浙江省嘉兴市第一中学2023届高三数学上学期期中检测试卷（Word版附答案）

嘉兴一中2022学年第一学期期中考试

高三年级数学参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知集合，，2，3，，则　　

A． B．， C．，3， D．，2，

【解答】解：由集合，，2，3，，

，，，，．故选：．

2．已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

．故选：．

3．设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列为假命题的是　　

A．若，，则 B．若，，，则 

C．若，，则 D．若，，，则

【解答】解：若，则与平行于的所有直线垂直，又，则，故为真命题；

若，过的平面与交于，可得，又，过的平面与交于，可得，则，

，，，则，而，可得，则，故为真命题；

若，，则或，故为假命题；

若，，则，又，则，故为真命题．故选：．

4．已知，则“”是“恒成立”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：函数的值域为，，则当时，不恒成立，

要使恒成立，则，

故是恒成立的必要不充分条件，故选：．

5．若是圆上任一点，则点到直线距离的值不可能等于　　

A．4 B．6 C． D．8

【解答】解：因为直线恒过定点点，

当直线与 垂直时，点到直线距离最大，等于，

又因为圆心坐标为：，半径为1，

所以距离最大为，

当直线与圆有交点时距离最小为0，

所以点到直线距离的范围是：，，

故选：．

6．已知数列的前项和为，且满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：数列的前项和为，且满足，

所以，，可得，，

可得，

，，

则．

故选：．

7．若函数在处取得极值2，则　　

A． B． C．0 D．2

【解答】解：，

，

又函数在处取得极值2，

则（1），且（1），

所以，，．

故选：．

8．若，，且，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

【解答】解：（法一）可变形为，

所以

，

当且仅当即，时取等号，

（法二）原式可得，

则，

当且仅当，即时取“”故选：．

二．多选题（共4小题）

9．已知平面直角坐标系中四点，，，，为坐标原点，则下列叙述正确的是　　

A．                              B．若，则 

C．当时，，，三点共线      D．若与的夹角为锐角，则

【解答】解：对于，，，，，，故正确；

对于，，，，，，解得，故正确；

对于，时，，，，，，

，与不共线，即，，三点共线，故错误；

对于，，，，，，

与的夹角为锐角，，，即，，

当时，，即，所以且，故错误．故选：．

10．直线与抛物线相交于，，，，若，则　　

A．直线斜率为定值 B．直线经过定点 

C．面积最小值为4 D．

【解答】解：可设直线的方程为，，

与抛物线联立，可得，

则△，，，

，

因为，所以，

解得，

则直线恒过定点，且；

的面积为，当时，取得最小值4．

故选：．

11．在棱长为1的正方体中，点是的中点，点，，在底面四边形内（包括边界），平面，点到平面的距离等于它到点的距离，则　　

A．点的轨迹的长度为 B．点的轨迹的长度为 

C．长度的最小值为 D．长度的最小值为

【解答】解：对于，对的中点，连接，，则，，

平面，平面，

又平面，平面，，平面平面，

又点在底面四边形内（包含边界），平面，点的轨迹为线段，

，点的轨迹的长度是，故错误；

对于，连接，在底面上，，

，解得，

点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，

点的轨迹的长度为，故正确；

对于，过点作于，交点的轨迹于，此时的长度就是长度的最小值，

‘，，△，

，，解得，

，

长度的最小值为，故正确；

对于，点到平面的距离等于它到点的距离，

由正方体的特点得点到直线的距离等于点到平面的距离，

点到直线的距离等于它到点的距离，

根据抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，

以的中点为坐标原点，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，

则， 0，，，直线的方程为，直线的方程为，

则抛物线的方程为，

设直线平行且与抛物线相切的直线的方程为，

联立，整理得，

△，解得，

直线的方程为，

则直线与直线的距离为，

直线与直线的距离为，故正确．

故选：．

12．若对任意，不等式恒成立，则实数可能为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，即为，

即，

设，，

即有．

由的导数，

因为，所以，

在上递增，

所以，

即恒成立．

设，则，

当时，，递增；当时，，递减，

所以在处取得极小值，且为最小值，最小值为．

所以，

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．函数在区间上的值域是　，　．

【解答】解：由于，

所以，

故，

故．

即函数的值域为，．

故答案为：，．

14．已知的展开式中的系数是20，则实数　　．

【解答】解：的展开式中系数是，

解得：．故答案为：．

15．在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为 　或　．

【解答】解：将四面体放到长方体中，则在长方体的后侧面内，

异面直线，所成角为，，或，即为图中或，

设中点为，四面体的外接球的球心为，球的半径，

则由对称性可知：球心在过且垂直于平面的垂线上，并且，

建立如图的空间右手直角坐标系，，，

设，1，，，又，0，，，0，，，0，，

，

或，

解得或，或，

该四面体外接球的表面积为或．故答案为：或．

16．设点，在椭圆上，点，在直线上，则的最小值为 　2　．

【解答】解：设，，，，

则

，当且仅当，时取最小值，

即时，，；故的最小值为2，故答案为：2．

四．解答题（共6小题）

17．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

【解答】解：（1），，，

，，，，，

（2）由正弦定理得，

，当且仅当，，，．

18．已知数列中，，点对任意的，都有，数列满足，其中为的前项和．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解答】解：（1），

可得，是公差为2的等差数列，；

（2）由（1）可得，，

．

19．如图，已知正三棱柱中，．是棱上一点．

（1）若，求直线与平面所成角的大小；

（2）若是中点，求点到平面的距离．

【解答】解：（1）在侧面内作，交棱于点．因是正三棱柱，

故平面，从而平面．联结，则为所求线面角，

另一方面，由且得，故在中，由余弦定理得，，

因为平面，而在平面内，所以．于是，

故直线与平面所成角的正弦值为．

（2）设所求距离为，则．而，故．由题意得，，，

故在中，由余弦定理得，从而，

因此，，故点到平面的距离．

20．根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下：

记年份代码为，2，3，4，，，对数据处理后得：

（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数)．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

【解答】解：（1）根据散点图的趋势，可知模型②适宜作为关于的回归方程．

（2）8，2，

故关于的回归方程为，即关于的回归方程为，

2022年对应的年份代码为，≈3，故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨．

21．已知双曲线，为坐标原点，离心率，点在双曲线上．

（1）求双曲线的方程；

（2）如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，且，求的最小值．

【解答】解：（1）由离心率，点在双曲线上，

可得，，，

解得，，，

可得；

（2）由，可得，

可设的方程为，的方程为，

由解得，，

则，

将上式中的换为，可得，，

所以，

可令，则，

所以，

当即时，的最小值为24．

22．已知函数．

（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）若，则，，则切线的斜率为（1），

又，

所以曲线在点，（1）处的切线方程是，即；

（2），

由条件知，是方程的两个根，

所以，则，

所以．

设，分析可知的取值范围是，则，

不等式恒成立，等价于恒成立，

设，则恒成立，

，

若，则，所以，在上单调递增，所以（1）恒成立，所以，，符合题意；

若，则在上单调递增，在上单调递减，所以当的取值范围是时，（1），不满足恒成立．

综上，实数的取值范围是，，．