB，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCB＝50°，最后进行计算即可解答；
（2）根据垂线段最短可得：当CE⊥AB时，线段CE有最小值，然后利用面积法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝DB＝AB，
∴∠B＝∠DCB＝50°，
∴∠DCA＝∠ACB﹣∠DCB＝40°，
∴∠DCA度数为40°；
（2）当CE⊥AB时，线段CE有最小值，

∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，
∴AB•CE＝AC•BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8，
∴线段CE的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
23．（12分）操作与探究
（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；
（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．


【分析】（1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图；
（2）利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理；
【解答】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；

（2）S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2
＝2ab+b2﹣2ab+a2
＝a2+b2，
而S大正方形＝c2，
∴a2+b2＝c2．

24．（14分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图1所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处，将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图2所示．
（1）[证明推断]求证：DN＝DM；小明给出的思路：若要证明DN＝DM，只需证明△BDN≌△ADM即可，请你根据小明的思路完成证明过程；
（2）[延伸发现]连接AE，BF，如图3所示，求证：AE＝BF；
（3）[迁移应用]延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图3中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．


【分析】（1）D是BC的中点，则AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠DAC＝45°，再证明∠FDB＝∠ADE，得到△BDN≌△ADM（ASA），即可求解；
（2）△DEF为等腰直角三角形，则DE＝DF，由（1）知：∠FDB＝∠EDA，BD＝AD，可以证明△FDB≌△EDA（SAS），即可求解；
（3）由△FDB≌△EDA，得到∠BFD＝∠AED，进而求解．
【解答】证明：（1）如图2，在Rt△ABC中，
∵D是BC的中点，即BD是△ABC的中线，
∴AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠DAC＝45°，
∵∠FDB+∠FDA＝90°，∠FDA+∠ADE＝90°，
∴∠FDB＝∠ADE，
在△BDN和△ADM中，
，
∴△BDN≌△ADM（ASA），
∴DN＝DM；

（2）∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE＝DF，
由（1）知：∠FDB＝∠EDA，BD＝AD，
在△BDF和△ADE中，
，
∴△FDB≌△EDA（SAS），
∴AE＝BF；

（3）作图如下，AE和BF的位置关系为：相互垂直，理由如下：

由（2）知△FDB≌△EDA，
∴∠BFD＝∠AED，
又∵∠FPQ＝∠EPD，
∴∠FQP＝∠PDE＝90°，
即AE⊥BF，
故AE和BF的位置关系为相互垂直．