上海市普陀区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份上海市普陀区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年上海市普陀区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题2分，淌分12分）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列关于x的方程中，一元二次方程是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C．2x2+＝1 D．2x（x﹣1）＝2x2+4
3．下列等式中，一定成立的是（　　）
A．（）2＝a B．＝a
C．＝a+b D．＝•
4．一元二次方程x2﹣6x＝﹣9的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．下列命题中，假命题是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．三角形两边之和大于第三边
C．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．相等的角是对顶角
6．如图，△ABC中，AB＝AC，从以下条件①∠B＝∠C；②BD＝CE；③BE＝CD；④∠BAE＝∠CAD中，选出一个条件证明AD＝AE，那么符合要求条件的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．当x　 　时，二次根式有意义．
8．化简：＝　 　．
9．2+的有理化因式可以是 　 　．（只需填一个）
10．不等式x﹣2＜2x的解集是 　 　．
11．如果最简根式和是同类二次根式，那么a+b＝　 　．
12．方程（x﹣1）2＝9的解是　 　．
13．在实数范围内因式分解：3x2+x﹣1＝　 　．
14．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0有一个根为2，那么m的值为 　 　．
15．把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式．　 　．
16．某工厂一月份的产值是100万元，预计三月份的产值要达到121万元，如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为x，那么根据题意可列方程为 　 　．
17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，BC＝3cm，AB＝2cm．那么△ADE的周长为 　 　cm．

18．在△ABC中，∠A＝70°，将△ABC绕点A旋转30°，得到△AB'C'，点B、C的对应点分别为点B'、C'，如果点B'恰好落在直线CC'上，那么∠B的度数为 　 　．
三、解答题（本大题共7题，第19～22题每题6分：第23～24题每题8分：第25题12分，满分52分）
19．（6分）计算：x+3•﹣+．
20．（6分）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0
21．（6分）解方程：（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝12．
22．（6分）已知a＝，求﹣的值．
23．（8分）如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长．

24．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝DC，点E在边AB上，∠EBC＝∠EDC．
（1）求证：EB＝ED．
（2）当∠A＝90°，求证：∠BED＝2∠BDA．

25．（12分）在△ABC中，分别以AB、AC为边，向外作△ABE和△ACF，满足AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，取BC边上的中点D，联结DA并延长，交EF于点G．
（1）如图1，当AB＝AC时，试猜想，AD与EF的数量关系是 　 　，并证明你的猜想．
（2）如图2，当AB≠AC时，（1）中的猜想还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．



