江苏省灌南高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中模拟试题（Word版附解析）

江苏省灌南高级中学2022-2023上学期期中考试

数学模拟试卷

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，8题共40分）

1. 已知集合，，且，则a＝（    ）

A. 0或 B. 0或1 C. 1或 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合元素相等列方程求解，注意集合元素的互异性对集合元素的限制.

【详解】∵，

∴或，

∴或a=，

又由于集合元素的互异性，应舍去1，

∴或a=.

故选：A．

2. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.

【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题，

所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D．

故选：C．

3. 若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用判别式即可得到结果.

【详解】∵“，使”是真命题，

∴，解得.

故选：C

4. 南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】由题意得，

则

，

当且仅当，即时取等号，

所以三角形面积的最大值为.

故选:B

5. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解出集合和取交集即可.

详解】，

，

所以.

故选：A

6. 若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要条件，则a的最大值是（　　）

A. 2 B. -2 C. -1 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】由必要不充分条件的定义结合数轴即可求解

【详解】∵“x>1或x<-2”是“x<a”的必要不充分条件，

∴x<a⇒x>1或x<-2，

但x>1或x<-2x<a.

如图所示，

∴，

∴a的最大值为-2.

故选：B

7. 设集合， ，且 ，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论解不等式，确定集合，根据，确定，求得答案.

【详解】解，即 ，

当即时， ，此时，不合题意；

故，即，则 ，

由于，，所以，解得，

故选：C

8. 已知，则的最小值为（    ）

A. 50 B. 49 C. 25 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】由结合基本不等式求解即可.

【详解】因为，所以，根据基本不等式，，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为49.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. （多选）下列说法中不正确的是（    ）

A. 集合为无限集

B. 方程的解构成的集合的所有子集共4个

C.

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题设条件利用无限集的定义、集合元素的性质、子集的意义、集合相等的定义逐一判断即可得解.

【详解】集合，不是无限集，故A中说法不正确；

方程的解构成的集合为，其所有子集为，，，，

共4个，故B中说法正确；

集合的元素为直线上的点，，

故，故C中说法不正确；

因为，，所以，故D中说法不正确．

故选：ACD．

10. （多选）下列命题为真命题的是（    ）

A. ，

B. “”是“”的必要而不充分条件

C. 若x，y是无理数，则是无理数

D. 设全集为R，若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A，有实数解，举例即可判断；

对B，分别判断必要性和充分性；

对C，x，y的无理数部分互为相反数时，不是无理数；

对D，由补集概念即可判断

【详解】对A，当时，成立，故A正确；

对B，当时，成立，但当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；

对C，当，时，，不是无理数，故C错误；

对D，全集为R，若，则，故D正确.

故选：ABD.

11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则关于x的不等式的解集也为M

C. 若，则关于x的不等式的解集为或

D. 若{为常数}，且，则的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，利用二次函数的图象可知A正确；

对于B，令，当时，不等式的解集不为M，B不正确；

对于C，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；

对于D，根据得到且，将代入，然后换元，利用基本不等式可求出最小值，可知D正确.

详解】对于A，若，即一元二次不等式无解，所以，故A正确；

对于B，令，则，，，

所以可化为，

当时，可化为，其解集为；

当时，可化为，其解集不等于，

所以B不正确；

对于C，若，则且和是一元二次方程的两根，所以，，

所以，，

所以关于x的不等式可化为，

可化为，因为，所以，

所以或，即不等式的解集为或，故C正确；

对于D，因为{为常数}，所以且，

所以，

因，所以，

令，则，

所以，

当且仅当，则时，等号成立.

所以的最小值为，故D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：D选项中，根据得到且，将代入，然后换元，利用基本不等式求解是解题关键.

12. 已知a，b为正实数，且，则（   ）

A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8

C. 的最小值为 D. 的最小值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；

，当且仅当，

即时取等号，C正确；

，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．

故选：ABC．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已如集合，则______

【答案】

【解析】

【分析】由交集的定义求解即可

【详解】因为集合，

，

所以，

故答案为：

14. 已知集合 ， ，设全集为R，若，则实数m的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】解不等式求得，根据，分类讨论m的取值，确定集合B，从而求得m的取值范围.

【详解】解不等式，得，所以或 ，

，

因为，

当时，，满足题意；

当时，，满足题意．

当时，，

由，得，所以．

综上，m的取值范围为．

故答案为：

15. 已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)

①若，则      ②若，则;

③若，则;        ④若，则.

【答案】②③

【解析】

【分析】①取检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；④取检验即可

【详解】①若，当时，则，故①错误；

②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；

③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；

④若，当时，则，故④错误；

故答案为：②③

16. ，，且恒成立，则的最大值为__．

【答案】4

【解析】

【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．

【详解】解：由于恒成立，且

即恒成立

只要的最小值即可

，，故，因此

故答案为：4．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知全集，集合，．

（1）若且，求实数的值；

（2）设集合，若真子集共有个，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求得和，进而求得，再根据求解即可；

（2）分情况讨论与分析即可.

【小问1详解】

因为，，

因此，．若，则或，解得或．

又，所以．

【小问2详解】

，，

当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，

当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，

综上所述，．

18. 若正数，，满足．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）对直接利用基本不等式，即可得出的最大值；

（2）将看作一个整体，由，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.

【小问1详解】

因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以当，时，．

小问2详解】

，

当且仅当时等号成立，

∴当，时，．

19. 已知集合．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得解；

（2）由“”是“”的必要不充分条件，可得B是A的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：若，则，

所以；

【小问2详解】

解：，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是．

20. 黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．

（1）求的值；

（2）当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．

【答案】（1）   

（2）汛期的第9天会有危险，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据条件可建立方程，解出即可；

（2）设第天发生危险，由题意得 ，解出此不等式，然后可得答案.

【小问1详解】

由题意得： ，

 即

【小问2详解】

由（1）得

设第天发生危险，由题意得 ，即，得．

所以汛期的第9天会有危险

21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）   

（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【解析】

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【小问1详解】

由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

【小问2详解】

∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

22. 不等式的解集为，关于的不等式的解集为．

（1）求集合，集合；

（2）若集合中有2021个元素，求实数a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析.   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据绝对值不等式的解法和含参二次不等式的解法求解即可；
（2）由题知中包含2021个正整数，进而当，才能满足题意，再求解范围即可.

【小问1详解】

解：由，解得或，所以

，

当，即，；

当时，不等式解集为；

当，即时，；

所以，当时，，当时，；当时，.

【小问2详解】

解：若集合中有2021个元素，则中包含2021个非负整数；

又，

所以，要使则中包含2021个正整数，则，,,

所以中的正整数为1，2，…，2021，所以，解得.

所以．