浙江省杭州第二中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题B卷（Word版附解析）

杭州二中2022学年第一学期期中考试

高二年级数学试题B卷

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 如图，已知平行六面体，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的加法法则即可计算．

【详解】．

故选：C．

2. 用分层抽样的方法，从某中学3000人（其中高一1200人，高二1000人，高三800人）中抽取若干人．已知从高一抽取了12人，则从高二和高三共抽取的人数为（    ）

A. 18 B. 24 C. 27 D. 32

【答案】A

【解析】

【分析】由题意求出样本容量，再利用分层抽样的定义求解即可

【详解】解：设从三个年级中共抽取人，因为高一抽取了12人，

所以，，解得，

则从高二和高三年级共抽取的人数为，

故选：A

3. 已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】由题知，存在，使得，进而得，再结合已知即可得答案.

【详解】解：因为满足任意三点不共线，但四点共面，

所以，根据共面向量基本定理，存在，使得，

因为，，，

所以，即，

因为，

所以，，解得

故选：B

4. 已知向量，是平面内的两个不共线的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.

【详解】解：由题意，，.

因为向量，是平面内的两个不共线的非零向量，

所以，根据平面向量基本定理，对于平面内的任意直线，其方向向量为，存在唯一实数对使得成立，

所以，，即，

所以直线与平面内的任意直线都垂直，故；

若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.

所以“，且”是的充分必要条件.

故选：C.

5. 如图，正方体中，异面直线，的夹角为（    ）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

【答案】B

【解析】

【分析】首先通过做平行线把异面直线所成的角转化为平面直线所成的角，进一步通过解三角形知识得到结果．

【详解】解：如图，连接，

设正方体的棱长为1，

在△中，

所以：△为等边三角形，则

在正方体中，，四边形为平行四边形

所以

即即为异面直线与所成的角为，则：异面直线与所成的角为

故选：B．

6. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（    ）

A. 623 B. 368 C. 253 D. 072

【答案】B

【解析】

【分析】

从表中第5行第6列开始向右读取数据，每3个数为一个编号，不在编号范围内或重复的排除掉，第8个数据即为答案.

【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据，依次得到（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），

由此可得出第8个样本编号是

故选：B

7. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 事件A与事件B互斥

C. 事件A与事件B相互独立 D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.

【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；

事件B含有的基本事件有8个：，

其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；

抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，

即事件A与事件B相互独立，C正确；

，D不正确.

故选：C

8. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．

【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以，，，

设平面的法向量为，

则

令，则，，所以平面的一个法向量．

点到平面的距离为．

故选：D．

二、选择题：本题共小4题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 当时， D. 当时，

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出，A错误；

B选项，根据向量平行列出方程组，求出；

C选项，根据向量运算法则计算出，利用模长公式列出方程，求出；

D选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.

【详解】当时，，解得：，故A错误；

令，则，，故B正确；

，所以，解得：，故C正确；

当，，

因为，，故D正确．

故选：BCD

10. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（    ）

A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生

C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和全是男生

【答案】AD

【解析】

【分析】逐个选项分析事件之间是否有同时发生的可能性再判断即可.

【详解】A中两个事件是互斥事件,恰有一名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生,它与恰有2名女生不可能同时发生，A是；

B中两个事件不是互斥事件,两个事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；

C中两个事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情况，C不是；

D中两个事件是互斥事件,至少有一名女生与全是男生显然不可能同时发生，D是.

故选：AD

11. 直线l的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则直线平面

B. 若，则直线平面

C. 若，则直线l与平面所成角的大小为

D. 若，则平面，所成角的大小为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据空间中线面角、二面角的范围及求法，结合线面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案

【详解】对于A：若，则直线平面，或直线平面，故A错误；

对于B：若，根据平行的传递性可得直线平面，故B正确；

对于C：因为直线与平面所成角范围为，且若，即与的夹角为，所以直线与平面所成角的大小为，故C正确；

对于D：因为两面所成角范围为，若，则平面，所成二面角的大小为，故D正确.

故选：BCD.

12. 以下对各事件发生的概率判断正确的是(    )

A. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中取出一个球是红球的概率是

B. 每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为

C. 将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是

D. 甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据古典概型概率计算方法可直接判断A；利用列举法可判断BC，利用列举法或画树状图，可判断D.

【详解】对于A，袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中取出一个球是红球的概率是，故A正确；

对于B，不超过14的素数有共6个，从这6个素数中任取2个有如下组合：

，，，共15种结果，

其中和等于14的只有一组，

∴在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；

对于C，基本事件总共有(种)情况，其中点数之和是6的有，共5种情况，则所求概率是，故C正确；

对于D，画树形图如下：

从树形图可以看出，所有可能出现结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，

(乙获胜)，故玩一局甲不输的概率是，故D错误；

故选：ABC.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，则向量的坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标表示方法即可求解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

14. 已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，的平均数是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据平均数计算方式计算即可.

