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四川省成都市石室联合中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)
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这是一份四川省成都市石室联合中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共34页。试卷主要包含了选择题，第四象限内，那么m的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室联中九年级第一学期期中数学试卷
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题：倾小题4分。共32分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．4x2﹣3xy﹣y2＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝1
2．若点（2，3）是反比例函数y＝图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A．（1，6） B．（1，﹣6） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
4．用配方法解方程x2﹣6x＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且AD＝4，BD＝2，DE∥BC．则下列说法不正确的是（ ）
A．AE：EC＝2：1 B．DE＝BC
C．S△ADE：S△ABC＝2：3 D．．△ADE∽△ABC
6．反比例函数y＝的图象的两个分支分别在第二、第四象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜5 D．m＞5
7．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知菱形ABCD的周长为4，两条对角线AC、BD的和为6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大概5个小题，每小题4分，共20分）
9．若＝，则＝ ．
10．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 ．
11．如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝ ．
12．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是边AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝9，则折痕CE长度为 ．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，那么DC：AD'＝ ．
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：（）﹣1﹣+3（2022﹣2023π）0+|﹣2|；
（2）用适当的方法解下列方程：①x2+5x+5＝0；②2x（x﹣3）＝4（3﹣x）．
15．如图，△ABC在平面直角坐标内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标，及△A2BC2的面积．
16．将分别标有“成”“都”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，请用树状图或列表法表示出所有可能出现的情况：并求出两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率．
17．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，n）和B（﹣8，﹣2）．与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）写出当月y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝3：1时，求点P的坐标．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
B卷（共50分）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+5x2+2022＝ ．
20．若点A（m，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 ．
21．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：m⊗n＝m+n，比如1⊗2＝1+×2＝．若y⊗（5⊗10）＝25，则y的值为 ．
22．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若△ABC既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且∠C＝90°，则＝ ．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AE⊥BD，垂足为E，ED＝4BE，动点P、Q分别在BD、AD上，则，AE的长为 ，AP+PQ的最小值为 ．
二、解答题：（共30分）
24．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
（2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
25．如图1，在矩形ABCD中，已知BC＝12．AB＝5，点E、F分别是AC、BC的中点，连接EF．将△EFC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ；
（2）拓展探究：
将△EFC绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；
（3）问题解决：
当△EFC旋转至A、F、E三点共线时，求线段BF的长（写出必要的解题过程）．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于α点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（3，1），求C点的坐标：
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若直线OP与直线l的夹角为β，且∠β＝30°，求PA：PC的值；
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA：PC的值．
参考答案
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题：倾小题4分。共32分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．4x2﹣3xy﹣y2＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝1
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
解：A、是分式方程，故该选项不符合题意；
B、当a＝0时，就不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、（x﹣2）（x+3）＝1，是一元二次方程，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．若点（2，3）是反比例函数y＝图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A．（1，6） B．（1，﹣6） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
【分析】将点（2，3）代入y＝，求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
