2022-2023学年北京市西城区育才学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市西城区育才学校八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，≌，，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，点在的延长线上，，则是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标示系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，若的周长为，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知直线及直线外一点如图，
   在直线上取一点，连接；
   作的垂直平分线，分别交直线，于点，；
   以为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点；
   作直线．
   根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(    )

A. ≌ B.
C.  D. 若，则

10. 在平面直角坐标系中，已知点，点，若点同时满足下列条件：点到，两点的距离相等；点到的两边距离相等．则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共10小题，共30分）

11. 计算： ______ ．
12. 在中，，，则______．
13. 若一个正多边形的每一个外角都等于，则这个正多边形的边数为______．
14. 等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______．
15. 如图，与交于点，且请添加一个条件使得≌，这个条件是：______写出一个即可．

16. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆，若衣架收拢时，，如图，则此时，两点之间的距离是______．

17. 如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形则满足条件的点有______个．
     
18. 如图，中，，平分，于点，于点，且与交于点，于点，且与交于点则下面的结论：；；；其中正确结论的序号是______．
19. 如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由______．

20. 已知一张三角形纸片如图甲，其中将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为如图乙再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为如图丙原三角形纸片中，的大小为______

三、解答题（本题共9小题，共50分）

21. 已知：如图，，是上的两点，且，，．
    求证：．

22. 如图，已知平分，求证：．

23. 数学课上，王老师布置如下任务：
    如图，中，，在边上取一点，使．
    小路的作法如下：
    作边的垂直平分线，交于点，交于点；
    连结．
    请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图保留作图痕迹；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
    是的垂直平分线
    ______，依据：______；
    ______，依据：______
    ．

24. 如图，平分，，，求与的度数．

25. 如图所示，边长为的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．
    
    作关于轴的对称图形，其中、、的对称点分别是、、，并写出点坐标；
    为轴上一点，请在图中画出使的周长最小时的点，并直接写出此时点的坐标．
26. 如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
    求证：；
    若，求的度数．

27. 已知：在中，为内一点，连接，，延长到点，使得如图，延长到点，使得连接，，若，求证：．

28. 如图，在中，，过点作于点，点在内部，连结，，，其中，分别平分，．
    求的度数；
    试判断的形状，并说明理由．

29. 在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点．
    
    如图，当点在上时，填空： ______ 填“”、“”或“”．
    如图，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】
解：、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：≌，，，，
．
故选：．
直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则、单项式乘单项式运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设第三根木棒长为，由题意得：，
，
选项符合题意，
故选：．
首先设第三根木棒长为，根据三角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据三角形外角性质得出，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
 

7.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线分别交，于点，，
，，
的周长为，
，
，
，
的周长，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，，根据的周长为，可得，进一步求解即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了菱形的判定与性质．连接，，如图，利用基本作图得到垂直平分，，则可根据“”判断≌，根据全等三角形的性质得，于是可判断；由垂直平分得到，若，则可判断为等边三角形，于是得到，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：连接，，如图，
由作法得垂直平分，，
，，
≌；
，
；
垂直平分，
，
若，则，此时为等边三角形，则．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：点，点，点到，两点的距离相等，
点在线段的垂直平分线上，
点到的两边距离相等，
点的坐标为
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到点在线段的垂直平分线上，根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形性质，掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据积的乘方，即可解答．
本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，
则，
由题意得，
解得：，，
故答案为：．
根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：这个多边形的边数是：．
故答案为：．
根据多边形的外角和是度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是度是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论，分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】
解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
此时能组成三角形，
周长；
是底边长时，三角形的三边分别为、、，
此时能组成三角形，
所以周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长是或．
故答案为或．  

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：已知，对顶角相等，则添加一组对应边相等即可．
故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
根据三角形全等的判定方法填空．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，
，
故答案为：
根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行分析．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，作或的垂直平分线交于，这样点有一个；

如图，在上作点上右边的点，使，根据对称轴的性质知，所以是等腰三角形；同理，在上作点上左边的点，使，由长方形性质知，所以，根据对称轴的性质知，所以，所以、是等腰三角形，所以这样的点有两个；

如图，在长方形外上作点上右边的点，使，同理，在长方形外上作点上左边的点，使，这样的点有两个，

综上所述，符合条件的点有个．
故答案为：．
利用分类讨论的思想，此题共可找到个符合条件的点：作或的垂直平分线交于；
在长方形内部
在上作点，使，，同理，在上作点，使，；三是如图，在长方形外上作点，使，，同理，在长方形外上作点，使，．
此题主要考查了等腰三角形判定、垂直平分线的性质和轴对称的性质，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，
为等腰直角三角形，
，
正确；
，，
，．
．
在和中，
，
≌．
，．
平分，
，
，
．
在和中，
，
≌．
，
，
．
正确；
，
．
．
正确；
，，
是的平分线，
，
不是的中点，
即，
，
．
不正确．
综上，正确的结论为：．
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质可得是正确的，利用≌可判定的正确；利用≌可得，根据等腰三角形的三线合一可知，显然，由此可得不正确．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形是性质，角平分线的定义，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
即，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】证明：平分，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据角平分线的定义得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

21.【答案】  线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等    等边对等角 

【解析】解：如图，点为所作；

理由如下：
是的垂直平分线
，依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
，依据：等边对等角．
．
故答案为，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；，等边对等角．
作的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形外角性质得到．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

22.【答案】解：平分，
．
，
．
，
．
． 

【解析】根据角平分线的定义，由平分，得根据三角形外角的性质，得，故根据平角的定义，得，那么根据三角形外角的性质，得．
本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求，其中点坐标为．

如图所示，点即为所求，其坐标为． 

【解析】此题主要作图轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质．
分别作出点，，关于轴的对称点，再顺次连接即可得；
由是定值知的周长最小即最小，据此连接，与轴的交点即为所求．
 

24.【答案】证明：延长交于点，如图所示：
，
，
在与中，，
≌，
，
，
，
，
；
，，
，
由得：≌，
，
． 

【解析】由证明≌，即可解决问题；
由等腰直角三角形得出，证明，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
，
． 

【解析】证≌，得出，再证，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
，
，分别平分，．
，
；
是等腰直角三角形，理由如下：
延长交于，

，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形． 

【解析】根据直角三角形的两锐角互余得，根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理即可求解；
延长交于，根据等腰三角形的性质可得，，根据线段垂直平分线的性质得，可得，由得，则，可得，由三角形的内角和定理得，根据周角的定义可得，即可得出结论．
本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

27.【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等． 

【解析】解：理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．
由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答．
此题考查角平分线的性质：熟练掌握角平分线上的任意一点到角的两边距离相等是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】先设，然后用含有的式子表示，，，进而得到，最后利用三角形的外角性质列出方程求得，即可求得的大小．
解：设，则，
由折叠得，，，
是的外角，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
 

29.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
连接，如图所示：
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
根据题意将图形补全，如图所示：
与的数量关系：，证明如下：
连接，
，点在的延长线上，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
．
连接，先证≌，得，，再证≌，得，即可得出结论；
连接，先证和，得，，再证≌，得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．