2022-2023学年上海市普陀区八年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共6题，每题2分，淌分12分）
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义（二次根式的被开方数中不存在开方开得尽的因数或因式）解决此题．
【解答】解：A．根据最简二次根式的定义，不是最简二次根式，那么A不符合题意．
B．根据最简二次根式的定义，，得不是最简二次根式，那么B不符合题意．
C．根据最简二次根式的定义，＝是最简二次根式，那么C符合题意．
D．根据最简二次根式的定义，不是最简二次根式，那么D不符合题意．
故选：C．
2．下列关于x的方程中，一元二次方程是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C．2x2+＝1 D．2x（x﹣1）＝2x2+4
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、x2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程2x+4＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．下列等式中，一定成立的是（　　）
A．（）2＝a B．＝a
C．＝a+b D．＝•
【分析】根据二次根的性质及二次根式的乘法的法则进行分析即可．
【解答】解：A、（）2＝a一定成立，故A符合题意；
B、当a＜0时，，故B不符合题意；
C、（a+b≥0），故C不符合题意；
D、（a≥0，b≥0），故D不符合题意；
故选：A．
4．一元二次方程x2﹣6x＝﹣9的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到Δ＝0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为一般式为x2﹣6x+9＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×9＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
5．下列命题中，假命题是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．三角形两边之和大于第三边
C．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．相等的角是对顶角
【分析】利用平行线的性质、三角形的三边关系、等边三角形的定义及对顶角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、两直线平行，内错角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的两边之和大于第三边，正确，是真命题，不符合题意；
C、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，从以下条件①∠B＝∠C；②BD＝CE；③BE＝CD；④∠BAE＝∠CAD中，选出一个条件证明AD＝AE，那么符合要求条件的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一判断即可．
【解答】解：由AB＝AC，∠B＝∠C，无法证明AD＝AE，故①不符合题意；
由AB＝AC，BD＝CE，∠B＝∠C，利用SAS即可证明△ABD≌△ACE，则AD＝AE，故②符合题意；
由AB＝AC，∠B＝∠C，BE＝CD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，则AD＝AE，故③符合题意；
由AB＝AC，∠B＝∠C，∠BAE＝∠CAD，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，则AD＝AE，故④符合题意，
故符合条件的个数为3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．当x　＞2　时，二次根式有意义．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2，
故答案为：＞2．
8．化简：＝　6　．
【分析】将72化为36×2后利用二次根式的化简的方法计算即可．
【解答】解：原式＝＝×＝6
故答案为：6．
9．2+的有理化因式可以是 　2﹣　．（只需填一个）
【分析】根据有理化因式的意义以及平方差公式进行计算即可．
【解答】解：∵（2+）（2﹣）
＝（2）2﹣（）2
＝4a﹣b，
∴2+的有理化因式可以是（2﹣），
故答案为：2﹣．
10．不等式x﹣2＜2x的解集是 　x＞﹣2﹣4　．
【分析】不等式移项，合并同类项，把x系数化为1，即可确定解集．
【解答】解：不等式x﹣2＜2x，
移项得：x﹣2x＜2，
合并得：（﹣2）x＜2，
系数化为1得：x＞﹣2﹣4．
故答案为：x＞﹣2﹣4．
11．如果最简根式和是同类二次根式，那么a+b＝　3　．
【分析】根据同类二次根式的概念以及最简二次根式的概念可求出a与b的值，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：∵最简根式和是同类二次根式，
∴，
解得，
∴a+b＝2+1＝3．
故答案为：3．
12．方程（x﹣1）2＝9的解是　x＝﹣2或x＝4　．
【分析】两边直接开平方得：x﹣1＝±3，再解一元一次方程即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝9，
两边直接开平方得：x﹣1＝±3，
则x﹣1＝3，x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
故答案为：x＝4或﹣2．
13．在实数范围内因式分解：3x2+x﹣1＝　3（x﹣）（x﹣）　．
【分析】根据“当x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根时，ax2+bx+c可以分解为a（x﹣x1）（x﹣x2）”，求出方程3x2+x﹣1＝0的两个根即可．
【解答】解：根据ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，
∵3x2+x﹣1＝0的两个根为x1＝，x2＝，
∴3x2+x﹣1＝3（x﹣）（x﹣），
故答案为：3（x﹣）（x﹣）．
14．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0有一个根为2，那么m的值为 　2　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2代入已知方程列出关于系数m的新方程，通过解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣2m＝0有一个根为2，
∴22﹣2（m﹣2）﹣2m＝0，
整理，得﹣4m+8＝0，
解得m＝2．
故答案是：2．
15．把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式．　如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等　．
【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．
【解答】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，
结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等，
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
16．某工厂一月份的产值是100万元，预计三月份的产值要达到121万元，如果每月产值的增长率相同，设这个增长率为x，那么根据题意可列方程为 　100（1+x）2＝121　．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“一月份的产值是100万元，预计三月份的产值要达到121万元”，即可得出方程．
【解答】解：根据题意可得：100（1+x）2＝121．
故答案为：100（1+x）2＝121．
17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，BC＝3cm，AB＝2cm．那么△ADE的周长为 　4　cm．

【分析】先由等腰三角形的性质得AD＝1cm，再证CE＝AE＝DE，然后由三角形中位线定理得DE＝AE＝cm，即可解决问题．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC＝3cm，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝1cm，∠ADC＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠ACD，∠A＝∠ADE，
∴DE＝CE，DE＝AE，
∴CE＝AE＝DE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE＝DE＝BC＝cm，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝1++＝4（cm），
故答案为：4．

18．在△ABC中，∠A＝70°，将△ABC绕点A旋转30°，得到△AB'C'，点B、C的对应点分别为点B'、C'，如果点B'恰好落在直线CC'上，那么∠B的度数为 　35°　．
【分析】由旋转的性质可得∠CAC'＝30°，AC＝AC'，∠B＝∠B'，∠B'AC'＝∠BAC＝70°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：如图，