解：∵点（2，3）是反比例函数y＝图象上一点，
∴k＝2×3＝6，
∴符合此条件的只有A（1，6），1×6＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
4．用配方法解方程x2﹣6x＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
【分析】配方，即可得出选项．
解：x2﹣6x＝0，
配方，得x2﹣6x+9＝9，
即（x﹣3）2＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且AD＝4，BD＝2，DE∥BC．则下列说法不正确的是（ ）
A．AE：EC＝2：1 B．DE＝BC
C．S△ADE：S△ABC＝2：3 D．．△ADE∽△ABC
【分析】利用DE∥BC，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质进行判断即可．
解：∵DE∥BC，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴DE＝BC，故选项B，D正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
6．反比例函数y＝的图象的两个分支分别在第二、第四象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜5 D．m＞5
【分析】反比例函数y＝（k≠0），当k＜0时，图象是位于二、四象限．依此可以确定m的取值范围．
解：由题意可得m﹣5＜0，
即m＜5．
故选：C．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
7．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
8．如图，已知菱形ABCD的周长为4，两条对角线AC、BD的和为6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，由勾股定理得出OA2+OB2＝AB2＝5，求出OA•OB＝2，由三角形的面积及菱形的面积可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为4，
∴AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2＝5，
∵AC+BD＝6，
∴OA+OB＝3，
∴OA•OB＝2，
∴S△AOB＝×2＝1，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大概5个小题，每小题4分，共20分）
9．若＝，则＝ 3 ．
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
解：∵＝，
∴设a＝5k，b＝2k，
∴＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
10．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】直接利用反比例函数的性质得出﹣k+1＞0，进而得出k的取值范围．
解：在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，
∴﹣k+1＞0，
∴k＜1，
∴k的取值范围为：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
11．如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝ 2 ．
【分析】根据平行四边形ABCD中，AB∥CD可得，△AOB∽△COE，再根据＝，得出，从而得出，再利用△ABF∽△DEF，求出的值．
解：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABO＝∠E，∠BAO＝∠ECO，
∴△ABO∽△CEO，
∴，
∴，
∵CE＝CD+DE＝AB+DE，
∴＝2，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△AFB∽△DFE，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是边AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝9，则折痕CE长度为 6 ．
【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解：∵△CEO是△CEB翻折而成，
∴BC＝OC，BE＝OE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2OC＝2BC＝2×9＝18，
∴AE＝CE，AO＝OC＝9，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
即182＝AB2+92，
解得AB＝9，
在Rt△AOE中，设OE＝x＝BE，则AE＝AB﹣BE＝9﹣x，
∵AE2＝AO2+OE2，
即（9﹣x）2＝92+x2，
解得x＝3，
∴AE＝EC＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，那么DC：AD'＝ ．
【分析】由正方形ABCD的边长为1，可得BD'＝BD＝，由勾股定理求得AD'，即可求出答案．
解：由于正方形ABCD的边长为1，则AB＝1＝DC，BD＝，
∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，
∴∠ABD'＝90°，BD'＝BD＝，
在Rt△ABD'中，
AD'＝＝＝，
∴DC：AD'＝1：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形中的旋转变换，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握旋转的性质，求出AD'的长度．
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：（）﹣1﹣+3（2022﹣2023π）0+|﹣2|；
（2）用适当的方法解下列方程：①x2+5x+5＝0；②2x（x﹣3）＝4（3﹣x）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）①利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
②利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）（）﹣1﹣+3（2022﹣2023π）0+|﹣2|
＝2﹣3+3×1+2﹣
＝2﹣3+3+2﹣
＝4﹣；
（2）①x2+5x+5＝0，
∵Δ＝52﹣4×1×5
＝25﹣20
＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
②2x（x﹣3）＝4（3﹣x），
2x（x﹣3）+4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x+4）＝0，
x﹣3＝0或2x+4＝0，
x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．如图，△ABC在平面直角坐标内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标，及△A2BC2的面积．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据三角形的面积公式结合网格即可求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求；
（3）A2（1，1），C2（﹣3，﹣1），
△A2BC2的面积＝＝4．
【点评】本题考查了轴对称变换的性质，位似变换的性质，熟练掌握轴对称变换以及位似变换的性质是解题的关键．
16．将分别标有“成”“都”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，请用树状图或列表法表示出所有可能出现的情况：并求出两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
