普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练9三角函数的图象与性质含答案

这是一份普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练9三角函数的图象与性质含答案，共8页。
题组一 三角函数的图象与性质
1．函数f (x)＝2sin x－1的最大值是( )
A．0 B．1
C．2D．3
B 因为－1≤sin x≤1，所以－3≤2sin x－1≤1，即f (x)＝2sin x－1的最大值为1．
2．函数f (x)＝sin x在下列哪个区间内是单调递增的？( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C 由正弦函数f (x)＝sin x的图象可知f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增．
3．设函数f (x)＝cs x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f (x)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C b＝0时，f (x)＝cs x，显然f (x)是偶函数，故“b＝0”是“f (x)是偶函数”的充分条件；f (x)是偶函数，则有f (－x)＝f (x)，即cs(－x)＋bsin(－x)＝cs x＋bsin x，又cs(－x)＝cs x，sin(－x)＝－sin x，所以cs x－bsin x＝cs x＋bsin x，则2bsin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f (x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f (x)是偶函数”的充分必要条件，故选C．
4．函数y＝cs 2x的最小正周期为( )
A．eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
B 由周期函数公式知T＝eq \f(2π,2)＝π．
题组二 正弦型三角函数的图象与性质
5．函数f (x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))(x∈R)的最小正周期是( )
A．eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
D 函数f (x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))(x∈R)的最小正周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π．故选D．
6．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))图象的对称轴可以是( )
A．x＝－eq \f(π,6) B．x＝－eq \f(π,12) C．x＝eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,12)
D 令2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，∴x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．当k＝0时为D选项．故选D．
7．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,12)，2kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)
A 令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z，故选A．
8．函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，则下列关于函数f (x)的说法中正确的是( )
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的最小正周期为2π
C．f (x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,6)对称
D．f (x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))对称
D ∵函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，显然它不是偶函数，故排除A；
由于它的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故排除B；
当x＝－eq \f(π,6)时，函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0，不是最值，故函数的图象关于直线x＝－eq \f(π,6)不对称，f (x)图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))对称，排除C．故选D．
9．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的值域是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
D 由0≤x≤eq \f(π,2)，得eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，
所以eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤1，故选D．
10．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m∈R))的最小值为1．
(1)求m的值；
(2)求函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的最小正周期和单调递增区间．
[解] (1)由已知得－2＋m＝1，解得m＝3．
(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的最小正周期为π．
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，
解得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z．
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的递增区间是
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈Z))．
题组三 利用三角函数的图象确定解析式
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))
B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))
D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
A 由题意可知A＝2，
T＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)))))＝π，
所以ω＝eq \f(2π,T)＝2，
故y＝2sin(2x＋φ)，
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，2))代入上式得－eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
即φ＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z．
又因为0≤φ≤π，
所以φ＝eq \f(2π,3)，故选A．
12．将函数y＝cs 2x＋1的图象向右平移eq \f(π,4)个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )
A．y＝sin 2xB．y＝sin 2x＋2
C．y＝cs 2xD．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
A 将函数y＝cs 2x＋1的图象向右平移eq \f(π,4)个单位得到y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin 2x，故选A．
13．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈R，A>0，ω>0，00)有：振幅A，周期T＝eq \f(2π,ω)．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝Acs(ωx＋φ)，x∈R(A，ω，φ为常数，且A≠0)的周期T＝eq \f(2π,|ω|)；函数y＝Atan(ωx＋φ)，x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z(A，ω，φ为常数，且A≠0)的周期T＝eq \f(π,|ω|)．
3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴与对称中心，只需令ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)与ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解出x即可．余弦函数与正弦函数类比可得．
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三、利用三角函数的图象确定解析式
由图象确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式，
利用图象特征：A＝eq \f(ymax－ymin,2)，B＝eq \f(ymax＋ymin,2)，
ω要根据周期来求，φ要用图象的关键点来求．
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考试要求
1．能作出y＝sin x的图象，并由图象得到其性质；
2．能根据正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式求出其单调区间、周期、最值、对称性等性质；
3．根据正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象能确定A，ω，φ的值．
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最值
当x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，ymax＝1；
当x＝2kπ－eq \f(π,2)，
k∈Z时，ymin＝－1
当x＝2kπ，k∈Z
时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π，
k∈Z时，
ymin＝－1
无
周期性
T＝2π
T＝2π
T＝π
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
上单调递增；
在eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)
上单调递减
在[2kπ－π，2kπ]
(k∈Z)上单调
递增；
在[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)上单调
递减
在eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
上单调递增
对称性
对称轴方程：x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z；
对称中心：(kπ，0)，
k∈Z
对称轴方程：
x＝kπ，k∈Z；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，
k∈Z
无对称轴；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z