浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高一数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考

高一年级数学学科试题

一､选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合，下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解方程可求得集合，由元素和集合关系可确定结果.

【详解】由得：或，，则，，.

故选：B.

2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的解析式，直接判断函数的奇偶性和单调性.

【详解】A.是增函数，但不是奇函数，故A错误；

B.的定义域是，所以不是奇函数，是增函数，故B错误；

C.的定义域是，函数是奇函数，但不是增函数，只能说函数的增区间是和，故C错误；

D.的定义域是，函数是奇函数，并且在定义域上是增函数.

故选：D

3. 已知a，b，c为实数，若，则下列结论一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的性质判断即可.

【详解】A选项：因为，且，则，故A正确；

B选项：当时，，故B错；

C选项：当时，，故C错；

D选项：当时，，故D错.

故选：A.

4. 下列函数中哪个与是同一个函数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】判断函数三要素中的定义域和对应关系是否相同，即可判断两个函数是否同一函数.

【详解】A.，与函数不是同一个函数，故A错误；

B.的定义域是，而函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故B错误；

C.的定义域是，与函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误；

D.的定义域为，且，所以与函数是同一函数，故D正确.

故选：D

5. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】从函数的定义域、奇偶性及在第一象限的变化快慢三个方面逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】幂函数定义域为R，选项C不满足；

，有，即是偶函数，选项B不满足；

因，则函数在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A不满足，

显然选项D满足幂函数的上述特点，即大致图象是D.

故选：D

6. 已知，，，则下列关系正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简、，利用作差可得出、的大小关系，即可得出、、的大小关系.

【详解】因为，，

，所以，.

故选：B.

7. 设函数若，则a=（    ）

A.  B.  C. 0或 D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】根据分段函数每段函数值的正负分析可得，，由，可得，解得或，再结合，代入解析式求解即可.

【详解】由题意当时，；当时，，

又，故，，

因此，即，

解得或，

又，故或，解得.

故选：A

8. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. ，等式恒成立

B. ，若，则

C. 方程有两个不相等的实数根

D. 函数的图像恒在函数的图像的下方

【答案】D

【解析】

分析】对于选项A：代入验证即可；

选项B说明在上为增函数，只需判断在上单调性即可

对于选项C：判断方程在上解的个数即可；

对于选项D：判断是否恒成立.

【详解】对于选项A：，，不成立，故A错误；

对于选项B：，若，则等价于在上为增函数，但在上为减函数，故B错误；

对于选项C：由得，显然，两边平方化简得，

解得，所以，只有一解，故C错误；

对于选项D：判断在上恒成立，故恒成立，说明函数的图像恒在函数的图像的下方，所以D正确.

故选：D

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，集合，则下列说法正确的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先确定集合，再根据集合的运算，判断选项.

【详解】集合是偶数集合，集合是奇数集合，

所以正确；正确；正确； 错误，应改为，故D错误.

故选：ABC

10. 已知，且则下列结论一定正确的有（    ）

A.  B.

C. ab有最大值4 D. 有最小值9

【答案】AC

【解析】

【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1”的代换计算，漏除了4.

【详解】A选项，，A正确；

B选项，找反例，当时，，，，B不正确；

C选项，，，当且仅当时取“=”，C正确；

D选项，，D不正确.

故选：AC.

11. 函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，则下列说法正确的有（    ）

A.  B. 为偶函数

C. 若，则 D.

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，；

BC选项，可举出反例；

D选项，设，可得，故D正确.

【详解】，A正确；

，，故，B错误；

不妨设，满足，但，C错误；

设，则，故，D正确.

故选：AD

12. 函数，，其中.记，设，若不等式恒有解，则实数的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】将问题转化为；分别在和的情况下，得到与的大致图象，由此可得确定的解析式和单调性，进而确定，由可确定的取值范围，由此可得结论.

【详解】由题意可知：若不等式恒有解，只需即可.

，

令，解得：或；

令，解得：或；

①当，即时，则与大致图象如下图所示，

，

在上单调递减，在上单调递增，

，不合题意；

②当，即时，则与大致图象如下图所示，

，

在，上单调递减，，上单调递增；

又，，

若，则需，即，解得：；

综上所述：实数的取值集合，

，，，，AB错误，CD正确.

故选：CD.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定与图象的相对位置，从而得到的单调性，结合单调性来确定最值.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得，求解即可

【详解】解：则题意可得，

解得或，

故答案为：

14. 在做好疫情防护工作时，常常用到酒精消毒.某人从盛有1L纯酒精的容器中倒出L，然后用水填满：再倒出L，又用水填满，连续进行5次操作，容器中的纯酒精还剩下多少___________L.

