高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法教学演示课件ppt

2.2.3　一元二次不等式的解法

知识点一　一元二次不等式的概念

一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．

一元二次不等式的二次项系数a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．

1．下列不等式中，哪些是一元二次不等式(其中a，b，c，m为常数)?

(1)ax2＞0；

(2)x3＋5x－6≥0；

(3)－x－x2≤0；

(4)x2＞0；

(5)mx2－5y＞0；

(6)ax2＋bx＋c≤0；

(7)x－＞0.

[解]　

知识点二　一元二次不等式的解法

1．因式分解法解一元二次不等式

一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．

2．配方法解一元二次不等式

一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．

[拓展]　一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式．

(1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－，h＋)．

(2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R；

(x－h)2＜k的解集为∅.

2.不等式x(x－2)＞0的解集为________，不等式x(x－2)＜0的解集为________．

[答案]　{x|x＜0或x＞2}　{x|0＜x＜2}

3.不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为________．

　[原不等式可化为(x＋3)＜0，所以－3＜x＜，所以原不等式的解集为.]

4.不等式3x2－2x＋1＞0的解集是________．

R　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]

知识点三　分式不等式的解法

1．分式不等式的概念

分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式＞0(≥0)或＜0(≤0)．

2．分式不等式的解法

解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解．

化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式．

将分式不等式转化为整式不等式求解．

5.不等式≥0的解集为(　　)

A．

B．

C．

D．

C　[原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＞0或x－1＝0，解得x＜－或x＞1或x＝1，所以原不等式的解集为.]

类型1　解一元二次不等式

　解不含参数的一元二次不等式

【例1】　已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　)

A．{x|－1＜x＜2}

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

B　[法一：由x2－x－2＞0左边因式分解得(x＋1)(x－2)＞0，解得x＜－1或x＞2，则A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．

法二：由x2－x－2＞0左边配方可得－＞0，即＞，两边开方得＞，

所以x＞2或x＜－1，

所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．]

解一元二次不等式的方法有哪些？

[提示]　(1)因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式．

(2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总可以化为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集．

　解含有参数的一元二次不等式

【例2】　解关于x的不等式ax2－x＞0.

[解]　根据题意，分情况讨论：

①当a＝0时，不等式化为－x＞0，即x＜0.

此时不等式的解集为(－∞，0)；

②当a≠0时，方程ax2－x＝0有两根，分别为0和.

当a＞0时，＞0，此时不等式的解集为(－∞，0)∪；

当a＜0时，＜0，此时不等式的解集为.

综上可得：当a＞0时，不等式的解集为(－∞，0)∪；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)；

当a＜0时，不等式的解集为.

含参数的一元二次不等式求解的注意事项

(1)参数只在一次项系数位置时，首先利用配方法或者因式分解法得其一元二次方程的根，然后分析根的大小作出结论．

(2)如果二次项系数为参数，则通常是先分析二次项系数的正、0、负三种情况，分别得其解后再分析解的大小，从而作出结论．

1．解不等式：x2＋(2－a)x－2a≥0.

[解]　由x2＋(2－a)x－2a≥0得，(x＋2)(x－a)≥0，

①当a＝－2时，不等式的解集是R；

②当a＞－2时，不等式的解集是(－∞，－2]∪[a，＋∞)；

③当a＜－2时，不等式的解集是(－∞，a]∪[－2，＋∞)．

类型2　解简单的分式不等式

【例3】　(1)不等式＞1的解集是________．

(2)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(2，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－2,2)

D．(－1,2)

[思路探究]　(1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解；(2)根据不等式及解集，可判断a的符号及＝2.将所求不等式变形，结合一元二次不等式解法即可求得解集．

(1){x|－4＜x＜－1}　(2)B　[(1)因为＞1，所以－1＞0，即＞0，所以＜0.

所以(x＋1)(x＋4)＜0，故－4＜x＜－1．

(2)由x的不等式ax－b＞0，变形可得ax＞b，因为关于x的不等式ax＞b的解集是(2，＋∞)，所以a＞0且＝2，则不等式＞0可化为＞0，即＞0，等价于a(x＋2)(x－2)＞0，

因为a＞0，解得x＜－2或x＞2，

即x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]

解分式不等式的步骤

类型3　两个“二次”间的关系

方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？

[提示]　方程x2－2x－3＝0的解集为{－1，3}.,不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根.

【例4】　(1)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为(　　)

A．14　 B．－10　　　　

C．10　　　　 D．－14

(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．

(1)D　[(1)由已知得，

ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0.

∴

解得

∴a＋b＝－14.]

(2)[解]　因为x2＋px＋q＜0的解集为

，

所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，

由根与系数的关系得

解得

所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，

解得－2＜x＜3.

即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．

一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及

两个“二次”之间的关系解题的思想

(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．

(2)应用两“二次”之间的关系解题的思想

一元二次不等式与其对应的方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意两者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．

2．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．

[解]　由题意知

即

代入不等式cx2－bx＋a＞0，

得6ax2＋5ax＋a＞0(a＜0)．

即6x2＋5x＋1＜0，解得－＜x＜－，

所以所求不等式的解集为.

1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)

A．1个　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

B　[②④一定是一元二次不等式．]

2．不等式＜0的解集为(　　)

A．{x|x＞1} B．{x|x＜－2}

C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜－2}

C　[原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，

解得－2＜x＜1．]

3．设集合A＝{x|x2≤x}，B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝(　　)

A．(0,1] B．[0,1]

C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1]

A　[由题意得A＝[0,1]，故A∩B＝(0,1]．]

4．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|x2＜4}，则M与N的关系为________．

MN　[因为M＝{x|x2－x＜0}＝{x|0＜x＜1}，

N＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}，

所以MN.]

5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表如下：

则a＝________；不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________．

1　{x|x＜－2或x＞3}　[由表知x＝－2时，y＝0，x＝3时，y＝0，

所以二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为：

y＝a(x＋2)(x－3)，又因为x＝1时，y＝－6，所以a＝1，图像开口向上．

结合二次函数的图像可得不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜－2或x＞3.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．解一元二次不等式有哪些方法？

[提示]　(1)因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．

(2)配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．

(3)求根公式法：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．

(4)两个“二次”间的关系法：不等式解集的端点恰好是二次方程的根．

2．含参数的一元二次不等式的解题步骤是怎样的？

[提示]　

3．解分式不等式应注意哪些问题？

[提示]　(1)注意等价转化；

(2)注意x2的系数的正负，尤其为负数时，可化负为正后再求解，否则易将范围求错；

(3)结论用集合或区间书写；

(4)特别注意分母不等于零．