解：列表如下：
成
都
加
油
成
（都，成）
（加，成）
（油，成）
都
（成，都）
（加，都）
（油，都）
加
（成，加）
（都，加）
（油，加）
油
（成，油）
（都，油）
（加，油）
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，n）和B（﹣8，﹣2）．与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）写出当月y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝3：1时，求点P的坐标．
【分析】（1）把B（﹣8，﹣2）代入y2＝可确定反比例函数解析式，进而求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当﹣8＜x＜0或x＞4，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（3）先确定点C的坐标是（0，2），再计算出S梯形ODAC＝12，由S梯形ODAC：S△ODE＝3：1可求得S△ODE，可求得DE＝2，则可求得E的坐标，即可确定直线OP的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求解即可．
解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得m＝﹣8×（﹣2）＝16，
∴反比例函数解析式为y2＝，
把点A（4，n）代入y2＝得，n＝4，
∴A（4，4），
∵一次函数y1＝kx+b过点A（4，4）和B（﹣8，﹣2）．
∴，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x+2；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣8＜x＜0或x＞4；
（3）∵y1＝x+2，
∴点C的坐标是（0，2），
∴CO＝2，
∵A（4，4）
∴AD＝OD＝4．
∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，
∵S梯形ODAC：S△ODE＝3：1，
∴S△ODE＝×12＝4，
∴OD•DE＝4，
∴DE＝2，
∴点E的坐标为（4，2）．
设直线OP的解析式为y＝ax，把E（4，2）代入得4a＝2，解得a＝，
∴直线OP的解析式为y＝x．
由解得或，
∴P（4，2）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（3）中求得E点的坐标是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【分析】（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形相似和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；
（2）根据△AFB∽△BGC，得＝，即＝＝，设AF＝5x，BG＝3x，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；
（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．
解：（1）（任意回答一个即可）；
①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，理由如下：
∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，
∴AF＝CC'，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝，即＝＝，
设AF＝5x，BG＝3x，
∴CC'＝AF＝5x，
∵CG＝C'G，
∴CG＝C'G＝2.5x，
∵△AFB∽△BCE∽△BGC，
∴＝，即＝，
∴CE＝7.5；
（3）分两种情况：
①当C'F＝BC'时，如图2，
∵C'G⊥BE，
∴BG＝GF，
∵CG＝C'G，
∴四边形BCFC'是菱形，
∴CF＝CB＝9，
由（2）知：AF＝5x，BG＝3x，
∴BF＝6x，
∵△AFB∽△BCE，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴CE＝；
②当C'F＝BF时，如图3，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝＝＝，
设BF＝5a，CG＝3a，
∴C'F＝5a，
∵CG＝C'G，BE⊥CC'，
∴CF＝C'F＝5a，
∴FG＝4a，
∵tan∠CBE＝＝，
∴＝，
∴CE＝3；
综上，当CE的长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
B卷（共50分）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+5x2+2022＝ 2046 ．
【分析】据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出﹣5x1＝﹣1，x1+x2＝5，再整体代入即可求出结论．
解：∵一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12＝5x1﹣1，x1+x2＝5，
∴x12+5x2+2022
＝5x1﹣1+5x2+2022
＝5（x1+x2）+2021
＝25+2021＝2046．
故答案为：2046．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题的关键是得到x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3．
20．若点A（m，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 x≤﹣2或x＞0 ．
【分析】先把点A的坐标代入函数解析式求出m的值，然后在两个象限内利用反比例函数的性质解答．
解：∵点A（m，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴＝﹣3，
解得m＝﹣2，
在第一象限，函数值y都是正数，所以x＞0时，y≥﹣2，
在第三象限，函数值y随x的增大而减小，
所以x≤﹣2时，y≥﹣2，
综上所述，函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣2或x＞0．
故答案为：x≤﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数的性质，本题关键在于要分两个象限求解x的取值范围．
21．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：m⊗n＝m+n，比如1⊗2＝1+×2＝．若y⊗（5⊗10）＝25，则y的值为 + ．
【分析】先利用题干中新定义运算将y⊗（5⊗10）＝25化简为y+﹣＝25，即可得出结论．
解：∵m⊗n＝m+n，
∴5⊗10＝5+×10＝5，
∴y⊗（5⊗10）＝y⊗5＝y+×5＝y+﹣，
∵y⊗（5⊗10）＝25，
∴y+﹣＝25，
解得：y＝+，
故答案为：+．
【点评】本题考查了黄金分割、新定义运算以及一元一次方程的解法，理解新定义运算是解题的关键．
22．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若△ABC既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且∠C＝90°，则＝ 或 ．
【分析】根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
当c＞b＞a，
∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2，
∵Rt△ABC是“和美三角形”，
∴2b2＝a2+c2，
∴2b2＝a2+a2+b2，
∴b2＝2a2，
∴＝（负值舍去），
当c＞a＞b，
∴2c2＞b2+a2，2b2＜a2+c2，
∵Rt△ABC是“和美三角形”，
∴2a2＝b2+c2，
∴2a2＝b2+b2+a2，
∴a2＝2b2，
