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初中数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差同步达标检测题
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这是一份初中数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差同步达标检测题，文件包含专题225相似三角形的应用解析版docx、专题225相似三角形的应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题22.5相似三角形的应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•中山区期末）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度是（ ）
A．36m B．54m C．96m D．150m
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解析】设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴1.83=h90，
解得：h＝54（m）．
故选：B．
2．（2020秋•梁溪区期中）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．
【解析】如图所示，∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
设屏幕上的图形高是xcm，则3090=7x，
解得：x＝21．
答：屏幕上图形的高度为21cm，
故选：A．
3．（2021春•阜南县月考）如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC=43m，BN=53m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（ ）
A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m
【分析】由于光线是平行的，因此BN∥AM，可得△BCN∽△ACM，根据三角形相似的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出MA．
【解析】∵BN∥AM，
∴△BCN∽△ACM，
∴NBMA=BCAC，
∵BC＝1m，BN=53m，AC＝4.5m，
∴53MA=14.5，
∴MA＝7.5（m）．
故选：B．
4．（2021•东阿县三模）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB，根据相似三角形的性质得1.5AB=1BC+1，同理可得1.5AB=2BC+3+2，然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．
【解析】∵MC∥AB，
∴△DCM∽△DAB，
∴DCDB=MCAB，即1.5AB=1BC+1①，
∵NE∥AB，
∴△FNE∽△FAB，
∴NEAB=EFBF，即1.5AB=2BC+3+2②，
∴1BC+1=2BC+3+2，解得BC＝3，
∴1.5AB=13+1，解得AB＝6，
即路灯A的高度AB为6m．
故选：B．
5．（2020秋•昆都仑区期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（ ）
A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长，进而求出AG的长．
【解析】由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故BCBD=FCDE，
即BCBC+4=1.53.5，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴AGAB=FCBC，
∴AG2.4=1.53，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
6．（2021春•迁安市期末）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解析】如图：∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，
∴CDAB=OCOA，
∵OC＝8cm，OA＝4cm，CD＝6cm，
∴6AB=84，
∴AB＝3（cm），
故选：B．
7．（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．36
【分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解析】∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴EFBC=AKAD，
∴x60=40-x40，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
8．（2020•新都区模拟）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ ）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米
C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【解析】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴ADOP=MAMO，BCOP=BNON，
则xx+20=1.68，
∴x＝5；
yy+20-14=1.68，
∴y＝1.5，
∴x﹣y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选：D．
9．（2021•深圳模拟）龙翔大道旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天质彬突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【分析】作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，即可求出GM、BN、MN．利用△GMN与△ABN的对应边成比例即可求解．
【解析】作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，如图：
∵G是HF中点，HF＝4m．
∴CM＝MD＝GF＝2m．
∵BC＝5m，HC＝3m，DE＝4m．
∴GM＝3m．
根据平行投影性质可得：MN＝DE＝4m、BN＝BC+CM+MN＝11m．
∵GM∥AB．
∴GMAB=MNBN，即：3AB=411．
∴AB＝8.25m．
故选：C．
