人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用评课课件ppt

第2课时　均值不等式的应用

知识点　重要结论

已知x，y都是正数．

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.

上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．

  (　　)

(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4. (　　)

(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.  (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

[提示]　(1)由a＋b≥2可知正确．

(2)由ab≤＝4可知正确．

(3)不是常数，故错误．

2.已知a，b∈R，则“ab＞0”是“＋＞2”的(　　)

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B　[ab＞0时，＞0，＞0，∴＋≥2，当且仅当a＝b时取等号，故充分性不成立．反之，∵＋＞2，

∴－2＞0，∴＞0，∴ab＞0，∴“ab＞0”是“＋＞2”的必要不充分条件．]

3.设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．

100　[∵x，y∈N*，

∴20＝x＋y≥2，

∴xy≤100.]

类型1　利用均值不等式求最值

　直接利用均值不等式求最值

【例1】　(1)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80 B．77

C．81 D．82

(2)当x＞1时，的最小值为________．

(1)C　(2)8　[(1)因为x＞0，y＞0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81．

(2)令t＝＝＝(x－1)＋＋2，因为x－1＞0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.]

利用均值不等式求最值时要注意

(1)x，y一定要都是正数．

(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号是否能够成立．

1．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)

A．2 B．2

C．4 D．5

C　[因为a＞0，b＞0，所以＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当

即a＝b＝1时，等号成立．]

2．已知a＞0，b＞0，ab＝4，m＝b＋，n＝a＋，求m＋n的最小值．

[解]　因为m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝b＋＋a＋.

由ab＝4，那么b＝，

所以b＋＋a＋＝＋＋a＋＝＋≥2＝5，当且仅当＝，即a＝2时取等号．

所以m＋n的最小值是5.

　间接利用均值不等式求最值

【例2】　(1)已知x＜0，则3x＋的最大值为________．

(2)已知x＞2，求x＋的最小值．

(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．

[思路点拨]　(1)变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值．(2)(3)先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值．

(1)－12　[因为x＜0，所以－x＞0.

则3x＋＝－≤－2＝－12，

当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12.]

(2)[解]　因为x＞2，所以x－2＞0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，

所以当且仅当x－2＝(x＞2)，

即x＝3时，x＋的最小值为4.

(3)[解]　因为0＜x＜，所以1－2x＞0，

所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝，

所以当且仅当2x＝1－2x，

即x＝时，x(1－2x)的最大值为.

通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．

(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．

类型2　利用均值不等式求条件最值

【例3】　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1．求x＋2y的最小值．

[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋

≥10＋2＝18，

当且仅当即时，等号成立，

故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.

常数代换法求最值的方法步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．

(2)把确定的定值(常数)变形为1．

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．

(4)利用均值不等式求最值．

3．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．

[解]　法一：＋＝·1

＝·(a＋2b)

＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2

＝3＋2，

当且仅当即时等号成立．

∴＋的最小值为3＋2.

法二：＋＝＋＝1＋＋＋2

＝3＋＋≥3＋2，

当且仅当即时等号成立，

∴＋的最小值为3＋2.

类型3　利用均值不等式解决实际问题

【例4】　(对接教材P74例3)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

[解]　设每间虎笼长x m，宽y m，

则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.

设每间虎笼面积为S，则S＝xy.

法一：由于2x＋3y≥2＝2，

所以2≤18，得xy≤，

即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．

由解得

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．

法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.

∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)．

∵0<y<6，∴6－y>0.

∴S≤＝.

当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.

故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．

用均值不等式解决实际问题的步骤

(1)理解题意，设好变量．

(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题．

(3)在自变量范围内，求出最大值或最小值．

(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．

4．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

[解]　设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.

∴每平方米的平均综合费用

y＝560＋48x＋＝560＋48.

当x＋取最小值时，y有最小值．

∵x>0，∴x＋≥2＝30.

当且仅当x＝，

即x＝15时，上式等号成立．

∴当x＝15时，y有最小值2 000元．

因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.

1．若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)

A．1　 B．2　　　　

C．2　　　　 D．4

A　[由均值不等式得，ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时取到等号．]

2．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　)

A． B．

C． D．

A　[∵0<x<1，∴1－x>0，

则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，

当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]

3．(多选题)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋(　　)

A．取得最值时a＝ B．最大值是5

C．取得最值时b＝ D．最小值是

AD　[因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立．]

4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．

x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为

A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，

则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．

∴1＋x＝≤＝1＋，

∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]

5．已知a＞1，当a＝________时，代数式a＋有最小值．

1＋　[∵a＞1，∴a－1＞0，＞0，

∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1

＝2＋1，

当且仅当a－1＝时，等号成立．

即a＝1＋或a＝1－(舍)时，代数式a＋有最小值．

∴a＝1＋.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：,利用均值不等式求最值有哪些技巧？

[提示]　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.

1拆——裂项拆项,对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定积创造条件.,

2并——分组并项,目的是分组后各组可以单独应用均值不等式；或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值.

3配——配式配系数,有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.

均值不等式的常见变形与拓展

1．均值不等式的变形

由公式a2＋b2≥2ab和≥可得出以下变形不等式：

(1)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时等号成立，＋≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时等号成立．

特别地，a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时等号成立；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时等号成立．

(2)(a＋b)≥4(ab＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．

(3)≤≤≤(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立．其中＝为a，b的调和平均值，为a，b的平方平均值．此不等式链又常以ab≤≤(a，b∈R)的形式出现．

灵活运用上述变形不等式解决问题的关键在于要有这种“变形”的思想和意识，而不是死记这些变形不等式．事实上，均值不等式的变形不等式还不止上述这几种情况，上面的变形不等式只不过给我们提供了变形的思路、方法和技巧，例如，还可以变形为(a＋b)2≥4ab，＋b≥2a(b＞0)等．

上述(3)的几何意义如图所示．

其中，对CF＝，DE＝的证明如下：

在Rt△OCF中，OC＝－b，OF＝，∴CF2＝OC2＋OF2＝＋＝，∴CF＝.

∵△CDE∽△ODC，∴DC2＝DE·OD，

即DE＝＝＝.

2．均值不等式的拓展

(1)三元均值不等式

⇒当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

证明：设d为正数，由二元基本不等式，

得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．

令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，

由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

(2)n元均值不等式

≥(a1，a2，…，an＞0)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

已知a，b，c均为正实数，求证：(a＋b＋c)·≥9.

[证明]　∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0，

∴(a＋b＋c)·≥3·

3＝9.