∴＝（负值舍去），
故＝或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AE⊥BD，垂足为E，ED＝4BE，动点P、Q分别在BD、AD上，则，AE的长为 ，AP+PQ的最小值为 ．
【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，当A′Q⊥AD时，AP+PQ＝A′Q的值最小，进而求得A′Q便可．
解：设BE＝x，则DE＝4x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴，
∴AE2＝BE•DE，即AE2＝4x2，
∴AE＝2x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2+DE2，
即82＝（2x）2+（4x）2，
解得x＝，
∴AE＝，DE＝，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，A′P，
则A′A＝2AE＝，
∴当A′、P、Q三点在一条线上，且A′Q⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴由三角形的面积公式知，，
∴，
∴AP+PQ的最小值为，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键．
二、解答题：（共30分）
24．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
（2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
【分析】（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+二、三这两个月的销售量月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，当月的销售量为（900﹣10y）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元．
解：（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为25%．
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，当月的销售量为100+5×＝（900﹣10y）件，
依题意得：（y﹣60）（900﹣10y）＝2160，
整理得：y2﹣150y+5616＝0，
解得：y1＝72，y2＝78，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴y＝72．
答：该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图1，在矩形ABCD中，已知BC＝12．AB＝5，点E、F分别是AC、BC的中点，连接EF．将△EFC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ；
（2）拓展探究：
将△EFC绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；
（3）问题解决：
当△EFC旋转至A、F、E三点共线时，求线段BF的长（写出必要的解题过程）．
【分析】（1）①当α＝0°时，得到AE＝，BF＝AB＝6＝CF即可求解；②当α＝180°时，由AB∥EF得到，即可求解；
（2）证明△ACE∽△BCF，则，即可求解；
（3）由，则BF＝AE，画出图3，4，分别求出AE的值，即可求解．
解：（1）①当α＝0°时，见题干图1，
∵AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝13，
∵点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，即AE＝，BF＝AB＝6＝CF，EF＝AB＝，
∴，
故答案为：；
②当α＝180°时，如图1，
∵AB∥EF，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，连接AE，
∵∠ACB＝∠ECF，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝∠ACF+∠FCE＝∠ACE，
∵，
∴△ACE∽△BCF，
∴；
（3）A、F、E三点共线时，如图3，4，
由（1）知，CF＝6，EF＝2.5，
由（1）、（2）知，，则BF＝AE，
如图3，∵∠AEC＝90°，
则AF＝＝＝，
则AE＝AF+EF＝+2.5，
∴BF＝AE＝；
如图4，同理AE＝AF﹣EF＝﹣2.5，
则BF＝；
故BF的长度为或．
【点评】此题属于四边形和三角形旋转的综合题．考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于α点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（3，1），求C点的坐标：
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若直线OP与直线l的夹角为β，且∠β＝30°，求PA：PC的值；
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA：PC的值．
【分析】（1）由题意求出点P的坐标是（2，1），即可得到C点的坐标．
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，证明△APN∽△CPM，由相似三角形的性质可得出，即可求出PA：PC的值．
（3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC＝PN：PM，设OA＝x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．
解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（3，1），
∴点P的坐标是（3，1）．
∴C（3，0）；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图所示．则四边形PNOM是矩形，
∴PM＝ON，
∵直线OP与直线l的夹角为β，且∠β＝30°，
∴∠ABO＝∠OPN＝30°．
∵∠PNO＝90°，
∴PN＝ON，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴∠ANP＝∠CMP＝90°．
∴∠NPM＝90°．
∵∠APC＝90°．
∴∠APN＝90°﹣∠APM＝∠CPM．
∴△APN∽△CPM，
∴，
∴PA：PC的值为；
（3）①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图2所示．
∵∠APN＝∠CPM，∠ANP＝∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴．
∵∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE．
∵AP⊥PC，
∴EP＝CP．
∵PM∥y轴，
∴AF＝CF，OM＝CM．
∴FM＝OA．
设OA＝x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴，
∵PD＝2OD，
∴PF＝2OA＝2x，FM＝x．
∴PM＝x．
∵∠APC＝90°，AF＝CF，
∴AC＝2PF＝4x．
∵∠AOC＝90°，
∴OC＝x．
∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90°，
∴四边形PMON是矩形．
∴PN＝OM＝x．
∴PA：PC＝PN：PM＝x：x＝．
②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图3所示．
同理可得：PM＝x，CA＝2PF＝4x，OC＝x．
∴PN＝OM＝OC＝x．
∴PA：PC＝PN：PM＝x：x＝．
综上所述：PA：PC的值为或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室联中九年级第一学期期中数学试卷