10．（2020秋•温州期末）如图，是一块矩形场地ABCD，宽AB＝8米，长BC＝12米．若在其对角线AC，BD的延长线上取点E，F，G，H，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，则x的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】由题意得，AD∥EH，AB∥EF，
∴△AOD∽△EOH，△AOB∽△EOF，
∴ADEH=OAOE，OAOE=ABEF，
∴ADEH=ABEF，
∵左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，AB＝8米，BC＝12米．
∴EH＝12+2×0.6＝13.2，EF＝8+2x，
∴1213.2=88+2x，
解得：x＝0.4，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•深圳模拟）如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝6米，则旗杆AB的高为 6 米．
【分析】由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
【解析】∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴CDAB=ODOB，即2AB=33+6，
∴AB＝6（米）．
故答案为：6．
12．（2020秋•三水区校级期中）墙壁D处有一盏灯（如图），一篮球运动员小明站在A处测得他的影长与身长相等都为2m，小明向墙壁走1m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝ 4m ．
【分析】利用已知条件易证△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，设BC＝xm，CD＝ym，则CE＝（x+3）m，AC＝（x+1）m，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．
【解析】如图：
根据题意得：BG＝AF＝AE＝2m，AB＝1m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC＝AF：CD，AB：AC＝BG：CD，
设BC＝xm，CD＝ym，则CE＝（x+3）m，AC＝（x+1）m，
2x+3=2y，11+x=2y，
解得：y＝4，
所以CD＝4m，
故答案为：4m．
13．（2020秋•青羊区期末）小明的身高为1.7米，某一时刻小时的影长为1米，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为7米，则这棵树的高为 11.9 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解析】设这棵树的高度为xm，
据相同时刻的物高与影长成比例，
则可列比例为1.71=x7，
解得，x＝11.9．
故答案为：11.9．
14．（2020秋•会宁县期末）张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是 1.9 米．
【分析】设李四的影长是x米，利用同一时刻影长与物体的高度成正比得到x1.8-9=2.01.8，然后解方程即可．
【解析】设李四的影长是x米，
根据题意得x1.8-9=2.01.8，
解得x＝1.9．
答：李四的影长是1.9米，
故答案为：1.9．
15．（2021•深圳模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 5 m．
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴310=1.5DC，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
16．（2020秋•安丘市期末）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出图形如图所示，其中，AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D．点C在D上，有四位同学分别测量出以下四组数据．能根据所测数据求出A，B间距离的有 A、B、D .（多选）
A．BC，∠ACB
B．CD，∠ACB，∠ADB
C．DE，DC，BC
D．EF，DE，BD
【分析】A、B根据解直角三角形的应用即可求得结果；C、仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一边；D、利用相似三角形的性质即可求得结果．
【解析】A、∵已知BC，∠ACB，
∴AB＝BC•tan∠ACB，
故本选项正确；
B、∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴CB=ABtan∠ACB，DB=ABtan∠ADB，
∴DB﹣CB＝CD，
即ABtan∠ADB-ABtan∠ACB=CD，
解出AB即可，
故本选项正确；
C、仅知道DE，DC，BC无法求出AB；
D、由于已知EF、DE、BD，
根据△FED∽△ABD即可求出AB的长，
故本选项正确；
故答案为A、B、D．
17．（2021•双流区模拟）平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA＝10cm，AA'＝15cm，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 25 ．
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解析】如图，∵OA＝10cm，AA′＝15cm，
∴OA′＝25cm，
∴ABA'B'=OAOA'=1025=25，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=ABA'B'=25，
故答案为：25．
18．（2020•文成县二模）文成县珊溪水库素有“温州大水缸”之称，现计划在水库堤坝内侧坡面上建一个水质监测站，监测站平面结构呈等腰三角形（如图△ABC，AB＝AC，底边BC所在直线平行于水平线），且一腰（AC）垂直于坡面直线GC（如图所示），中柱AE过底边BC中点D立于坡面直线GC上点E处，AB及其延长线交坡面直线GC于F，AF为一根支撑柱，另外过AE的中点M和点B做一条自动取样传送带，直达坡面直线上点G处（方便取到不同深度的水样，点M、B、G在一条直线上），测得DE＝1米，DC＝2米，则GF＝ 1053 米（结果保留根号）．
【分析】由CD是直角△ACE斜边上的高，可得EDDC=DCAD，求出AD＝4，则AE＝5，MD＝1.5．延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，得出△GHB∽△MDB，根据相似三角形对应边成比例得到GHHB=MDBD=1.52=34，则可设GH＝3a，则BH＝4a．证明△CHG∽△CDE，得出GHHC=DEDC=12，求出a＝2，在Rt△GHC中，利用勾股定理求出GC=GH2+HC2=65．连接BE．根据直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质得出∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，计算tan∠BAC＝tan∠BMD=21.5=43，解Rt△ACF，求出CF＝AC•tan∠BAC＝25×43=853，根据GF＝GC﹣CF即可得出结论．
