2022-2023学年浙江省杭州中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州中学八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一 、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下面有个汽车标致图案，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，边上的高是(    )

A. 线段
B. 线段
C. 线段
D. 线段

3. 如果，那么下列不等式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 的三边长是、、，且，若，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某商店甲商品的单价为元，乙商品的单价为元已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的倍少件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过元设购买甲商品件，依题意可列不等式组得(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，四边形是正方形，直线，，分别通过、、三点，且若与之间的距离是，与之间的距离是，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，，且、是上两点，，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于(    )

A.  B. 或
C. 或 D. 或或

10. 如图，中，，为等边三角形，则、、之间的关系为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11. 不等式的解集为______．
12. 沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为已知米．请根据上述信息求标语的长度______．

13. 等腰三角形的一边等于，另一边等于，则此三角形的周长为______ ．
14. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是______它是______命题填“真”或“假”
15. 如图，中，，在上，且，，则 ______

16. 如图，已知等边，点在的外侧，将绕点顺时针旋转至，点与点相对应，连接，，，，，则的长为______．

三 、解答题（本题共7小题，共54分）

17. 如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于对称点是，连接交于，交于．
    若，则______；
    若，求的度数．
    若，则的周长为______．

18. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
    
    ．
19. 如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，，求的度数．

20. 已知关于的方程的解为，满足，求的整数值．
21. 如图，点在线段上，，，平分．
    求证：≌；
    ．

22. 某水产品市场管理部门规划建造面积为的集贸大棚，大棚内设种类型和种类型的店面共间，每间种类型的店面的平均面积为，月租费为元；每间种类型的店面的平均面积为，月租费为元．全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的．
    试确定种类型店面的数量；
    该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，种类型店面的出租率为，种类型店面的出租率为为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面多少间？
23. 如图，在中，、分别是边、上的高线．
    如果，那么是等腰三角形，请说明理由；
    取为中点，连接点，，得到，是的中点，求证：；
    在的条件下，如果，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由轴对称图形的概念可知第个，第个，第个都是轴对称图形．
第个不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选D．
根据轴对称图形的概念结合个汽车标志图案的形状求解．
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为点到边的垂线段是，所以边上的高是，
故选：．
根据三角形的高的定义解答即可．
此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：、当时，不成立，例如，但是；
B、不成立，例如如，但是；
C、，，成立；
D、不成立，例如，但是．
故选C．
利用不等式的性质判断即可得到结果．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，平分，，
，，
点为的中点，
，
的周长．
故选：．
根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
根据三角形的三边关系，得．
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和第三边，任意两边之差第三边”，进行求解．
考查了三角形的三边关系．注意本题的条件限制．
 

6.【答案】 

【解析】解：设购买甲商品件，则购买乙商品件，
依题意得：．
故选：．
设购买甲商品件，则购买乙商品件，根据“购买甲、乙两种商品的总件数不少于，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过元”，即可得出关于的一元一次不等式组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出≌，难度适中．
过作直线于，过作直线于，求出，，，根据推出≌，根据全等得出，求出，，在中，由勾股定理求出即可．
【解答】

解：如图：
过作直线于，过作直线于，
则，
直线直线，直线，
，
四边形是正方形，
，，
，
在和中

≌，
，
与之间的距离是，与之间的距离是，
，，
在中，由勾股定理得：，
即正方形的面积为，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
，
，，，
≌，
，，
，
．
故选：．
由余角的性质可得，由“”可证≌，可得，，可得的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，，，

，
，
，
．
如图，，，

，
，
，．
如图，，，，

，
故选：．
题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应该分三种情况进行分析，从而不难求解．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
等边，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质推出，根据三角形的内角和定理求出，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出，代入上式即可求出答案．
本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出和是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
移项得：，
合并同类项：，
解得：．
故答案为：．
直接利用不等式的解法进而得出答案．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确掌握解题方法是解题关键．
 

12.【答案】米 

【解析】解：，
，
，
，
，即，
相邻两平行线间的距离相等，
，
在与中，
，
≌，
米，
故答案为：米．
由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，≌，由全等三角形的性质可得结果．
本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：若为底边长，为腰长，则它的周长为：；
若为底边长，为腰长，则它的周长为：；
它的周长为或．
故答案为：或．
分别从为底边长，为腰长与为底边长，为腰长，去分析求解即可求得答案．
此题考查了等腰梯形的性质．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
 

14.【答案】一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形  真 

【解析】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，为真命题，
故答案为：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；真．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
解得．
．
故答案为：．
先设，由可知，，由可知，由三角形外角的性质可知，根据可知，再在中，由三角形内角和定理即可得出关于的一元一次方程，求出的值即可．
本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理、三角形外角的性质等隐含条件．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于，
绕点顺时针旋转至，
，，
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案：．
通过作辅助线得到等边三角形，由角的度数知道是角的平分线，根据三线合一得到线段的垂直平分线，于是得到是等腰直角三角形，求得，的长度，也就求出了，再由勾股定理求得，从而求出．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质三线合一，勾股定理的应用等知识点．
 

17.【答案】   

【解析】解：点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
故答案为：．
点和点关于对称．
，
点关于对称点是，
，
．

根据轴对称的性质，可知，，
所以的周长为：，
故答案为：
根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数；
根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长；
本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
 

18.【答案】解：



在数轴上表示为：



解不等式，得
解不等式，得
不等式组的解集为
在数轴上表示为：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得解集，依据大于向右、不包括该数用空心点在数轴上表示解集即可；
先分别解每个不等式，然后把解集表示在数轴上，确定公共部分．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

19.【答案】解：是的高，
．
，
．
平分，，
，
． 

【解析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题．
利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，可得结论．
 

20.【答案】解：解方程，得．
，
，
解得，
的整数值是，． 

【解析】先用的式子表示，再根据，列出不等式组，求出不等式组的解集，再从中找出的整数值．
此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次方程的解，根据的取值范围，得出的整数解．
 

21.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
又平分，
． 

【解析】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质的应用．
根据平行线性质求出，根据推出即可．
根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质求出即可．
 

22.【答案】解：设种类型店面的数量为间，则种类型店面的数量为间，
根据题意得
解之得
种类型店面的数量为，且为整数；

设应建造种类型的店面间，则店面的月租费为


，为减函数，
又
为使店面的月租费最高，应建造种类型的店面间． 

【解析】关键描述语为：全部店面的建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的关系式为：种类型店面面积种类型店面面积；种类型店面面积种类型店面面积．
店面的月租费种类型店面间数种类型店面间数，然后按取值范围来求解．
解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．注意本题的不等关系为：建造面积不低于大棚总面积的，又不能超过大棚总面积的；并会根据函数的单调性求最值问题．
 

23.【答案】证明：在中，、分别是边、上的高线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形；

证明：在中，、分别是边、上的高线，
，
是的中点，
，
是等腰三角形，
是的中点，
；

解：、分别是边、上的高线．
，
是的中点，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
，
． 

【解析】由在中，、分别是边、上的高线，，利用可判定≌，则可得，继而证得；
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判定，可得是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一，可证得；
由，可求得，可判定是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线得，由等边三角形的性质即可求解．
此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．