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题：倾小题4分。共32分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．4x2﹣3xy﹣y2＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝1
2．若点（2，3）是反比例函数y＝图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A．（1，6） B．（1，﹣6） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
4．用配方法解方程x2﹣6x＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且AD＝4，BD＝2，DE∥BC．则下列说法不正确的是（ ）
A．AE：EC＝2：1 B．DE＝BC
C．S△ADE：S△ABC＝2：3 D．．△ADE∽△ABC
6．反比例函数y＝的图象的两个分支分别在第二、第四象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜5 D．m＞5
7．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，已知菱形ABCD的周长为4，两条对角线AC、BD的和为6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大概5个小题，每小题4分，共20分）
9．若＝，则＝ ．
10．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 ．
11．如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝ ．
12．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是边AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝9，则折痕CE长度为 ．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，那么DC：AD'＝ ．
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：（）﹣1﹣+3（2022﹣2023π）0+|﹣2|；
（2）用适当的方法解下列方程：①x2+5x+5＝0；②2x（x﹣3）＝4（3﹣x）．
15．如图，△ABC在平面直角坐标内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标，及△A2BC2的面积．
16．将分别标有“成”“都”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，请用树状图或列表法表示出所有可能出现的情况：并求出两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率．
17．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，n）和B（﹣8，﹣2）．与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）写出当月y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝3：1时，求点P的坐标．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
B卷（共50分）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+5x2+2022＝ ．
20．若点A（m，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 ．
21．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：m⊗n＝m+n，比如1⊗2＝1+×2＝．若y⊗（5⊗10）＝25，则y的值为 ．
22．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若△ABC既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且∠C＝90°，则＝ ．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AE⊥BD，垂足为E，ED＝4BE，动点P、Q分别在BD、AD上，则，AE的长为 ，AP+PQ的最小值为 ．
二、解答题：（共30分）
24．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
（2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
25．如图1，在矩形ABCD中，已知BC＝12．AB＝5，点E、F分别是AC、BC的中点，连接EF．将△EFC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ；
（2）拓展探究：
将△EFC绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；
（3）问题解决：
当△EFC旋转至A、F、E三点共线时，求线段BF的长（写出必要的解题过程）．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于α点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（3，1），求C点的坐标：
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若直线OP与直线l的夹角为β，且∠β＝30°，求PA：PC的值；
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA：PC的值．
参考答案
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题：倾小题4分。共32分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．4x2﹣3xy﹣y2＝0 D．（x﹣2）（x+3）＝1
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
解：A、是分式方程，故该选项不符合题意；
B、当a＝0时，就不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、含有两个未知数且最高次数为2，所以不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、（x﹣2）（x+3）＝1，是一元二次方程，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．若点（2，3）是反比例函数y＝图象上一点，则此函数图象一定经过点（ ）
A．（1，6） B．（1，﹣6） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
【分析】将点（2，3）代入y＝，求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
解：∵点（2，3）是反比例函数y＝图象上一点，
∴k＝2×3＝6，
∴符合此条件的只有A（1，6），1×6＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
4．用配方法解方程x2﹣6x＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝9 D．（x﹣3）2＝9
【分析】配方，即可得出选项．
解：x2﹣6x＝0，
配方，得x2﹣6x+9＝9，
即（x﹣3）2＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且AD＝4，BD＝2，DE∥BC．则下列说法不正确的是（ ）
A．AE：EC＝2：1 B．DE＝BC