【解析】∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AE⊥BC，
又∵AC⊥EC，
∴EDDC=DCAD，即12=2AD，
∴AD＝4，AE＝AD+DE＝4+1＝5，
∵M为AE中点，
∴ME=12AE＝2.5，MD＝ME﹣DE＝1.5．
如图，延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，则△GHB∽△MDB，
∴GHHB=MDBD=1.52=34，
设GH＝3a，则BH＝4a．
∵GH∥DE，
∴△CHG∽△CDE，
∴GHHC=DEDC=12，即3a4a+4=12，
解得a＝2，
∴GH＝6，BH＝8，HC＝12，
在Rt△GHC中，由勾股定理得GC=GH2+HC2=62+122=65．
连接BE．
∵点M为Rt△ABE斜边的中点，
∴∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，
∴tan∠BAC＝tan∠BMD=21.5=43，
在Rt△ACF中，AC＝25，
∴CF＝AC•tan∠BAC＝25×43=853，
∴GF＝GC﹣CF＝65-853=1053．
故答案为：1053．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•肇源县期末）新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2m，两棵树苗之间的距离CD为16m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1m，树苗DF的影长DH为3m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
【分析】设BC的长度为xm，则BD＝16﹣x，证明△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA，利用相似比得到11+x=2AB和33+(16-x)=2AB，从而得到11+x=33+(16-x)，解得x＝4，然后计算AB的长．
【解析】设BC的长度为xm，由题意可知CE∥AB∥DF，如图，
∵CE∥AB，DF∥AB，
∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA
∴GCGB=CEAB，即11+x=2AB；HDHB=FDAB，即33+(16-x)=2AB
∴11+x=33+(16-x)，解得x＝4，
∴11+4=2AB，解得AB＝10．
答：路灯AB的高度为10m．
20．（2020秋•江都区期末）如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
【分析】首先构造直角三角形，得出四边形EFCG是矩形，再利用△AEH∽△DEG，求出EH的长即可．
【解析】如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，
根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，
∴AH＝20m，DG＝30m，
由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，
∴EHEG=AHDG，
即∴EHEH+30=2030．
∴EH＝60．
答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．
21．（2019秋•平顶山期末）如图，在阳光下的电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，同一时刻，竖起一根1米高的竹竿MN，其影长MF为1.5米，求电线杆的高度．
【分析】作CG⊥AB于G，可得矩形BDCG，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AG的长度，加上GB的长度即为电线杆AB的高度．
【解析】过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴NMAG=MFGC，
∴AG=NM⋅GCMF=1×31.5=2，
∴AB＝AG+GB＝2+2＝4（米），
答：电线杆子的高为4米．
22．（2020秋•姜堰区期末）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．
（1）求灯杆AB的长；
（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【分析】（1）根据题意得出AB∥CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
（2）根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
【解答】（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），
∴△EAB∽△ECD，
∴ABCD=BEDE，
即AB1.2=51，
解得：AB＝6（米）；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），
∴△HGF∽△HBA，
∴ABFG=BHGH，
即61.2=8+GHGH，
解得：GH＝2（米）；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
23．（2018秋•秀屿区校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据正方形的性质PQ∥BC，根据相似三角形的性质得到比例关系式，代入数据求解即可；
（2）设PQ＝x根据比例式得到PN＝80-23x，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）设边长为xmm，
∵矩形为正方形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PQ，
∴PQBC=AHAD，
∴PQ120=80-PQ80，
解得PQ＝48；
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm；
（2）设PQ＝x
∵PQBC=AHAD，
∴x120=80-PN80，
∴PN＝80-23x，
∴S四边形PQMN＝x（80-23x）=-23x2+80x=-23（x﹣60）2+2400，
当PQ＝60时，S四边形PQMN的最大值＝2400mm2．
24．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ABED=BCDC，进而得出AB的长．
【解析】设AB为xm，BC为ym，
根据题意知，△ABC∽△DEC，有xy=1.62.4①．
△ABD∽△GFD，有xy+2.4=1.62.52②．
联立①②，得x＝32．
答：建筑物AB的高度为32m．
