人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件集体备课ppt课件

第2课时　充要条件

知识点　充要条件

1．充要条件的概念

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

2．充要条件的判断

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(1)如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件．

(2)如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．

(3)如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]　(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

充要条件的传递性

若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件．

  (　　)

(2)设x∈R，则x＞1是x3＞1的充要条件． (　　)

(3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的充要条件是x≥3. (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　)

A．x>1　　　　　　　　 B．x<1

C．x>3 D．x<3

A　[∵x>2⇒x>1，但x>1x>2，∴选A．]

3.已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________．

0≤a≤2　[A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.]

类型1　充要条件的判断

【例1】　(对接教材P34例3)下列各题中，p是q的什么条件？(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(3)p：x>5，q：x>10；

(4)p：a>b，q：a2>b2.

[解]　命题(1)中，p⇒q，但qp，故p是q的充分不必要条件；

命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；

命题(3)中，pq，但q⇒p，故p是q的必要不充分条件；

命题(4)中，pq，且qp，故p既不是q的充分条件也不是必要条件．

充要条件判断2种方法

(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．

1．在下列四个结论中，正确的有(　　)

①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；

②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；

③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；

④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．

A．①②　　　B．③④　　　C．①④　　　D．②③

C　[对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但x>1 x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确．]

类型2　充分条件、必要条件、充要条件的应用

1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？

[提示]　若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA．

2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？

[提示]　若M⊆N，则p是q的充分条件；若N⊆M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．

【例2】　已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[思路点拨]　→→

[9，＋∞)　[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

所以或解得m≥9.

所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．]

利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围

(1)化简p，q两命题．

(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系．

(3)利用集合间的关系建立不等式(组)．

(4)求解参数范围．

2．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．

[解]　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.

所以解得－1≤a≤5，

即a的取值范围是[－1,5]．

类型3　有关充要条件的证明或求解

【例3】　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，注意证明方向不要反了易错点.

1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的(　　)

A．充要条件　　 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A　[当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0, 解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的充要条件. ]

2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是 “a＋b＞0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得 a＋b＞0；由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]

3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[根据题意得，AB，B⇒A，B⇔C，D⇒C，CD，

所以D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，

可从集合的角度考虑得出AD，所以A是D的必要不充分条件．]

4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．

0＜x＜1　[由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1．]

5．若“x＞a”是“x＞6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．

(－∞，6]　[由“x＞a”是“x＞6”的必要条件，知a≤6，故实数a的取值范围为(－∞，6]．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何从命题角度判断p是q的充分必要条件？

[提示]　(1)原理：

判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．

(2)方法：

①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；

③若二者都成立，则p与q互为充要条件．

2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件？

[提示]　

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．