江苏省响水中学2022-2023学年高一数学上学期10月学情分析考试试题（创新班）（Word版附解析）

江苏省响水中学2022-2023学年度秋学期高一年级

学情分析考试数学试题（创新班）

考生注意：

1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.

2、满分150分，考试试卷120分钟.

第Ⅰ卷   选择题（60分）

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合｛2，4，6｝的非空子集的个数是（   ）

A. 8 B. 7 C. 4 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合非空子集个数与集合中元素个数关系即可得到答案.

【详解】根据非空子集个数公式为.

故选：B.

2. 若集合，，，则满足条件的实数的个数有（     ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得或或，再结合元素互异性求解即可.

【详解】由题，则，则或或，由得，不合题意；由得或，不合题意；由得，符合题意；则满足条件的实数的个数有2个.

故选：B.

3. 集合=

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{y|y＝x2－1，x∈R}，

A∩B＝{z|－1≤z≤}．故选C．

考点：集合运算

点评：集合有三种运算：交集、并集和补集．在运算前，一般需将集合进行变化，像本题就是结合解不等式对集合Ａ进行变化．

4. 已知函数，若，则实数的值为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

按照、分类，代入运算即可得解.

【详解】因为函数，，

所以当时，，解得或（舍去）；

当时，，解得（舍去）；

所以实数的值为.

故选：C.

5. 设，条件p：，条件q：，则p是q的（    ）条件.

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【解析】

【分析】条件：，⇒条件：；反之不成立：例如取，则即可判断出．

【详解】∵条件：⇒条件：；

反之，则不成立；例如取，则．

则是的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

6 若，，则等于（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数的换底公式可将用、表示.

【详解】.

故选：C.

7. 在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据运算的定义可得等价于，利用二次函数的性质可求左式的最小值，从而可得关于的不等式，求出其解后可得实数的最大值.

【详解】原不等式等价于，

即对任意x恒成立.

，

所以，解得，

故选：D

8. 已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断.

【详解】设，则

∴

对A：，A正确；

对B：由题意可得：，同理可得：

∵

∴，则，B错误；

对C：∵

∴，C正确；

对D：

∴，D正确；

故选：B.

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设表示不大于实数的最小整数，则满足关于的不等式的解可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

分析】由可得，然后逐一验证每个选项即可.

【详解】由可得，

，，，，

故选：AB

10. 下列各组函数是同一个函数的是（    ）

A. 与

B. 与

C. 与

D. 与

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据函数的定义域和对应法则是否相同，逐项判断即可得解.

【详解】对于A，与对应法则和定义域均相同，

所以两函数是同一函数，故A正确；

对于B，，，对应法则和定义域均相同，

所以两函数是同一函数，故B正确；

对于C，与的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故C错误；

对于D，与的对应法则不同，

所以两函数不是同一函数，故D错误.

故选：AB.

【点睛】本题考查了同一函数的判断，牢记知识点是解题关键，属于基础题.

11. 下列结论正确的是（    ）

A. 当时，

B. 若不等式的解集为，则不等式的解集为

C. 当时，的最小值是5

D. 对于，恒成立，则实数a的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对于AC，利用基本不等式可判断；对于B，可得和3是方程的两根，即可求出，解出不等式即可判断；对于D，不等式恒成立等价于，解出即可判断.

【详解】对于A，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；

对于B，若不等式的解集为，则和3是方程的两根，且，则，解得，则不等式即，解得或，故B正确；

对于C，当时，，则，当且仅当，即时等号成立，故C错误；

对于D，可得对于，恒成立，当时，，不满足题意；当时，则，解得，故a的取值范围是，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

12. 已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

分和分别讨论和的值域，判断是否满足值域的并集为即可.

【详解】若，当时，，，

若函数的值域为，则时，的对称轴，

此时在单调递减，且，满足题意；

所以选项ACD符合题意，

若，当时，，

当时，的对称轴，此时，

不满足值域为，所以不符合题意；

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉一次和二次函数的图象，讨论和时

以及的单调性，且对于，当时，即可判断时，，可判断时不符合题意.

