2022-2023学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 长度分别为，，的三条线段首尾连接能组成一个三角形，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 如图，点在上，≌，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连结若，，则的长为(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，中，、分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
   ；
   为等腰三角形；
   的周长等于的周长；
   其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图是单位长度为的正方形网格，点，，都在格点上，则点到所在直线的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 命题“如果，那么”的逆命题是______．
12. 等腰三角形的两条边长为，，则等腰三角形的周长为______．
13. 如图所示，在中，是斜边上的高，，则______度．

14. 如图，是的角平分线，，，点在上，连接，则的最小值为______．

15. 如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，，已知，，，则为______．

16. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连结，设点运动时间为秒．当是等腰三角形时，则______秒．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，，，，证明：≌．

18. 本小题分
    如图，在正方形网格中点，，均为格点．按要求作图保留作图痕迹，不写作法：
    作出关于直线的对称图形；
    在直线上找一点，使最小．

19. 本小题分
    如图，在中，，和分别是，上的高，它们相交于点，．
    求证：≌；
    ．

20. 本小题分
    如图，在中，点是上一点，且，，，连接交于点．
    若，求的度数；
    若求证：平分．

21. 本小题分
    如图，在中，，点为边的中点，点在线段上，于点，连接，已知，．
    求证：．
    若，求线段的长．

22. 本小题分
    如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段的一点．现以为直角边，为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接．
    如图，求证：≌．
    当、、三点共线时，如图，若，求的长．
    如图，若，连接，当运动到使得时，求的面积．

23. 本小题分
    思维启迪：
    如图，点是线段，的中点，则与的数量关系为______，位置关系为______；
    思维探索：
    如图，在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
    如图，在中，，，点为中点，点在线段上点不与点，点重合，连接，过点作，连接若，，请直接写出的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】

解：不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．

2.【答案】 

【解析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得到答案．
解：，
，
只有选项符合题意．
故选：．
此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
 

3.【答案】 

【解析】解：当，时，
，但是
，是假命题的反例．
故选：．
据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
此题考查的是命题与定理及反证法，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：≌，
，，
，
故选：．
根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
C、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
注意：当等腰三角形中有一个角是锐角时，可能是它的底角，也可能是它的顶角；当等腰三角形中有一个角是钝角时，只能是它的顶角．
此题要分情况考虑：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算．
【解答】
解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选：．
根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图，也考查了线段垂直平分线的性质．
利用线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，则为斜边上的中线，然后根据勾股定理计算出，从而得到的长．
【解答】
解：由作法得垂直平分，
，，，即，

，
，
，
，

，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：是的角平分线，
，
又，
，
，
故正确；
同理，
，
为等腰三角形，
故正确；
假设为等边三角形，则，如图，连接，

，，
，，
的周长，
是，的平分线的交点，
第三条平分线必过其点，
即平分，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即的周长的周长，
故错误；
在中，，
在中，，
即，
得，，
故正确；
故选：．
根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出；
同理可得，则为等腰三角形；
用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，进而得，便可得出的周长不等于的周长；
利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的和之间的关系式．
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：
，
设点到所在直线的距离为．
，
，
，
解得．
故选：．
根据的面积边长为的正方形面积直角边为的等腰三角形的面积个直角边分别为和的三角形面积，的面积，列等式求出．
本题考查了勾股定理、分母有理化，掌握用等面积法求点到所在直线的距离是解题关键．
 

11.【答案】如果，那么 

【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，
故答案为：如果，那么．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
当为腰时，其它两边为和，
，所以不能构成三角形，故舍去，
答案只有．
故答案为：．
因为已知长度为和两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，是斜边上的高，，
，，
，
故答案为：．
首先根据余角的性质求出的度数．
本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于，
是的角平分线，，
，
则的最小值为，
故答案为：．
作于，根据角平分线的性质求出，根据垂线段最短得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
故答案为：．
根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可．
本题考查的是勾股定理及其应用，解题的关键在于把握题中的隐含条件，得出．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得：．
当时，，
，
；
当时，，
则，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
；
当时，
，，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
，
；
综上所述，是等腰三角形时，的值为或或．
故答案为：或或．
分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

17.【答案】证明：，
，即，
在与中，

≌． 

【解析】利用，即可得出，再利用全等三角形的判定得出即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，点即为所求． 

【解析】根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
连接交直线于点，则点即为所求．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，和分别是，上的高，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据证明≌即可．
由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，，
，
，
，
，
．
证明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
平分． 

【解析】由得，则，再根据平行线的性质得；
先证明≌，得，所以，则平分．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，正确运用三角形内角和定理及证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，点为边的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
． 

【解析】根据直角三角形的性质可得，根据外角的性质可得，，根据等角对等边即可得证；
根据先求出的长，再解直角三角形即可求出的长．
本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，
，都是等腰三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌；

解：如图，

，，
，
≌，
，
，
，
．

如图，作于．

，
，
≌，
，，
，，
，，
，，，
，，
是等边三角形，
，
． 

【解析】如图，根据证明≌即可．
利用全等三角形的性质，证明，再利用勾股定理即可解决问题．
如图，作于证明是底角为的等腰三角形，求出，，，即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

23.【答案】   

【解析】解：结论：，．
理由：如图中，点是线段，的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，，
．
故答案为：，．

结论：．

理由：延长到，使得，连接，，．
，，
同法可证，，
，
，
，
，
，，
，
；

如图中，延长到，使得，连接，延长交于点．

，，
同法可证，，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
．
结论：，证明≌，可得结论；
结论：延长到，使得，连接，，利用中结论，以及勾股定理解决问题即可；
如图中，延长到，使得，连接，延长交于点利用中结论，证明是等腰直角三角形，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造熟悉的模型解决问题，属于中考压轴题．