第一章求集合的子集和真子集及个数问题练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

求集合的子集和真子集及个数问题

一、单选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     满足的集合M共有(    )

A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个

2.     设集合，且，则集合B中元素的个数为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

3.     若，则，称A为“影子关系”集合．下列对集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合叙述正确的是(    )

A. 集合个数为7 B. 集合个数为8
C. 含有1的集合个数为4 D. 元素个数为2的集合有2个

4.     已知集合，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是(    )

A. 1 B.  C. 0 D. 2

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

5.     已知集合，则列举法表示集合__________，集合A的真子集有__________个.
6.     已知集合，且满足，则 __________；集合A的子集个数为 __________.
7.     若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的个数是__________.
8.     ，则集合M的真子集个数为__________.

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.     本小题分

已知A，求实数a的值；

已知集合R，若集合A有两个子集，求实数a的值．

10. 本小题分

已知集合，其中a为常数，且

若A中至少有一个元素，求a的取值范围；

若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合之间的关系，属于基础题.
根据题意，M是的真子集中含有元素a的集合，依次列举集合M可得答案．

【解答】

解：集合M必含元素a，且为的真子集，
可按元素个数分类依次写出集合M：
，，，，，，一共有7个，
故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系，集合中元素的个数，属于基础题．
根据集合，且，故集合B中的元素有0，1，

【解答】

解：由于集合，且， 
，
故B中元素个数为3个，
故选

3.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系，集合个数问题，考查了新定义的理解，属中档题.
先求出满足题意的所有集合，然后结合选项分析即可求解.

【解答】

解：由题意，集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合为：

，共7个，故A正确，B错误；
含有1的集为，共4个，故C正确；
元素个数为2的集为，共2个，故D正确.
故选

4.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查集合的子集问题，属于中档题．
由题意知，集合A是一个单元素集，因而可讨论和，即可求得结果．

【解答】

解：由题意知，集合A是一个单元素集．
①当时，集合，有且仅有两个子集；
②当时，要使集合A有且仅有两个子集，只需，即，此时或，符合题意．
所以或或
故选

5.【答案】

15

【解析】

【分析】

本题考查集合的求法，考查集合的真子集个数的求法．
利用列举法能求出集合A，进而能求出集合A的真子集的个数．

【解答】

解：集合，
列举法表示集合，
集合A的真子集有个．
故答案为：，

6.【答案】

4

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，集合的子集个数，根据，将1代入方程求得a的值，进而得到方程的另一个根，得出集合A的元素个数，然后利用列举法或公式法求得子集个数.

【解答】

解：，，解得，
A中的方程为，解得或，
，
集合A的子集有，，，，共4个.
故答案为；

7.【答案】3 

【解析】

【分析】

本题考查集合子集的定义，属于基础题.
若集合A有且只有2个子集，则方程有且只有1个实数根，分类讨论求实数k的值.

【解答】

解：若集合A有且只有2个子集，则方程有且只有1个实数根，
即时：方程只有1个根，符合题意，
时：只需，解得：或，
故满足条件的k的值有3个，
故答案为：

8.【答案】15 

【解析】

【分析】

本题考查求集合的真子集的个数问题。
首先由已知条件求得，再求其真子集个数，问题得解.

【解答】

解：由题意集合，
，
，
集合M中有4个元素，有个真子集.
故答案为

9.【答案】解：因为，所以有或，显然

当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去；

当时，解得，，
由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，
当时，，符合题意，

故

因为集合有两个子集，所以集合A中有1个元素，
①时，，集合A有两个子集，符合题意;
②，即，此时，集合A有两个子集，符合题意，
综上所述，或

【解析】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.
因为，所以有或，
再检验是否满足集合元素的互异性即可得到答案；

由于A中有1个元素，则关于x的方程只有1个根分两种情况求解.

10.【答案】解：当A中恰有一个元素时，
若，则方程化为，
此时关于x的方程只有一个实数根；
若，则令，解得，
此时关于x的方程有两个相等的实数根，
当A中有两个元素时，则，且，
解得，且，
此时关于x的方程有两个不相等的实数根，
故时，A中至少有一个元素；
，由，解得，满足题意，因此
时，因为A中至多有一个元素，
，解得
故A中至多有一个元素时，a的取值范围为或 

【解析】本题考查了元素与集合的关系，考查了一元二次方程根的个数问题，考查运算求解能力和分类讨论能力，属于中档题.
分情况讨论，当A中恰有一个元素时，分，两种情况，当A中有两个元素时，判断此时应满足的条件，进而求出答案；
对a分类讨论，，直接验证是否满足题意；时，由A中至多有一个元素，可得，即可得出答案.