第Ⅱ卷   非选择题（90分）

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域是_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据分母不为，偶次方根的被开方数大于等于得到不等式组，解得即可；

【详解】解：因为，

所以，解得且，所以函数的定义域为；

故答案为：

14. 已知集合，，若，则的取值范围______________

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论：B＝∅，△＜0，解得即可．若B＝{1}或{2}，则△＝0，解得即可．若B＝{1，2}，可得，此方程组无解．

【详解】1°B＝∅，△＝8a+24＜0，解得a＜﹣3．

2°若B＝{1}或{2}，则△＝0，解得a＝﹣3，此时B＝{2}，符合题意．

3°若B＝{1，2}，∴，此方程组无解．

综上：a≤﹣3．

∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．

故填（﹣∞，﹣3]

【点睛】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．

15. 已知，，且，则的最小值为________.

【答案】3

【解析】

【分析】

由条件可知，先求的最小值即可.

【详解】由，，可得，

所以，

当且仅当，即等号成立，

所以，

即的最小值为3，

故答案为：3

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为________.

【答案】  .

【解析】

【分析】根据定义作出函数的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.

【详解】根据定义作出函数的图像如图:(实线部分的曲线).

其中,即.

当时,当或时,由,解得：或;

当时,当时,由解得：.

由图像知,若函数在区间上的值域为，则区间长度的最大值为.

故答案为：

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 化简与求值：

（1）；

（2）若，求的值.

【答案】（1）14；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用幂的运算法则和对数的运算法则计算；

（2）利用完全平方公式求得，再求得，然后可求得．

【详解】(1)原式=＝;-

(2)由平方得

，所以

所以

则

所以

【点睛】幂的运算法则从整数范围推广到有理数范围，实数范围后，乘法公式也随之推广过来，

即公式，，中是是分数指数幂时，公式也适用，解题时要注意体会．

18. 已知集合或，，

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到，，进而得到结果；（2）∵ ∴，分情况列出表达式即可.

解析：

（1）

（2）∵ ∴

Ⅰ）当时，∴即

Ⅱ）当时，∴ ∴

综上所述：的取值范围是

19. 已知，，.

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

分析】

（1）由全称命题为真，结合一元二次不等式恒成立即可得解；

（2）由一元二次不等式结合命题间的关系可转化条件为，即可得解.

【详解】（1）若命题为真，则不等式对恒成立，

所以，，

所以实数的取值范围为；

（2）命题等价于，命题等价于，

因为是的充分不必要条件，所以，

所以且上述等号不同时成立，所以，

所以实数的取值范围为.

【点睛】解决本题的关键是合理转化条件：将全称命题为真转化为一元二次不等式恒成立，将命题间的关系转化为集合间的关系.

20. 求函数的解析式.

（1）已知f（x）是一次函数，且满足，求f（x）；

（2）函数，求的表达式；

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设，代入，根据多项式相等可得答案；   

（2）分、计算可得答案.

【小问1详解】

设，

因为，

故可得，

整理得，故可得，

故；

【小问2详解】

令，解得，

故当时，，，

当时，，，

综上所述：

.

21. 已知不等式的解集为；

（1）求；

（2）若，且，求的最小值．

【答案】（1）分类讨论，答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）对分三类讨论，再求解不等式的解集；

（2）由（1）求出，再令，得到，利用常数1的代换结合基本不等式求出的最小值．

【小问1详解】

当时，，

当时，，

当时， .

【小问2详解】

若由（1）得；

所以故．

设，则；

；

当且仅当，即时取等号；

因此，当时，的最小值为．

22. 如图所示，设矩形的周长为24，把它沿翻折，翻折后交于点，设．

（1）用表示，并求出的取值范围；

（2）求面积的最大值及此时的值．

【答案】（1）；（2）当时，最大值．

【解析】

【分析】

（1）由已知，在中，结合勾股定理可用表示DP；

（2）由（1）结合三角形的面积公式即可直接求解，结合基本不等式即可直接求解．

【详解】（1）矩形的周长为24，∵，∴，

在中，，所以，从而得，

∴，在中，由勾股定理得，

∵，得，，∴．

（2）在中，．

∵，∴，当且仅当，即时取等号．

∴，∴当时，的面积取最大值．

【点睛】本题主要考查了三角形面积公式和基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．