【详解】

平均数

故答案为:

15. 某校高二年级一名学生一学年以来七次月考数学成绩（满分100分）依次为84，86，78，82，84，89，96，则这名学生七次月考数学成绩的第70百分位数为________．

【答案】86

【解析】

【分析】根据题意，将七次考试的成绩从小到大排列，进而利用百分位数的定义分析计算可得答案．

【详解】解：根据题意，七次考试的成绩从小到大依次为：78，82，84，84，86，89，96；

又由，

故则这名学生七次月考数学成绩的第70百分位数为86；

故答案为：86.

16. 如图，在正四棱柱中，，，点P是侧面内的动点，且，记AP与平面所成的角为，则的最大值为________．

【答案】

【解析】

【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件找到其横坐标和竖坐标之间的关系，再求线面角正切值的最大值即可.

【详解】根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系如下所示：

则，

设点的坐标为，，

因为，即，即；

取平面的一个法向量为，

故，则，

又在单调递减，在单调递增，

故时，取得最小值，取得最大值，

此时，取得最大值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点．

（1）试用，表示向量；

（2）若，，，，，求的值．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】(1)利用向量线性运算的计算方法，结合几何关系即可求解；

(2)结合(1)中结论和，利用向量数量积运算律和数量积定义即可计算．

小问1详解】

；

【小问2详解】

．

18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点．

（1）证明：平面PCD．

（2）求直线PA与平面CEF所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，进而由线面平行的判定定理即可求证，

（2）建立空间直角坐标系，由向量法即可求解线面角.

【小问1详解】

如图，设M为PC的中点，连接FM，MD．               

因为F，M分别为PB，PC的中点，所以．

在正方形ABCD中，，所以．

所以四边形DEFM为平行四边形，．                

因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．

【小问2详解】

以D为原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，          

．                

设平面CEF法向量为，

则即令，则．           

设直线PA与平面CEF所成角为，

则，

故直线PA与平面CEF所成角的正弦值为．

19. 为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）

（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.

【答案】（1），中位数为，平均数为72   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；

（2）根据分层抽样在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解.

【小问1详解】

由图可知，，解得.

设中位数为x，则，所以.

这100人问答成绩的平均数约为.

【小问2详解】

用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，

则问答成绩在[60，70）内的有人，分别记为A，B；

问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C.

从中任意抽取2人，则实验的样本空间

{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点.

设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内的概率，

则，

所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率.

20.   如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.

（1）证明：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）通过证明面，即可由线面垂直证明线线垂直；

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点和向量的坐标，求得两个平面的法向量，再求两平面夹角的余弦值即可.

【小问1详解】

证明：因为平面，平面，所以；

因为，所以；

因为，面，所以面；

又因为平面，所以.

【小问2详解】

以为原点，建立空间直角坐标系如下所示：

则，，，，，，，

，，，，.

设平面法向量为，

则，所以，不妨取；

设平面的法向量为，

则，所以，不妨取；

设平面与平面夹角为，

则，

即平面与平面夹角的余弦值为.

21. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙，丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，．

（1）求甲考生获得该高校综合评价录取资格的概率；

（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；

（3）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）．

【解析】

【分析】设事件A、B、C分别为“甲、乙、丙获得该高校综合评价录取资格”，根据独立事件概率计算方法可直接求出、、.由此可得(1)题答案，(2)题概率为，(3)题可先计算其对立事件概率从而求解．

【小问1详解】

设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，

则；

【小问2详解】

设事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，

则，

则甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格概率为：

；

【小问3详解】

设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，

则，

三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，

三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：

．

22. 如图1，已知等边的边长为3，点，分别是边，上的点，且，.如图2，将沿折起到的位置.

（1）求证：平面平面；

（2）给出三个条件：①；②二面角大小为；③到平面的距离为.在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：

在线段上是否存在一点，使三棱锥的体积为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分。

【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析.

【解析】

【分析】(1)由已知可推得,所以,,从而平面,进而有平面平面;

(2)若用条件①,结合(1)中,可推得平面,故可求出三棱锥的体积,所以存在点满足题目条件,此时;若用条件②,结合(1)可知,故可求出三棱锥的体积为,所以存在点满足题目条件,此时点与点重合,即;若用条件③,则可求出三棱锥的体积为,所以不存在满足题目条件的点.

【详解】(1)由已知得等边中,,,,由余弦定理得

∴,

∴,,

又∵,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面;

(2)若用条件①,

由(1)得,又和是两条相交直线,

∴平面,

又等边的高为,

,

故三棱锥的体积为,

所以存在点满足题目条件,此时.

若用条件②二面角大小为,

由(1)得是二面角的平面角,

∴,

所以,

又等边的高为,

故三棱锥的体积为,

所以存在点满足题目条件,此时点与点重合,故.

若用条件③到平面的距离为,

由题可知,等边的高为,

则,

则三棱锥的体积为,

所以不存在满足题目条件的点.

【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了三棱锥体积的求法,需要学生具备一定的空间思维和计算能力,属于中档题.