江苏省无锡市太湖高级中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第一学期期中考试

高一数学

2022.11

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 设集合，集合，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由交集定义进行运算即可

【详解】由交集定义，.

故选：B

2. 下列各对函数表示同一函数的是（    ）

A. 与 B. 与

C. ， D. 与

【答案】D

【解析】

【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.

【详解】对于A，因为定义域为，的定义域为，故两函数不是同一函数，故A错误；

对于B，因为，所以与不是同一函数，故B错误；

对于C，因为的定义域为，的定义域为，故两函数不是同一函数，故C错误；

对于D，对于，当时，；当时，；即，显然与是同一函数，故D正确.

故选：D.

3. 若，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断.

【详解】因为，，

所以“”是“”充分不必要条件.

故选：A

4. 已知，则取得最大值时的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，则，结合基本不等式，即可求解.

【详解】因为，则，

由，当且仅当时，即时等号成立．

故选：B.

【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

5. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得在R上恒成立，考虑，与两种情况，结合根的判别式进行求解．

【详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，

当时，满足要求，

当时，要满足，解得：，

综上：

故选：B

6. 定义在上的偶函数在上的图象如下图，下列说法正确的是（    ）

A. 仅有一个单调增区间 B. 有两个单调减区间

C. 在其定义域内的最大值是5 D. 在其定义域内的最小值是－5

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的单调性、奇偶性和最值情况即可作出判断.

【详解】因为是上的偶函数，所以在上的图像如下图所示：

由图可知：在内存在单调递减区间和，递增区间，

所以在上有递增区间和，递减区间，

即在上有3个单调增区间，A错误；,

在上有3个单调减区间，B错误；

在处取得最大值5，故在处也取得最大值5，C正确；

由图可知，无法知晓在其定义域内的最小值，D错误.

故选：C

7. 已知为奇函数，则等于（    ）

A. －16 B. －14 C. 14 D. 16

【答案】A

【解析】

【分析】要求的值，需要先求出，利用函数奇偶性得到即可解决.

【详解】是奇函数，，

又，则.,

.

故选：A

8. 定义在上的偶函数满足，且对任意的有，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意与函数单调性的定义可的单调性，再结合偶函数与，可得在定义域上的正负情况，列表讨论与的正负情况即可求得所求.

【详解】因为对任意的有，所以在上单调递增，

因为是偶函数，所以在上单调递减，

又，所以，

结合的单调性，可得与的正负情况如下：

因为，所以由得，即与异号，

所以由上表可得.

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 已知集合，，若，则满足条件的实数x可以是（    ）

A. －2 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据包含关系的定义，列式求，并验证是否满足互异性.

【详解】由得，，满足互异性；由得，，而不满足互异性，所以舍去；满足的条件的值有：

故选：ABD.

10. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（    ）

A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件

C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件

【答案】CD

【解析】

【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解.

【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出，

当时，推不出，

所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误;

对于B，如，但，所以推不出，

如，但，所以推不出，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误;

因为若则一定成立，但若则不一定成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确;

由得，，由可推出，不能推出，

所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件，

故D正确;

故选:CD.

11. 下列命题中，为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，，则

C 若，，则 D. 若，则

【答案】BD

【解析】

【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可.

【详解】对于A，若，则，故A错误.

对于B，若，则，，即，故B正确.

对于C，取，故C错误.

对于D，若，则=，

因为，所以，所以，即，故D正确.

故选：BD

12. 已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（    ）

A.  B.

C. 的最大值为 D. 的最小值为4

【答案】BC

【解析】

【分析】根据奇函数可求解判断A，根据自变量即可代入求值判断B，结合函数的图象即可判断CD.

【详解】由对于一切恒成立得，代入得，故A错误；

，所以，故B正确；

由奇函数知，所以当时，，

当时，，画出图象，如图，

令，解得或，令时，解得或，

由图象可知，要使值域为，，

，故C正确，D错误.

故选：BC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“”的否定形式是________.

【答案】，

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称命题即可得解；

【详解】解：命题“”为全称量词命题，其否定为：，；

故答案为：，

14. 若一个奇函数的定义域为，则的值为______________．

【答案】

【解析】

【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，即可得的值.