C．S△ADE：S△ABC＝2：3 D．．△ADE∽△ABC
【分析】利用DE∥BC，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定及性质进行判断即可．
解：∵DE∥BC，
∴，故选项A正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴DE＝BC，故选项B，D正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
6．反比例函数y＝的图象的两个分支分别在第二、第四象限内，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜5 D．m＞5
【分析】反比例函数y＝（k≠0），当k＜0时，图象是位于二、四象限．依此可以确定m的取值范围．
解：由题意可得m﹣5＜0，
即m＜5．
故选：C．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
7．函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
8．如图，已知菱形ABCD的周长为4，两条对角线AC、BD的和为6，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，由勾股定理得出OA2+OB2＝AB2＝5，求出OA•OB＝2，由三角形的面积及菱形的面积可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为4，
∴AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2＝5，
∵AC+BD＝6，
∴OA+OB＝3，
∴OA•OB＝2，
∴S△AOB＝×2＝1，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大概5个小题，每小题4分，共20分）
9．若＝，则＝ 3 ．
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
解：∵＝，
∴设a＝5k，b＝2k，
∴＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
10．在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】直接利用反比例函数的性质得出﹣k+1＞0，进而得出k的取值范围．
解：在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，
∴﹣k+1＞0，
∴k＜1，
∴k的取值范围为：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
11．如图，点F在平行四边形ABCD的边上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若＝，则＝ 2 ．
【分析】根据平行四边形ABCD中，AB∥CD可得，△AOB∽△COE，再根据＝，得出，从而得出，再利用△ABF∽△DEF，求出的值．
解：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∴∠ABO＝∠E，∠BAO＝∠ECO，
∴△ABO∽△CEO，
∴，
∴，
∵CE＝CD+DE＝AB+DE，
∴＝2，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△AFB∽△DFE，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是边AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝9，则折痕CE长度为 6 ．
【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解：∵△CEO是△CEB翻折而成，
∴BC＝OC，BE＝OE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2OC＝2BC＝2×9＝18，
∴AE＝CE，AO＝OC＝9，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
即182＝AB2+92，
解得AB＝9，
在Rt△AOE中，设OE＝x＝BE，则AE＝AB﹣BE＝9﹣x，
∵AE2＝AO2+OE2，
即（9﹣x）2＝92+x2，
解得x＝3，
∴AE＝EC＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，那么DC：AD'＝ ．
【分析】由正方形ABCD的边长为1，可得BD'＝BD＝，由勾股定理求得AD'，即可求出答案．
解：由于正方形ABCD的边长为1，则AB＝1＝DC，BD＝，
∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，
∴∠ABD'＝90°，BD'＝BD＝，
在Rt△ABD'中，
AD'＝＝＝，
∴DC：AD'＝1：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形中的旋转变换，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握旋转的性质，求出AD'的长度．
三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：（）﹣1﹣+3（2022﹣2023π）0+|﹣2|；
（2）用适当的方法解下列方程：①x2+5x+5＝0；②2x（x﹣3）＝4（3﹣x）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）①利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
②利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）（）﹣1﹣+3（2022﹣2023π）0+|﹣2|
＝2﹣3+3×1+2﹣
＝2﹣3+3+2﹣
＝4﹣；
（2）①x2+5x+5＝0，
∵Δ＝52﹣4×1×5
＝25﹣20
＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
②2x（x﹣3）＝4（3﹣x），
2x（x﹣3）+4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x+4）＝0，
x﹣3＝0或2x+4＝0，
x1＝3，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．如图，△ABC在平面直角坐标内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以B为位似中心，在B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似且相似比为2：1；
（3）直接写出点A2和点C2的坐标，及△A2BC2的面积．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据三角形的面积公式结合网格即可求解．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求；
（3）A2（1，1），C2（﹣3，﹣1），
△A2BC2的面积＝＝4．
【点评】本题考查了轴对称变换的性质，位似变换的性质，熟练掌握轴对称变换以及位似变换的性质是解题的关键．
16．将分别标有“成”“都”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，请用树状图或列表法表示出所有可能出现的情况：并求出两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
解：列表如下：
成
都
加
油
成
（都，成）
（加，成）
（油，成）
都
（成，都）
（加，都）
（油，都）
加
（成，加）
（都，加）
（油，加）
油
（成，油）
（都，油）
（加，油）
