普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练21事件的相互独立性含答案

这是一份普通高中数学学业水平合格性考试考点过关练21事件的相互独立性含答案，共6页。
题组一 相互独立事件的判断
1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥
A 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
2．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件D．非相互独立事件
D 根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B为非相互独立事件．
3．掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥
B 事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)，
即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．
4．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
A 由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A．
题组二 相互独立事件概率的计算
5．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是( )
A．0.64 B．0.56 C．0.81 D．0.99
C Ai表示“第i次做对题”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81．
6．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为( )
A．eq \f(1,20) B．eq \f(15,16) C．eq \f(3,5) D．eq \f(19,20)
C 设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事件A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事件B，则A与B相互独立，P(A)＝eq \f(160,200)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(180,240)＝eq \f(3,4)，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5)．
7．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A．eq \f(5,24) B．eq \f(5,12) C．eq \f(1,24) D．eq \f(3,8)
C 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(9,36)×eq \f(6,36)＝eq \f(1,24)．
8．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
eq \f(1,2) 由题意知P＝eq \f(8,8＋4)×eq \f(6,6＋6)＋eq \f(4,8＋4)×eq \f(6,6＋6)＝eq \f(1,2)．
9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq \f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．
eq \f(3,5) 设此队员每次罚球的命中率为p，
则(1－p)2＋2p(1－p)＝eq \f(16,25)，所以p＝eq \f(3,5)．
10．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是eq \f(1,2)，乙能解决的概率是eq \f(1,3)，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
eq \f(1,3) eq \f(2,3) 甲、乙两人都未能解决的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)．
题组三 复杂事件的概率计算
11．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为eq \f(1,3)，甲胜丙的概率为eq \f(1,4)，乙胜丙的概率为eq \f(1,3)．
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
[解] (1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，
则P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,18)．
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B ∪C，
则P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,2)．
12．计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为eq \f(4,5)，eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，在实际操作考试中“合格”的概率依次为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(5,6)，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
[解] (1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,5)，
P(B)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)，
P(C)＝eq \f(2,3)×eq \f(5,6)＝eq \f(5,9)．
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，
由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则
P(D)＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)
＝eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(4,9)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＝eq \f(11,30)．
[核心精要]
一、相互独立事件的判断
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件A与事件eq \x\t(B)相互独立，事件eq \x\t(A)与事件B相互独立，事件eq \x\t(A)与事件eq \x\t(B)相互独立．
3．判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)利用性质：A与B相互独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
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二、用相互独立事件的乘法公式解题的步骤
(1)用恰当的字母表示题中有关事件．
(2)根据题设条件，分析事件间的关系．
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)．
(4)利用乘法公式计算概率．
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三、求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
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考试要求
1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义；
2．结合古典概型，利用独立性计算概率．