∵将△ABC绕点A旋转30°，得到△AB'C'，
∴∠CAC'＝30°，AC＝AC'，∠B＝∠B'，∠B'AC'＝∠BAC＝70°，
∴∠C'＝∠ACC'＝75°，
∴∠B'＝180°﹣70°﹣75°＝35°，
∴∠B＝35°，
故答案为：35°．
三、解答题（本大题共7题，第19～22题每题6分：第23～24题每题8分：第25题12分，满分52分）
19．（6分）计算：x+3•﹣+．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝x•+3•﹣2x+
＝+3﹣2x+
＝4﹣2x+．
20．（6分）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0
【分析】根据配方法解方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，
∴x2﹣3x＝，
∴x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
则x1＝，x2＝．
21．（6分）解方程：（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝12．
【分析】方程利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝12，
（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣12＝0，
（x﹣2﹣6）（x﹣2+2）＝0，
x（x﹣8）＝0，
x＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝0，x2＝8．
22．（6分）已知a＝，求﹣的值．
【分析】直接将已知分母有理化，再结合分式的性质化简，进而代入得出答案．
【解答】解：∵a＝＝＝﹣1，
∴﹣
＝﹣
＝a﹣1﹣
＝﹣1﹣1﹣（+1）
＝﹣1﹣1﹣﹣1
＝﹣3．
23．（8分）如图，有一张长方形纸片，长20厘米，宽12厘米，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，如果纸盒的底面面积是128平方厘米，求剪去的小正方形的边长．

【分析】设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的底面长为（20﹣2x）厘米，宽为（12﹣2x）厘米，根据纸盒的底面面积是128平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的底面长为（20﹣2x）厘米，宽为（12﹣2x）厘米，
依题意得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝128，
整理得：x2﹣16x+28＝0，
解得：x1＝2，x2＝14（不符合题意，舍去）．
答：剪去的小正方形的边长为2厘米．
24．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝DC，点E在边AB上，∠EBC＝∠EDC．
（1）求证：EB＝ED．
（2）当∠A＝90°，求证：∠BED＝2∠BDA．

【分析】（1）由BC＝DC，得出∠CBD＝∠CDB，再由∠EBC＝∠EDC，推出∠EBD＝∠EDB，即可得出结论；
（2）由三角形内角和定理得出∠BDA+∠ABD＝90°＝∠A，再由（1）得∠EBD＝∠EDB，则∠BDA+∠EDB＝∠A，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠EBC＝∠EDC，
∴∠EBC﹣∠CBD＝∠EDC﹣∠CDB，即∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠BDA+∠ABD＝90°＝∠A，
由（1）得：∠EBD＝∠EDB，
∴∠BDA+∠ABD＝∠BDA+∠EDB＝∠A，
∴∠BED＝∠A+∠ADE＝∠BDA+∠EDB+∠ADE＝∠BDA+∠BDA＝2∠BDA．
25．（12分）在△ABC中，分别以AB、AC为边，向外作△ABE和△ACF，满足AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，取BC边上的中点D，联结DA并延长，交EF于点G．
（1）如图1，当AB＝AC时，试猜想，AD与EF的数量关系是 　EF＝2AD　，并证明你的猜想．
（2）如图2，当AB≠AC时，（1）中的猜想还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．


【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，根据平角的定义及直角三角形的性质推出∠EAG＝∠FAG，∠ACD＝∠FAG，再根据等腰三角形的性质得出EG＝FG，AG⊥EF，利用AAS证明△ACD≌△FAG，根据全等三角形的性质及等量代换即可得解；
（2）延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，证明△ABD≌△CDM（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，证明△EAF≌△MCA（SAS），由全等三角形的性质得出AM＝EF，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAD+∠EAG＝90°，∠CAD+∠FAG＝90°，
∴∠EAG＝∠FAG，∠ACD＝∠FAG，
∵AB＝AE，AC＝AF，AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴EG＝FG，AG⊥EF，
在△ACD和△FAG中，
，
∴△ACD≌△FAG（AAS），
∴AD＝FG，
∴EF＝2FG＝2AD，
故答案为：EF＝2AD；
（2）（1）中的猜想成立，理由如下：
如图，延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，

∵D是BC边上的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△MCD中，
，
∴△ABD≌△CDM（SAS），
∴AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，
∴AE＝AB＝CM，AB∥CM，
∴∠BAC+∠ACM＝180°，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ACM，
又∵AF＝AC，
∴△EAF≌△MCA（SAS），
∴AM＝EF，
∵AM＝2AD，
∴EF＝2AD．