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题22.5相似三角形的应用
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•中山区期末）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度是（ ）
A．36m B．54m C．96m D．150m
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解析】设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴1.83=h90，
解得：h＝54（m）．
故选：B．
2．（2020秋•梁溪区期中）如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．
【解析】如图所示，∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AEAC=DEBC，
设屏幕上的图形高是xcm，则3090=7x，
解得：x＝21．
答：屏幕上图形的高度为21cm，
故选：A．
3．（2021春•阜南县月考）如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC=43m，BN=53m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（ ）
A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m
【分析】由于光线是平行的，因此BN∥AM，可得△BCN∽△ACM，根据三角形相似的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出MA．
【解析】∵BN∥AM，
∴△BCN∽△ACM，
∴NBMA=BCAC，
∵BC＝1m，BN=53m，AC＝4.5m，
∴53MA=14.5，
∴MA＝7.5（m）．
故选：B．
4．（2021•东阿县三模）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB，根据相似三角形的性质得1.5AB=1BC+1，同理可得1.5AB=2BC+3+2，然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．
【解析】∵MC∥AB，
∴△DCM∽△DAB，
∴DCDB=MCAB，即1.5AB=1BC+1①，
∵NE∥AB，
∴△FNE∽△FAB，
∴NEAB=EFBF，即1.5AB=2BC+3+2②，
∴1BC+1=2BC+3+2，解得BC＝3，
∴1.5AB=13+1，解得AB＝6，
即路灯A的高度AB为6m．
故选：B．
5．（2020秋•昆都仑区期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（ ）
A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长，进而求出AG的长．
【解析】由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故BCBD=FCDE，
即BCBC+4=1.53.5，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴AGAB=FCBC，
∴AG2.4=1.53，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
6．（2021春•迁安市期末）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解析】如图：∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，
∴CDAB=OCOA，
∵OC＝8cm，OA＝4cm，CD＝6cm，
∴6AB=84，
∴AB＝3（cm），
故选：B．
7．（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC，其中边BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．16 B．24 C．30 D．36
【分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xcm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解析】∵四边形EGHF为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x cm，则KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，
∵AD⊥BC，
∴EFBC=AKAD，
∴x60=40-x40，
解得：x＝24．
即：正方形零件的边长为24cm．
故选：B．
8．（2020•新都区模拟）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ ）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米
C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【解析】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴ADOP=MAMO，BCOP=BNON，
则xx+20=1.68，
∴x＝5；
yy+20-14=1.68，
∴y＝1.5，
∴x﹣y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选：D．
9．（2021•深圳模拟）龙翔大道旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天质彬突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【分析】作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，即可求出GM、BN、MN．利用△GMN与△ABN的对应边成比例即可求解．
【解析】作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，如图：
∵G是HF中点，HF＝4m．
∴CM＝MD＝GF＝2m．
∵BC＝5m，HC＝3m，DE＝4m．
∴GM＝3m．
根据平行投影性质可得：MN＝DE＝4m、BN＝BC+CM+MN＝11m．
∵GM∥AB．
∴GMAB=MNBN，即：3AB=411．
∴AB＝8.25m．
故选：C．
10．（2020秋•温州期末）如图，是一块矩形场地ABCD，宽AB＝8米，长BC＝12米．若在其对角线AC，BD的延长线上取点E，F，G，H，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，则x的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】由题意得，AD∥EH，AB∥EF，