【详解】解：若奇函数的定义域为，则，必有

故或；

若，则，必有，则，所以；

若，则，必有，则，所以；

综上：.

故答案为：.

15. 定义：闭区间的长度为．则不等式的解集区间长度为______________；若不等式的解集区间长度为6，则实数m的值是______________．

【答案】    ①. 6    ②.

【解析】

【分析】解一元二次不等式即可求出不等式的解集区间长度；解绝对值不等式即可求出实数m的值.

【详解】不等式等价于，

解得：，

所以不等式的解集区间长度为：.

由不等式可得：，解得：，

因为不等式的解集区间长度为6，所以，

解得：.

故答案为：；

16. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______________．

【答案】

【解析】

【分析】根据基本不等式可求得的最小值为，则，解不等式即可.

【详解】由，得，则，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即，

解得，

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．

17. 试比较下列各组中两个代数式的大小

（1）与;

（2）当时,与4．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)对两式进行做差化简判断与零的大小关系,即可判断出大小;

(2)对两式进行做差通分化简合并判断与零的大小关系,即可判断出大小.

【小问1详解】

解:由题知,,

故;

【小问2详解】

,

,

,

即.

18. 已知集合，集合

（1）当时，求；

（2）记：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；

（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【小问1详解】

解：由，解得，

所以，

当时，

所以或，

又，

所以；

【小问2详解】

解：因为是的必要不充分条件，

所以，

所以，解得，所以实数的取值范围为.

19. 已知集合，

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）因为，则说明集合，然后求解即可；

（2）按照元素的个数分集合为空集，集合有一个元素，集合有两个元素讨论，最后不同情况求出的取值取并集即可.

【小问1详解】

化简，得，

因为，则，

所以有，解得或，

 ，解得或，

综上，.

【小问2详解】

化简，得，

因为，则，

当时，有，解得或；

当集合只有一个元素时，有，得或，

当时，集合显然不满足，

当时，集合显然不满足；

当集合有两个元素时，则，所以，

所以有，解得或，

，解得或，故；

综上所述

20 已知函数，

（1）判断函数在上的单调性并证明；

（2）若集合，对于都有，求实数的取值范围．

【答案】（1）单调递减，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，根据反比例函数的性质判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明即可；

（2）由（1）中函数的单调性求出集合，依题意都有，参变分离可得，对恒成立，根据函数的单调性求出，即可求出参数的取值范围.

【小问1详解】

解：在上单调递减，

证明：设，

则，

又由，

则，，，

则，

故函数在上单调递减；

【小问2详解】

解：由（1）可得在上单调递减，又、，

所以，

因为都有，即都有，

所以，对恒成立，

令，，

因为在上单调递减，所以，

所以.

21. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

（1）现有可围48m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？

（2）若使每间虎笼面积为36，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？

【答案】（1）长为6m,宽为4m时，面积最大值为；   

（2）长为 、宽为时，钢筋网总长最小为.

【解析】

【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值.

（2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值.

【小问1详解】

解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，

则，

所以，即，所以，

当，即时等号成立.

所以每间虎笼的长为6m,宽为4m时，面积的最大值为；

【小问2详解】

解：设长为，宽为，都为正数，每间虎笼面积为，

则钢筋网总长为，

所以钢筋网总长最小为，当且仅当，即时，等号成立.

所以当每间虎笼的长为 、宽为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为.

22. 已知二次函数，，对任意，，且恒成立．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若函数的最小值为5，求实数的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据得到，根据恒成立得到，结合，求出，，求出二次函数解析式；

（2）结合第一问，将写出分段函数，分，与三种情况，结合函数单调性，最小值为5，列出方程，求出实数的值.

【小问1详解】

由题意得：，且，

恒成立，

故，

将代入中，，

故，从而，

由得：，

整理得，故，

联立与，解得：，

故，

二次函数解析式为；

【小问2详解】

函数最小值为5，

，

且，即在端点处分段函数的函数值相等，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得最小值，即，解得：，符合要求；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得最小值，即，解得：，不合题意，舍去；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得最小值，即，解得：，符合要求；

综上：.