人教B版高中数学必修第二册第5章章末综合提升课件+学案

(教师独具)

类型1　抽样方法及其应用

随机抽样有简单随机抽样和分层抽样两种．其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．分层抽样时都要用到简单随机抽样．

应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题：

(1)利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀．

(2)利用随机数表法时注意编号位数要一致．

(3)在分层抽样中，若在某一层抽到的个体数不是整数，应在该层剔除部分个体，使抽取个体数为整数．

【例1】　(1)利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)

A． B．　　　

C．　　　 D．

(2)假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，使用随机数表中各个5位数组的后3位，选定第7行第5组数开始，取出047作为抽取的代号(从左向右读取数字)，随后抽到的5袋牛奶的号码分别是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)________．

84421　75331　57245　50688　77047　44767　21763

35025　83921　20676　63016　47859　16955　56719

98105　07185　12867　35807　44395　23879　33211

(1)C　(2)025,016,105,185,395　[(1)根据题意，＝，解得n＝28.

故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为＝.

(2)由已知读取号码的初始值为第7行第5组数中的后3位，第一个号码为047.

凡不在000～499中的数跳过去不取，前面已经取过的也跳过去不取，从而随后抽到的5袋牛奶的编号为025,016,105,185,395.]

1．某品牌白酒公司在甲、乙、丙三个地区分别有30个、120个、180个代理商．公司为了调查白酒销售的情况，需从这330个代理商中抽取一个容量为11的样本，记这项调查为①；在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是________．

分层抽样，简单随机抽样　[由于甲、乙、丙三个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层抽样．在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样．]

类型2　数据的数字特征

样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括平均数、众数、中位数；另一类是反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．

【例2】　在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，给出了他们命中的环数如下表：

赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？

[解]　为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示．

规则1：平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．

规则2：平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．

规则3：平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．

以上规则都是以平均环数为第一标准，如果比赛规则是看命中7环以上或10环的次数，那么就不需要先看平均环数了．

2．甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：

(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；

(2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．

[解]　(1)甲＝(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.

s＝[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝199.2，

∴s甲≈14.1．

乙＝(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.

s＝[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.

∴s乙≈9.8.

(2)由(1)得甲＜乙且s甲＞s乙．

∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小；

说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定．

类型3　用标本估计总体

总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等．通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体．

【例3】　从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)

[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；

(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例．

[解]　(1)频率分布表如下．

(2)频率分布直方图和折线图如图所示：

(3)成绩在[60,90)分的学生比例约为

0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.

3．为了了解某校高一学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)

A．64 B．54　　　

C．48　　　 D．27

B　[[4.7,4.8)之间频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－(0.62＋0.05＋0.11)＝1－0.78＝0.22，

∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54.]

类型4　互斥事件与对立事件的概率求法

互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．运用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，如果彼此互斥，分别求出各事件发生的概率，再求和．

求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式P(A)＝1－P()求解．

【例4】　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．

(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

[思路探究]　用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．

[解]　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.

“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；

“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．

总的事件数为20.

(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，

故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.

(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.

4．甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198，恰有2人过关(事件B)的概率为0.38，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求：

(1)至少有2人过关的概率P1；

(2)至多有3人过关的概率P2.

[解]　由条件知，事件A、B、C、D彼此互斥．

(1)P1＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766.

(2)P2＝P()＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916.

类型5　古典概型

古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．

【例5】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次．

(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

[思路探究]　(1)“不放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少．

(2)“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．

[解]　(1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．因为A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝＝.

(2)有放回地连续取出两件产品，则所有的基本事件共有9个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．

因为B中的基本事件的个数为4，所以P(B)＝.

5．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)

A．　 B．　　　　

C．　　　　 D．

D　[∵当b＝1时，没有满足条件的a值；

当b＝2时，a＝1；

当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．

而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，

∴b>a的概率为＝.]

(教师独具)

1．(2020·全国卷Ⅲ)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为(　　)

A．0.01 B．0.1 

C．1 D．10

C　[由方差计算公式：x1，x2，…，xn的方差为s2，所以s2＝0.01，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2，则所求为100s2＝1．]

2．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)

A． B． 

C． D．

A　[根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为＝，故选A．]

3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)

A．62% B．56% 

C．46% D．42%

C　[不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.选C．]

4．(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为(　　)

A．10 B．18　　　

C．20　　　 D．36

B　[由题知[5.43,5.45)与[5.45,5.47)所对应的小矩形的高分别为6.25,5.00，所以[5.43,5.47)的频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，所以直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为80×0.225＝18，故选B．]

5．(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4，则a的值是________．

2　[由＝4可知a＝2.]

6．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．

　　[依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.]