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（4，n）和B（﹣8，﹣2）．与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）写出当月y1＞y2时，x的取值范围；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝3：1时，求点P的坐标．
【分析】（1）把B（﹣8，﹣2）代入y2＝可确定反比例函数解析式，进而求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到当﹣8＜x＜0或x＞4，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
（3）先确定点C的坐标是（0，2），再计算出S梯形ODAC＝12，由S梯形ODAC：S△ODE＝3：1可求得S△ODE，可求得DE＝2，则可求得E的坐标，即可确定直线OP的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求解即可．
解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得m＝﹣8×（﹣2）＝16，
∴反比例函数解析式为y2＝，
把点A（4，n）代入y2＝得，n＝4，
∴A（4，4），
∵一次函数y1＝kx+b过点A（4，4）和B（﹣8，﹣2）．
∴，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x+2；
（2）由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣8＜x＜0或x＞4；
（3）∵y1＝x+2，
∴点C的坐标是（0，2），
∴CO＝2，
∵A（4，4）
∴AD＝OD＝4．
∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12，
∵S梯形ODAC：S△ODE＝3：1，
∴S△ODE＝×12＝4，
∴OD•DE＝4，
∴DE＝2，
∴点E的坐标为（4，2）．
设直线OP的解析式为y＝ax，把E（4，2）代入得4a＝2，解得a＝，
∴直线OP的解析式为y＝x．
由解得或，
∴P（4，2）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（3）中求得E点的坐标是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【分析】（1）因为△AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形相似和△AFB相似，解答时任意写出一个即可；
（2）根据△AFB∽△BGC，得＝，即＝＝，设AF＝5x，BG＝3x，根据△AFB∽△BCE∽△BGC，列比例式可得CE的长；
（3）分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，②当C'F＝BF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论．
解：（1）（任意回答一个即可）；
①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，理由如下：
∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
（2）∵四边形AFCC'是平行四边形，
∴AF＝CC'，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝，即＝＝，
设AF＝5x，BG＝3x，
∴CC'＝AF＝5x，
∵CG＝C'G，
∴CG＝C'G＝2.5x，
∵△AFB∽△BCE∽△BGC，
∴＝，即＝，
∴CE＝7.5；
（3）分两种情况：
①当C'F＝BC'时，如图2，
∵C'G⊥BE，
∴BG＝GF，
∵CG＝C'G，
∴四边形BCFC'是菱形，
∴CF＝CB＝9，
由（2）知：AF＝5x，BG＝3x，
∴BF＝6x，
∵△AFB∽△BCE，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴CE＝；
②当C'F＝BF时，如图3，
由（1）知：△AFB∽△BGC，
∴＝＝＝，
设BF＝5a，CG＝3a，
∴C'F＝5a，
∵CG＝C'G，BE⊥CC'，
∴CF＝C'F＝5a，
∴FG＝4a，
∵tan∠CBE＝＝，
∴＝，
∴CE＝3；
综上，当CE的长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
B卷（共50分）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+5x2+2022＝ 2046 ．
【分析】据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出﹣5x1＝﹣1，x1+x2＝5，再整体代入即可求出结论．
解：∵一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12＝5x1﹣1，x1+x2＝5，
∴x12+5x2+2022
＝5x1﹣1+5x2+2022
＝5（x1+x2）+2021
＝25+2021＝2046．
故答案为：2046．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题的关键是得到x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3．
20．若点A（m，﹣3）在反比例函数y＝的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 x≤﹣2或x＞0 ．
【分析】先把点A的坐标代入函数解析式求出m的值，然后在两个象限内利用反比例函数的性质解答．
解：∵点A（m，﹣3）在反比例函数的图象上，
∴＝﹣3，
解得m＝﹣2，
在第一象限，函数值y都是正数，所以x＞0时，y≥﹣2，
在第三象限，函数值y随x的增大而减小，
所以x≤﹣2时，y≥﹣2，
综上所述，函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是x≤﹣2或x＞0．
故答案为：x≤﹣2或x＞0．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数的性质，本题关键在于要分两个象限求解x的取值范围．
21．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：m⊗n＝m+n，比如1⊗2＝1+×2＝．若y⊗（5⊗10）＝25，则y的值为 + ．
【分析】先利用题干中新定义运算将y⊗（5⊗10）＝25化简为y+﹣＝25，即可得出结论．
解：∵m⊗n＝m+n，
∴5⊗10＝5+×10＝5，
∴y⊗（5⊗10）＝y⊗5＝y+×5＝y+﹣，
∵y⊗（5⊗10）＝25，
∴y+﹣＝25，
解得：y＝+，
故答案为：+．
【点评】本题考查了黄金分割、新定义运算以及一元一次方程的解法，理解新定义运算是解题的关键．
22．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若△ABC既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且∠C＝90°，则＝ 或 ．
【分析】根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
当c＞b＞a，
∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2，
∵Rt△ABC是“和美三角形”，
∴2b2＝a2+c2，
∴2b2＝a2+a2+b2，
∴b2＝2a2，
∴＝（负值舍去），
当c＞a＞b，
∴2c2＞b2+a2，2b2＜a2+c2，
∵Rt△ABC是“和美三角形”，
∴2a2＝b2+c2，
∴2a2＝b2+b2+a2，
∴a2＝2b2，
∴＝（负值舍去），
故＝或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AE⊥BD，垂足为E，ED＝4BE，动点P、Q分别在BD、AD上，则，AE的长为 ，AP+PQ的最小值为 ．
【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，当A′Q⊥AD时，AP+PQ＝A′Q的值最小，进而求得A′Q便可．
