2020-2021学年第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念教课ppt课件

6.1　平面向量及其线性运算

6.1.1　向量的概念

知识点1　向量及其表示

1．定义

既有大小又有方向的量称为向量．

2．有向线段

具有方向和长度的线段称为有向线段．其方向是由始点(或起点)指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也称为有向线段的长度，记作||.

3．向量的长度

||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)．

4．向量的表示法

(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

(2)向量也可以用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示．

1．下列说法中正确的个数是(　　)

①身高是一个向量；

②∠AOB的两条边都是向量；

③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

④物理学中的加速度是向量．

A．0　　 　　　　 B．1

C．2 D．3

B　[只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确．]

知识点2　向量的有关概念

2.如图，在⊙O中，向量，，是(　　)

A．有相同起点的向量

B．共线向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

C　[由题知，，对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．]

3.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．

①与向量相等的向量为________；

②若||＝3，则向量的模等于________．

①，　②6　[①在平行四边形ABCD和ABDE中，

∵＝，＝，

∴＝.

②由①知＝，

∴E，D，C三点共线，

||＝||＋||

＝2||＝6.]

类型1　向量的有关概念

【例1】　判断下列命题是否正确，请说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

[思路探究]　解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．

[解]　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.

(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．

(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．

(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的，因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要特别注意．

(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．

(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．

1．给出下列命题：

①向量的模一定是正数；

②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

②　[①错误．如|0|0.

②正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．

③错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．]

类型2　向量的表示及应用

【例2】　(对接教材P134例1)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

(1)作出向量，，；

(2)求的模．

[思路探究]　(1)可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．(2)可把放在直角三角形中求得||.

[解]　(1)作出向量，，，如图所示．

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．

向量有哪两种表示方法？

[提示]　(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．

(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．

2．某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围．

(1)作出向量，，；

(2)求||.

[解]　(1)向量，，，如图所示．

(2)由题意，易知与方向相反，

故与共线．

又||＝||，∴在四边形ABCD中，ABCD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴＝，||＝||＝200 km.

类型3　相等向量与共线向量

1．向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？

[提示]　向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线．

2．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？

[提示]　不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．

【例3】　(对接教材P135例3)如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．

(1)写出与相等的向量；

(2)写出与共线的向量；

(3)向量与是否相等？

[解]　(1)与相等的向量为：，，.

(2)与共线的向量为：，，，，，，，，.

(3)向量与不相等．因为与的方向相反，所以它们不相等．

相等向量与共线向量需注意的四个问题

(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．

(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．

(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)．

(4)三点A，B，C共线⇔，共线．

3．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形．

(1)图中所标出的向量与共线的有________；

(2)图中所标出的向量与相等的有________；

(3)图中所标出的向量与模相等的有________；

(4)图中所标出的向量与相等的有________．

[答案]　(1)，　(2)　(3)，，，　(4)

1．下列说法中正确的个数为(　　)

(1)有向线段就是向量；

(2)两个向量的模能比较大小；

(3)有向线段可以用来表示向量；

(4)若a＝b，b＝c，则a＝c；

(5)若a∥b，则a与b的方向一定相同或相反；

(6)若非零向量∥，那么AB∥CD；

(7)单位向量的模都相等．

A．2　       B．3　　　　C．4　　　　D．0

C　[(5)0与任何向量共线，但0方向任意，故(5)错误．

(6)∥，A，B，C，D可能共线，故(6)错误．]

2．下列说法正确的是(　　)

A．若|a|＝0，则a＝0

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若|a|＝|b|，则a与b是平行向量

D．若a∥b，则a＝b

A　[|a|＝0，则a是零向量，故A项正确．]

3．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)

A．一条线段

B．一条直线

C．圆上一群孤立的点

D．一个半径为1的圆

B　[因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线．]

4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；

⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．(填序号)

④⑥　[由向量的相关概念可知④⑥正确．]

5．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是________．

8　[图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．判断一个量是否为向量应从哪两个方面入手？

[提示]　(1)是否有大小．

(2)是否有方向．

2．你是如何理解零向量和单位向量的？

[提示]　(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．

(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

3．如何寻找共线向量或相等向量的方法？

[提示]　(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．