∴△AOD∽△EOH，△AOB∽△EOF，
∴ADEH=OAOE，OAOE=ABEF，
∴ADEH=ABEF，
∵左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，AB＝8米，BC＝12米．
∴EH＝12+2×0.6＝13.2，EF＝8+2x，
∴1213.2=88+2x，
解得：x＝0.4，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•深圳模拟）如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝6米，则旗杆AB的高为 6 米．
【分析】由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
【解析】∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴CDAB=ODOB，即2AB=33+6，
∴AB＝6（米）．
故答案为：6．
12．（2020秋•三水区校级期中）墙壁D处有一盏灯（如图），一篮球运动员小明站在A处测得他的影长与身长相等都为2m，小明向墙壁走1m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝ 4m ．
【分析】利用已知条件易证△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，设BC＝xm，CD＝ym，则CE＝（x+3）m，AC＝（x+1）m，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．
【解析】如图：
根据题意得：BG＝AF＝AE＝2m，AB＝1m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC＝AF：CD，AB：AC＝BG：CD，
设BC＝xm，CD＝ym，则CE＝（x+3）m，AC＝（x+1）m，
2x+3=2y，11+x=2y，
解得：y＝4，
所以CD＝4m，
故答案为：4m．
13．（2020秋•青羊区期末）小明的身高为1.7米，某一时刻小时的影长为1米，同一时刻测得小明身旁一棵树的影长为7米，则这棵树的高为 11.9 米．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解析】设这棵树的高度为xm，
据相同时刻的物高与影长成比例，
则可列比例为1.71=x7，
解得，x＝11.9．
故答案为：11.9．
14．（2020秋•会宁县期末）张三和李四并排站立在阳光下，张三身高1.80米，他的影长2.0米，李四比张三矮9厘米，此时李四的影长是 1.9 米．
【分析】设李四的影长是x米，利用同一时刻影长与物体的高度成正比得到x1.8-9=2.01.8，然后解方程即可．
【解析】设李四的影长是x米，
根据题意得x1.8-9=2.01.8，
解得x＝1.9．
答：李四的影长是1.9米，
故答案为：1.9．
15．（2021•深圳模拟）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是 5 m．
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴310=1.5DC，
解得，DC＝5，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
16．（2020秋•安丘市期末）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出图形如图所示，其中，AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D．点C在D上，有四位同学分别测量出以下四组数据．能根据所测数据求出A，B间距离的有 A、B、D .（多选）
A．BC，∠ACB
B．CD，∠ACB，∠ADB
C．DE，DC，BC
D．EF，DE，BD
【分析】A、B根据解直角三角形的应用即可求得结果；C、仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一边；D、利用相似三角形的性质即可求得结果．
【解析】A、∵已知BC，∠ACB，
∴AB＝BC•tan∠ACB，
故本选项正确；
B、∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴CB=ABtan∠ACB，DB=ABtan∠ADB，
∴DB﹣CB＝CD，
即ABtan∠ADB-ABtan∠ACB=CD，
解出AB即可，
故本选项正确；
C、仅知道DE，DC，BC无法求出AB；
D、由于已知EF、DE、BD，
根据△FED∽△ABD即可求出AB的长，
故本选项正确；
故答案为A、B、D．
17．（2021•双流区模拟）平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA＝10cm，AA'＝15cm，则三角尺与它在墙上影子的周长比是 25 ．
【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解析】如图，∵OA＝10cm，AA′＝15cm，
∴OA′＝25cm，
∴ABA'B'=OAOA'=1025=25，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=ABA'B'=25，
故答案为：25．
18．（2020•文成县二模）文成县珊溪水库素有“温州大水缸”之称，现计划在水库堤坝内侧坡面上建一个水质监测站，监测站平面结构呈等腰三角形（如图△ABC，AB＝AC，底边BC所在直线平行于水平线），且一腰（AC）垂直于坡面直线GC（如图所示），中柱AE过底边BC中点D立于坡面直线GC上点E处，AB及其延长线交坡面直线GC于F，AF为一根支撑柱，另外过AE的中点M和点B做一条自动取样传送带，直达坡面直线上点G处（方便取到不同深度的水样，点M、B、G在一条直线上），测得DE＝1米，DC＝2米，则GF＝ 1053 米（结果保留根号）．
【分析】由CD是直角△ACE斜边上的高，可得EDDC=DCAD，求出AD＝4，则AE＝5，MD＝1.5．延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，得出△GHB∽△MDB，根据相似三角形对应边成比例得到GHHB=MDBD=1.52=34，则可设GH＝3a，则BH＝4a．证明△CHG∽△CDE，得出GHHC=DEDC=12，求出a＝2，在Rt△GHC中，利用勾股定理求出GC=GH2+HC2=65．连接BE．根据直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质得出∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，计算tan∠BAC＝tan∠BMD=21.5=43，解Rt△ACF，求出CF＝AC•tan∠BAC＝25×43=853，根据GF＝GC﹣CF即可得出结论．
【解析】∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AE⊥BC，
又∵AC⊥EC，
