初中沪科版23.2解直角三角形及其应用练习题

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】

专题23.2特殊角的三角函数值

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•南开区一模）2cos60°的值等于（　　）

A． B．1 C． D．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．

【解析】2cos60°＝21．

故选：B．

2．（2021•河东区二模）cos30°的值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．

【解析】cos30°．

故选：C．

3．（2020秋•茌平区期末）在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA）2＝0，则△ABC是（　　）

A．等边三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

【分析】根据非负数的性质求出tanB和sinA的值，即可求出∠B和∠A的度数，然后求出∠C的度数，判断△ABC的形状．

【解析】由题意得，tan2B﹣3＝0，2sinA0，

即tanB，sinA，

∠B＝60°，∠A＝60°，

则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．

故△ABC为等边三角形．

故选：A．

4．（2018•西湖区校级二模）在△ABC中，若||2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）

A．105° B．90° C．75° D．120°

【分析】直接利用绝对值性质以及特殊角的三角函数值分别得出∠A＝45°，∠B＝30°，进而得出答案．

【解析】∵|sinA|+|cosB|2＝0，

∴sinA，cosB，

∴∠A＝45°，∠B＝30°，

∴∠C的度数是：180°﹣45°﹣30°＝105°．

故选：A．

5．（2020秋•白银期末）在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠C＝90°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．60°

【分析】首先作出图形，可得cosA，继而可求得∠A的度数．

【解析】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，

∴cosA，

则∠A＝45°．

故选：C．

6．（2019秋•相山区期末）下列计算错误的个数是（　　）

①sin60°﹣sin30°＝sin30°      ②sin245°+cos245°＝1

③（tan60°）2④tan30°

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据特殊锐角的三角函数值分别计算等式的左右两边，据此即可对每个等式作出判断．

【解析】①sin60°﹣sin30°，sin30°，错误；

②sin245°+cos245°＝（）2+（）21，正确；

③（tan60°）2＝（）2＝3，错误；

④tan30°，，错误；

故选：C．

7．（2018秋•怀宁县期末）比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（　　）

A．cos10°  B．cos20° C．cos30° D．cos40°

【分析】直接利用锐角三角函数增减性得出答案．

【解析】∵锐角的余弦值随角度增大值越小，

∴cos10°＞cos20°＞cos30°＞cos40°．

故选：A．

8．（2020秋•杭州期末）下列不等式成立的是（　　）

A．sin60°＜sin45°＜sin30° B．cos30°＜cos45°＜cos60° 

C．tan60°＜tan45°＜tan30° D．sin30°＜cos45°＜tan60°

【分析】将特殊角的三角函数值进行比较即可．

【解析】A、∵，

∴sin60°＞sin45°＞sin30°，故选项不成立；

B、∵，

∴cos30°＞cos45°＞cos60°，故选项不成立；

C、∵1，

∴tan60°＞tan45°＞tan30°，故选项不成立；

D、∵，

∴sin30°＜cos45°＜tan60°，故选项成立．

故选：D．

9．（2020•芗城区校级一模）按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（　　）

A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° 

C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°

【分析】根据题意把特殊角的三角函数值代入计算，即可判断．

【解析】A、α＝60°，β＝45°，

α＞β，则y＝sinα；

B、α＝30°，β＝45°，

α＜β，则y＝cosβ；

C、α＝30°，β＝30°，

α＝β，则y＝sinα；

D、α＝45°，β＝30°，

α＞β，则y＝sinα；

故选：C．

10．（2016•新泰市模拟）你认为tan15°的值可能是（　　）

A． B．2 C．2 D．

【分析】根据特殊角三角函数值，可得tan30°，根据正切函数的增减性，可得答案．

【解析】由15°＜30°，

得tan15°＜tan30°，

tan15°大约是2，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2021•成都模拟）已知α是锐角，且1cosα＝0，则∠α＝　45°　．

【分析】根据等式的性质把原式变形，根据45°的余弦值解答．

【解析】∵1cosα＝0，

∴cosα＝1，

∴cosα，

∴∠α＝45°，

故答案为：45°．

12．（2020秋•余干县期末）在△ABC中，若，则∠C的度数是　120°　．

【分析】根据非负数的性质可得sinA，cosB，再根据特殊角三角函数值即可求出结果．

【解析】根据题意可知：

sinA0，cosB0，

∴sinA，cosB，

∴∠A＝30°，∠B＝30°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°．

故答案为：120°．

13．（2020秋•邵阳县期末）已知α是锐角，且sin（α+15°），那么tanα＝　1　．

【分析】根据60°的正弦值、45°的正切值计算即可．

【解析】∵sin60°，

∴α+15°＝60°，

解得，α＝45°，

∴tanα＝tan45°＝1，

故答案为：1．

14．（2020秋•濮阳期末）sin245°+cos60°＝　1　．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．