【答案】或（写出其中的一个即可）.

【解析】

【分析】依次计算L溶液中的酒精含量即可.

【详解】第1次操作，L纯酒精，倒出L，剩余纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；

第2次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；

第3次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；

第4次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；

第5次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为.

故连续进行5次操作，容器中的纯酒精还剩下L.

故答案为：或（写出其中的一个即可）.

15. 已知集合，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是___________.

【答案】.

【解析】

【分析】分别求出集合 和 ，求集合时要分类讨论，若“”是“”成立的充分不必要条件则，建立不等式关系即得.

【详解】若“”是“”成立的充分不必要条件，则.

，

当时，，不符合题意，舍去.

当时，， 由得但不同时取等号，解得 ；

当时，， 由得但不同时取等号，解得 ；

综上：实数a的取值范围是.

故答案为：.

16. 设矩形）的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则△APD面积的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角形全等和勾股得到两直角边和长度的关系，再结合基本不等式求其乘积的最大值即可.

【详解】如下图

设，

则

易得

在中，有

即

化简得①

由基本不等式有②

联立①②得

所以

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知集合,集合,求下列集合.

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据题意将集合A解出,直接求即可,

(2) 根据题意将集合A解出,求出,再求出即可.

【小问1详解】

解:由题知,

【小问2详解】

由(1)知

18. 已知集合

（1）若集合A有且只有两个子集，求实数m的值.

（2）当时，若，且，求的值

【答案】（1），-3或3   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据集合A有且只有两个子集得到集合A中只有一个元素，然后分和两种情况求解即可；

（2）将代入得到，然后代入计算即可.

【小问1详解】

因为集合A有且只有两个子集，所以集合A中只有一个元素，

①当时，符合要求；

②当时，则，即.

综上所述，-3或3.

【小问2详解】

当时，集合

即

即

.

19. 已知函数

（1）讨论函数的奇偶性（只需写出正确结论）；

（2）当时，写出函数的单调递增区间：

（3）当时，求函数在区间上的最大值.

【答案】（1）答案见解析   

（2）单调递增区间为   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；

（2）按的范围去绝对值，进而求单调递增区间即可；

（3）由且可得，讨论对称轴的位置求最大值即可.

【小问1详解】

当时，，，故为奇函数；

当时，为非奇非偶函数.

【小问2详解】

当时，，

所以，

所以当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，

所以单调递增区间为.

【小问3详解】

因为且，

所以，对称轴为，

当，即时，；

当，即时，在上单调递增，，

综上.

20. 为了印刷服务上一个新台阶，学校打印室花费10万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.4万元，而总的维修费用与使用年限x成二次函数关系（未使用时，维修费用为0），已知使用2年的总维修费为0.6万元，使用5年的总维修费为3万元，问

（1）设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用=）

（2）这套设备使用多少年报废最合算？（即使用多少年的年平均费用最少）

【答案】（1）   

（2）这套设备使用10年报废最合算

【解析】

【分析】（1）首先设总的维修费为，根据题意得到，从而得到平均费用为.

（2）利用基本不等式求解即可.

【小问1详解】

设总的维修费为，因为，所以可设.

由题知：，解得，即.

所以年平均费用为.

【小问2详解】

因为，所以，

当且仅的，即时等号成立.

所以这套设备使用10年报废最合算.

21. 已知，满足

（1）当时，求的最小值

（2）若，求的取值范围

【答案】（1）最小值2   

（2）或

【解析】

【分析】（1）首先原式变形为，再通过构造，利用基本不等式，转化为，即可求解；

（2）首先利用，转化为，再两边同时除以，转化为关于的一元二次不等式，即可求解.

【小问1详解】

当时，

即

即

令，则

即

所以

当且仅当，即时，取到最小值2.

【小问2详解】

则，.

即

令，则

解得：或

即或.

22. 已知函数

（1）若，求函数f（x）的值域；

（2）设，若恒成立，求实数a的取值范围

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分和两种情况，利用换元法和函数单调性求值域；

（2）分和两种情况讨论即可.

【小问1详解】

，

①当时，设，在上单调递增，

所以此时；

②当时，在单调递减.

所以此时

由①②知，函数f（x）值域为.

小问2详解】

，

①当时，恒成立，

即恒成立.

∵，当且仅当时等号成立，

所以当时，恒成立.

②当时，

（i）若，即时，

恒成立，

即恒成立，即

（当且仅当取等号）

当时，即，

当时，，即，不等组无解.

∴；

（ii）若，即时，

恒成立，

即，

即，

令，则，

在上单调递减，

∴，

∴，即，

解得，

由（i）（ii）得，，

由①②得，实数a的取值范围是.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

（2）a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.