陕西省西安市铁一中学2022-2023学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2022-2023-1高一年级月考（1）

数学试题

一､选择题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合，再求其补集即可

【详解】

，所以.

故选：B

2. 命题“”的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】本题从存在量词否定为全称量词出发即可得出答案.

【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，即先将量词“"改成量词“”,再将结论否定，该命题的否定是“”.

故选：B.

3. 已知集合且，则的非空真子集的个数为（    ）

A. 14 B. 15 C. 30 D. 31

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的定义，结合正整数集与真子集的定义求解即可

【详解】解：因为且，

则该集合的非空真子集个数为个，

故选：A

4. 下列是从集合A到集合B的函数的是（    ）

A. ，对应法则

B. ，，对应法则

C. ，对应法则

D. ，，对应法则

【答案】B

【解析】

【分析】根据对应法则和函数的概念依次判断选项即可.

【详解】A：当，，但，所以集合A中的

一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；

B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；

C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；

D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，

所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；

5. 已知函数若，则（    ）

A. 或1 B.  C. 1 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.

【详解】根据题意得或，

解得

故选：B

6. 若不等式的解集是（2，3），则的解集为（    ）

A.  B. （2，3） C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得方程的两个根为2和3，从而可求出，则不等式可化为，进而可求出不等式的解集

【详解】因为不等式的解集是（2，3），

所以方程的两个根为2和3，

所以，得，

不等式可化为，即，

解得或，

所以不等式的解集为，

故选：D

7. 若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B. 或

C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.

【详解】由题意知，，

当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，

即 ，解得.

故选：C

8. 对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的充分不必条件要是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出关于[x]的不等式的解集，然后根据新定义得到的范围,从而得到答案．

【详解】由，得.

又表示不大于x的最大整数，所以 ．

那么不等式成立的充分不必条件，

即选出不等式的解集的一个非空真子集即可.

根据选项则B选项满足.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和充分条件的选择，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题．

二､多选题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；

对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；

对于D：取特殊值即可否定结论.

【详解】对于A：因为，所以.

因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；

对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；

对于C：因为，所以.

因为，所以.

对两边同乘以，有，所以.故C正确；

对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.

故选：ABC

10. 若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】ACD

【解析】

【分析】分别求出各个选项中函数的值域，从而判断是否符合与的值域相同，但定义域不同，从而判断符合“同象函数”.

【详解】因为函数，，所以其定义域为，值域为；

对于选项A，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；

对于选项B，，，其定义域为，值域为，不“同象函数”；

对于选项C， ，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；

对于选项D，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”.

故选：ACD

11. 已知函数，则（    ）

A.

B.

C. 的最小值为

D. 的图象与轴只有1个交点

【答案】AD

【解析】

【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.

【详解】令，得，则，得，

故，，，A正确，B错误.

，所以在上单调递增，

，的图象与轴只有1个交点，C错误，D正确.

故选：AD

12. 已知a，b为正实数，且，则（   ）

A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8

C. 的最小值为 D. 的最小值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】因为，当且仅当时取等号，

解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，B正确；

，当且仅当，

即时取等号，C正确；

，

当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．

故选：ABC．

三､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡中的横线上）

13. 已知集合，，若，则_______.

【答案】1

【解析】

【分析】

由于，则，解方程组可得，进而可得答案．

【详解】因为，，所以，解得，即.

故答案为：

14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】

【分析】直接解不等式可得.

【详解】由解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

15. “，”是假命题，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得：“，”是真命题，结合一元二次不等式在实数集上的恒成立问题理解运算，注意分类讨论和.

【详解】由题意可得：“，”是真命题

当时，则符合题意

∴成立

当时，则，解得

综上所述：实数的取值范围为

故答案为：.

16. 已知函数，若存在互不相等的实数满足，且，则___________；的取值范围为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】数形结合，根据，关于对称，必有，，且需满足，解不等式即可求出范围，进而求出范围即可.

【详解】画出函数图象，因为，根据，关于对称，且，则.

又，因为存在互不相等的实数满足

则，当时，故可解得，所以.

故答案为：6；

四､解答题：本大题共6小题，共56分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17. 已知，.

（1）求，，的值；

（2）求，值域.

【答案】（1）；；   

（2）的值域为；的值域为.

【解析】

【分析】（1）将数值代入对应方程即可；

（2）利用不等式的性质，从有的某部分范围求出对应函数的范围，得出值域即可.

【小问1详解】

，，

【小问2详解】

由，即，所以的值域为；

对于，，即，所以的值域为.

18. 已知集合，.

（1）若时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）先解分式不等式得集合A，再根据交集定义运算即得；

（2）由题可得，然后分，讨论结合条件即得.

【小问1详解】

由，可得，

解得，

所以集合，又时，可得，

所以；

【小问2详解】

由，可得，

当时，，即时，此时，满足；

当时，则，

解得，

综上可得，实数的取值范围是.

19. 已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）解关于x的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）由抛物线开口向上，且其两个零点为，，可得不等式的解集.

（2）由对应的二次方程的判别式，其两根为，.讨论时，时，时，其两根的大小，由此可得不等式的解集.

【详解】解：（1）当时，不等式可化为，

又由，得，.

因为抛物线开口向上，且其两个零点为，，

所以不等式的解集为.

（2）对于二次函数，其对应的二次方程的判别式，其两根为，.

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

综上，时，不等式的解集为；

时，不等式无解；

时，不等式的解集为.

20. 请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

已知集合.

（1）求集合；

（2）若是成立的______条件，判断实数是否存在？

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）求解不等式即可求出集合；

（2）若选择条件①，则集合A是集合的真子集，列出不等式即可求出；

若选择条件②，则集合是集合A的真子集，列出不等式即可求出；

若选择条件③，则集合A等于集合，列出方程组即可求解.

【小问1详解】

由得，故集合，

由得，

因为，故集合；

【小问2详解】

若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是．

若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合A的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是．

若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合，

则有，方程组无解，

所以，不存在满足条件的实数

21. 若市财政下拨专款百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．

（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数；

（2）试求出最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少．

【答案】（1）   

（2）当分配给植绿护绿项目百万元，处理污染项目百万元时，取得最大值

【解析】

【分析】（1）分别确定，加和即可得到关于的函数关系式；

（2）将函数配凑为，利用基本不等式即可求得最大值，并根据取等条件得到两个项目分配的资金.

【小问1详解】

若分配给植绿护绿项目的资金为百万元，则分配给处理污染项目的资金为百万元，

.

【小问2详解】

由（1）得：（当且仅当，即时取等号），

当分配给植绿护绿项目百万元，处理污染项目百万元时，取得最大值.

22. 已知二次函数，

（1）已知是正实数，且，求证：；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，利用柯西不等式可直接证得结论；

（2）由一元二次不等式恒成立可构造不等式组求得，，并求得；将所求式子化为，设，分别在和的情况下，结合基本不等式可求得最大值.

【小问1详解】

由得：，

，

由柯西不等式得：（当且仅当时取等号），

则.

【小问2详解】

由得：，

，则，；

，又，，则，

令，则，设，

当时，；

当时，（当且仅当时取等号），

的最大值为.