∴EDDC=DCAD，即12=2AD，
∴AD＝4，AE＝AD+DE＝4+1＝5，
∵M为AE中点，
∴ME=12AE＝2.5，MD＝ME﹣DE＝1.5．
如图，延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，则△GHB∽△MDB，
∴GHHB=MDBD=1.52=34，
设GH＝3a，则BH＝4a．
∵GH∥DE，
∴△CHG∽△CDE，
∴GHHC=DEDC=12，即3a4a+4=12，
解得a＝2，
∴GH＝6，BH＝8，HC＝12，
在Rt△GHC中，由勾股定理得GC=GH2+HC2=62+122=65．
连接BE．
∵点M为Rt△ABE斜边的中点，
∴∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，
∴tan∠BAC＝tan∠BMD=21.5=43，
在Rt△ACF中，AC＝25，
∴CF＝AC•tan∠BAC＝25×43=853，
∴GF＝GC﹣CF＝65-853=1053．
故答案为：1053．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•肇源县期末）新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2m，两棵树苗之间的距离CD为16m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1m，树苗DF的影长DH为3m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．
【分析】设BC的长度为xm，则BD＝16﹣x，证明△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA，利用相似比得到11+x=2AB和33+(16-x)=2AB，从而得到11+x=33+(16-x)，解得x＝4，然后计算AB的长．
【解析】设BC的长度为xm，由题意可知CE∥AB∥DF，如图，
∵CE∥AB，DF∥AB，
∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA
∴GCGB=CEAB，即11+x=2AB；HDHB=FDAB，即33+(16-x)=2AB
∴11+x=33+(16-x)，解得x＝4，
∴11+4=2AB，解得AB＝10．
答：路灯AB的高度为10m．
20．（2020秋•江都区期末）如图，某同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（DC），可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部D恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？
【分析】首先构造直角三角形，得出四边形EFCG是矩形，再利用△AEH∽△DEG，求出EH的长即可．
【解析】如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，
根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，
∴AH＝20m，DG＝30m，
由AH∥DG得：△AEH∽△DEG，
∴EHEG=AHDG，
即∴EHEH+30=2030．
∴EH＝60．
答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．
21．（2019秋•平顶山期末）如图，在阳光下的电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，同一时刻，竖起一根1米高的竹竿MN，其影长MF为1.5米，求电线杆的高度．
【分析】作CG⊥AB于G，可得矩形BDCG，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AG的长度，加上GB的长度即为电线杆AB的高度．
【解析】过C点作CG⊥AB于点G，
∴GC＝BD＝3米，GB＝CD＝2米．
∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，
∴∠NFM＝∠ACG，
∴△NMF∽△AGC，
∴NMAG=MFGC，
∴AG=NM⋅GCMF=1×31.5=2，
∴AB＝AG+GB＝2+2＝4（米），
答：电线杆子的高为4米．
22．（2020秋•姜堰区期末）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．
（1）求灯杆AB的长；
（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【分析】（1）根据题意得出AB∥CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
（2）根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
【解答】（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），
∴△EAB∽△ECD，
∴ABCD=BEDE，
即AB1.2=51，
解得：AB＝6（米）；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），
∴△HGF∽△HBA，
∴ABFG=BHGH，
即61.2=8+GHGH，
解得：GH＝2（米）；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
23．（2018秋•秀屿区校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据正方形的性质PQ∥BC，根据相似三角形的性质得到比例关系式，代入数据求解即可；
（2）设PQ＝x根据比例式得到PN＝80-23x，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）设边长为xmm，
∵矩形为正方形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PQ，
∴PQBC=AHAD，
∴PQ120=80-PQ80，
解得PQ＝48；
答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm；
（2）设PQ＝x
∵PQBC=AHAD，
∴x120=80-PN80，
∴PN＝80-23x，
∴S四边形PQMN＝x（80-23x）=-23x2+80x=-23（x﹣60）2+2400，
当PQ＝60时，S四边形PQMN的最大值＝2400mm2．
24．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ABED=BCDC，进而得出AB的长．
【解析】设AB为xm，BC为ym，
根据题意知，△ABC∽△DEC，有xy=1.62.4①．
△ABD∽△GFD，有xy+2.4=1.62.52②．
联立①②，得x＝32．
答：建筑物AB的高度为32m．
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