解：设BE＝x，则DE＝4x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴，
∴AE2＝BE•DE，即AE2＝4x2，
∴AE＝2x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2+DE2，
即82＝（2x）2+（4x）2，
解得x＝，
∴AE＝，DE＝，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，A′P，
则A′A＝2AE＝，
∴当A′、P、Q三点在一条线上，且A′Q⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴由三角形的面积公式知，，
∴，
∴AP+PQ的最小值为，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键．
二、解答题：（共30分）
24．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
（2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
【分析】（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+二、三这两个月的销售量月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，当月的销售量为（900﹣10y）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元．
解：（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为25%．
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣60）元，当月的销售量为100+5×＝（900﹣10y）件，
依题意得：（y﹣60）（900﹣10y）＝2160，
整理得：y2﹣150y+5616＝0，
解得：y1＝72，y2＝78，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴y＝72．
答：该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．如图1，在矩形ABCD中，已知BC＝12．AB＝5，点E、F分别是AC、BC的中点，连接EF．将△EFC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：
①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ；
（2）拓展探究：
将△EFC绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；
（3）问题解决：
当△EFC旋转至A、F、E三点共线时，求线段BF的长（写出必要的解题过程）．
【分析】（1）①当α＝0°时，得到AE＝，BF＝AB＝6＝CF即可求解；②当α＝180°时，由AB∥EF得到，即可求解；
（2）证明△ACE∽△BCF，则，即可求解；
（3）由，则BF＝AE，画出图3，4，分别求出AE的值，即可求解．
解：（1）①当α＝0°时，见题干图1，
∵AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝13，
∵点E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，即AE＝，BF＝AB＝6＝CF，EF＝AB＝，
∴，
故答案为：；
②当α＝180°时，如图1，
∵AB∥EF，
∴，
故答案为：；
（2）如图2，连接AE，
∵∠ACB＝∠ECF，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝∠ACF+∠FCE＝∠ACE，
∵，
∴△ACE∽△BCF，
∴；
（3）A、F、E三点共线时，如图3，4，
由（1）知，CF＝6，EF＝2.5，
由（1）、（2）知，，则BF＝AE，
如图3，∵∠AEC＝90°，
则AF＝＝＝，
则AE＝AF+EF＝+2.5，
∴BF＝AE＝；
如图4，同理AE＝AF﹣EF＝﹣2.5，
则BF＝；
故BF的长度为或．
【点评】此题属于四边形和三角形旋转的综合题．考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于α点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ＝90°，PQ交x轴于点C．
（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（3，1），求C点的坐标：
（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若直线OP与直线l的夹角为β，且∠β＝30°，求PA：PC的值；
（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA：PC的值．
【分析】（1）由题意求出点P的坐标是（2，1），即可得到C点的坐标．
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，证明△APN∽△CPM，由相似三角形的性质可得出，即可求出PA：PC的值．
（3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC＝PN：PM，设OA＝x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．
解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（3，1），
∴点P的坐标是（3，1）．
∴C（3，0）；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图所示．则四边形PNOM是矩形，
∴PM＝ON，
∵直线OP与直线l的夹角为β，且∠β＝30°，
∴∠ABO＝∠OPN＝30°．
∵∠PNO＝90°，
∴PN＝ON，
∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴∠ANP＝∠CMP＝90°．
∴∠NPM＝90°．
∵∠APC＝90°．
∴∠APN＝90°﹣∠APM＝∠CPM．
∴△APN∽△CPM，
∴，
∴PA：PC的值为；
（3）①若点P在线段OB的延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图2所示．
∵∠APN＝∠CPM，∠ANP＝∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴．
∵∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE．
∵AP⊥PC，
∴EP＝CP．
∵PM∥y轴，
∴AF＝CF，OM＝CM．
∴FM＝OA．
设OA＝x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴，
∵PD＝2OD，
∴PF＝2OA＝2x，FM＝x．
∴PM＝x．
∵∠APC＝90°，AF＝CF，
∴AC＝2PF＝4x．
∵∠AOC＝90°，
∴OC＝x．
∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90°，
∴四边形PMON是矩形．
∴PN＝OM＝x．
∴PA：PC＝PN：PM＝x：x＝．
②若点P在线段OB的反向延长线上，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，
PM与直线AC的交点为F，如图3所示．
同理可得：PM＝x，CA＝2PF＝4x，OC＝x．
∴PN＝OM＝OC＝x．
∴PA：PC＝PN：PM＝x：x＝．
综上所述：PA：PC的值为或．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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