【解析】原式＝（）2

＝1．

故答案为：1．

15．（2020•拱墅区二模）若sinαcos60°，则锐角α＝　45°　．

【分析】根据30°，45°，60°角的三角函数值解答即可．

【解析】∵sinαcos60°，

∴α＝45°．

故答案为：45°．

16．（2017秋•利津县期末）请首先规范书写出30°角的三个锐角三角函数值　sin30°，cos30°，tan30°　，在△ABC中，若0，则∠C的度数是　105°　．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合非负数的性质分析得出答案．

【解析】sin30°，cos30°，tan30°；

∵0，

∴sinA，cosB，

∴∠a＝30°，∠B＝45°，

∴∠C的度数是：180°﹣30°﹣45°＝105°．

故答案为：sin30°，cos30°，tan30°；105°．

17．（2018•即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是　②③④　．

①cos（﹣30°）；

②cos75°；

③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；

④cos2x＝cos2x﹣sin2x．

【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．

【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°，命题错误；

②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°，命题正确；

③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；

④cos2x＝cosx•cosx﹣sinx•sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；

故答案为：②③④．

18．（2020秋•垦利区期中）观察下列等式：

①sin30°，cos60°；

②sin45°，cos45°；

③sin60°，cos30°．

（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝　1　．

（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝　44.5　．

【分析】（1）由所提供的等式可得sinα＝cos（90°﹣α）．cosα＝sin（90°﹣α） 且sin2α+cos2α＝1，进而得出答案；

（2）将原式转化为sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°，再根据sin2α+cos2α＝1，计算即可．

【解析】（1）由所提供的等式可得sinα＝cos（90°﹣α）．cosα＝sin（90°﹣α），sin2α+cos2α＝1，

∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin2α+cos2α＝1，

故答案为：1；

（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°

＝sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°

＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245°

＝1+1+1

＝44.5，

故答案为：44.5．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020•灌云县模拟）计算：

（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°

（2）tan260°

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．

【解析】（1）原式

；

（2）原式（）2

3

．

20．（2020•淮安模拟）求满足下列条件的锐角x．

（1）cosx

（2）tanx﹣3＝0

【分析】（1）根据cos30°可得答案；

（2）首先表示出tanx，再根据特殊角的三角函数值可得答案．

【解析】（1）∵cosx，

∴x＝30°；

（2）tanx﹣3＝0，

∴tanx＝3，

∴tanx，

则x＝60°．

21．（2020秋•普陀区期末）计算：cos30°﹣2sin245°．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．

【解析】原式2×（）2

2

11

2．

22．（2018秋•南昌期末）（1）在△ABC中，∠B＝45°，cosA．求∠C的度数．

（2）在直角三角形ABC中，已知sinA，求tanA的值．

【分析】（1）由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．

（2）根据角A的正弦设BC＝4x，AB＝5x，得AC的长，根据三角函数的定义可得结论．

【解析】（1）∵在△ABC中，cosA，

∴∠A＝60°，

∵∠B＝45°，

∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°；

（2）∵sinA，

设BC＝4x，AB＝5x，

∴AC＝3x，

∴tanA．

23．（2020•丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．

据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．

（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．

（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．

【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；

（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．

【解析】（1）当α＝30°时，

sin2α+sin2（90°﹣α）

＝sin230°+sin260°

＝（）2+（）2

＝1；

（2）证明：如图，在△ABC中，∠C＝90°，

设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，

∴sin2α+sin2（90°﹣α）

＝（）2+（）2

＝1．

24．要求tan45°的值，可构造直角三角形进行计算，如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC＝BC＝1，斜边AB．∠ABC＝45°，所以tan45°1．

（1）在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan22.5°的值．请简要写出你添加的辅助线，并求出tan22.5°的值；

（2）仿照（1）求出tan15°的值．

【分析】（1）延长CA到D，使DA＝AC，连接DB，如图1，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝1，AB．∠ABC＝45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D＝22.5°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义可求出tan22.5°的值；

（2）Rt△ABC，∠C＝90°，AC，BC＝1，AB＝2，∠BAC＝30°，延长CA到D，使AD＝AB＝2，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D＝15°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义可求出tan15°的值．

【解析】（1）延长CA到D，使DA＝AC，连接DB，如图1，

Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝1，AB．∠ABC＝45°，

∵AD＝AB，

∴∠D＝∠ABD，

而∠BAC＝∠D+∠ABD＝45°，

∴∠D＝22.5°，

在Rt△BDC中，tanD1，

即tan22.5°1；

（2）Rt△ABC，∠C＝90°，AC，BC＝1，AB＝2，∠BAC＝30°，延长CA到D，使AD＝AB＝2，

∵AD＝AB，

∴∠D＝∠ABD，

而∠BAC＝∠D+∠ABD＝30°，

∴∠D＝15°，

在Rt△BDC中，tanD2，

即tan15°＝2．