普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练13基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积含答案

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题组一 几何体的判断
1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱B．圆锥
C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体
C 当过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别是矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
2．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
D 如图1知，A不正确．如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．
图1 图2
若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误．由母线的概念知，选项D正确．
3．下列说法错误的是( )
A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
C．棱柱的侧面都是平行四边形
D．斜棱柱的侧面可能是矩形
B 选项A、C、D说法都正确．对于选项B，底面是正多边形，但侧棱不与底面垂直时，该棱柱不是正棱柱，所以该命题为假命题．
题组二 直观图
4．下列关于直观图的说法不正确的是( )
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
A 平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错．
5．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6 B．8
C．2＋3eq \r(2) D．2＋3eq \r(3)
B 由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为eq \r(2)，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2eq \r(2)，则原图形中，OA＝BC＝1，AB＝OC＝eq \r(2\r(2)2＋1)＝3，则原图形的周长是2×(1＋3)＝8, 故选B．
6．正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．
eq \f(\r(6),16)a2 画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图△O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．易知D′B′＝eq \f(1,2)DB(D为OA的中点)，∴S△O′A′B′＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)S△OAB＝eq \f(\r(2),4)×eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(6),16)a2．
题组三 空间几何体的侧面积、表面积
7．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A．4π2 B．3π2 C．2π2 D．π2
A 侧面展开图的一边是圆柱高，一边是底面圆的周长，2π×1＝2π．因此，侧面积为2π×2π＝4π2．故选A．
8．一个底面是边长为4的正三角形，高为2的直棱柱的表面积是( )
A．8 B．24 C．4eq \r(3)＋24 D．8eq \r(3)＋24
D 底面积：2×eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)＝8eq \r(3)，
侧面积：3×4×2＝24，
∴表面积：24＋8eq \r(3)．故选D．
9．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．eq \f(3,2) cm
B 由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2 cm．
10．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．eq \f(32,3)π C．8π D．4π
A 设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2．设球的半径为R，则2R＝eq \r(3)a，即R＝eq \r(3)．所以球的表面积S＝4πR2＝12π．
11．(1)一个圆锥的母线长是20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的底面半径是多少？
(2)半径为5的球中，某截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离是多少？
[解] (1)圆锥的轴、母线、底面半径构成了一个直角三角形，
∴r＝20×eq \f(1,2)＝10(cm)．
(2)设小圆的半径为r，则πr2＝16π，
∴r＝4．
又球的半径R，球心到小圆的距离d，小圆半径构成了一个直角三角形，
∴d2＝R2－r2＝25－16＝9．∴d＝3．
题组四 空间几何体的体积
12．若圆锥的底面直径、高都与球的直径相等，则球、圆锥的体积比是( )
A．2∶eq \r(3) B．2∶1 C．4∶1 D．1∶2
B 设球的半径为R，则圆锥底面半径为R，高为2R，
∴V锥＝eq \f(1,3)πR2·2R＝eq \f(2,3)πR3．
而V球＝eq \f(4,3)πR3，∴V球∶V锥＝2∶1．故选B．
13．从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2,3,6，则它的体积为( )
A．6 B．36 C．eq \r(14) D．2eq \r(14)
A 设三个边分别为a，b，h，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝2，,ah＝3，,bh＝6，))三式相乘得a2b2h2＝36．
∴V＝abh＝6．故选A．
14．如果一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq \r(15)，那么这个三棱锥的体积是( )
A．eq \f(9,2) B．9 C．eq \f(27,2) D．eq \f(9\r(3),2)
B 设高为h，则h2＝15－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)×6×\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝3，∴h＝eq \r(3)．∴V＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×36×eq \r(3)＝9，故选B．
15．平面α截球O的球面所得的圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq \r(2)，则此球的体积为( )
A．eq \r(6)π B．4eq \r(3)π C．4eq \r(6)π D．6eq \r(3)π
B 设球O的半径为R，则R2＝(eq \r(2))2＋12＝3，∴R＝eq \r(3)．
∴V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×3eq \r(3)＝4eq \r(3)π．故选B．
16．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq \r(2)π，则圆锥的体积是( )
A．eq \f(64π,3) B．eq \f(128π,3) C．64π D．128eq \r(2)π
A 作圆锥的轴截面，如图所示．由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB．
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h＝r，PB＝eq \r(2)r．
由S侧＝π·r·PB＝16eq \r(2)π，
得eq \r(2)πr2＝16eq \r(2)π．
所以r＝4，则h＝4．
故圆锥的体积V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(64,3)π．
17．一个正三棱锥的底面边长为2，体积为2eq \r(3)，则其高为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
D 底面积＝eq \f(\r(3),4)×4＝eq \r(3)，设高为h，则
eq \f(1,3)×eq \r(3)h＝2eq \r(3)，∴h＝6．故选D．
18．正方体的表面积是24，则它的外接球的体积是( )
A．eq \f(2\r(2),3)π B．4eq \r(3)π C．8π D．12π
B 外接球的直径2R＝正方体的体对角线．
设边长为a，则6a2＝24，∴a＝2．
∴体对角线＝eq \r(a2＋a2＋a2)＝2eq \r(3)．
∴R＝eq \r(3)．
∴V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(eq \r(3))3＝4eq \r(3)π．
故选B．
19．如图，若正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥A­A1BD的体积是________．
eq \f(1,6) Veq \s\d10(A­A1BD)＝Veq \s\d10(A1­ABD)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×1))×1＝eq \f(1,6)．
[核心精要]
一、几何体的判断
1．牢记棱柱、棱锥、棱台的形成过程是判断多面体特征的依据．
2．圆柱、圆锥、圆台、球是旋转体，掌握其轴截面的结构特征．
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二、直观图
1．斜二测画法要求是：横向距离不变，垂直方向线段长度减半后，画成倾斜45°角(或135°角)位置．
2．原图形面积S与斜二测画法图形面积S′间的关系是S′＝eq \f(\r(2),4)S．
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三、空间几何体的侧面积、表面积
1．对于旋转体的侧面积，需熟知它们的侧面展开图．
2．侧面积公式不需死记，要理解后在应用中熟练运用．
3．对于旋转体，要善于抓住轴截面分析，认识问题中的数量关系．
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四、空间几何体的体积
1．体积公式：V柱＝底面积×高；V锥＝eq \f(1,3)×底面积×高．重点就在求底面积和高．
2．对于正棱锥、正棱台，要会由侧棱、底边长等构造直角三角形求得．
3．对于三棱锥要灵活选择底面积．VA­BCD＝VB­ACD＝VC­ABD＝VD­ABC，善于找出易求的底面积与高．
4．对于外接球、内切球位置，要善于找到球心的位置，建立直角三角形求出半径．
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考试要求
1．认识柱、锥、台、球的结构特征；
2．会用斜二测画法画出常见几何体的直观图；
3．了解柱、锥、台、球的表面积与体积计算公式并能运用公式进行正确的计算．