基本不等式的理解及应用练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破

基本不等式的理解及应用

一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    九章算术中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形黄和两个小直角三角形朱、青将三种颜色的图形进行重组，得到如图所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是 (    )

A. 由图和图面积相等得
B. 由可得
C. 由可得
D. 由可得

2.    如图在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是(    )

A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
D. 对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
 

3.    已知，，若恒成立，则实数的取值范围是(    )

A. 或 B. 或
C.  D.

4.    如图，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则由可得(    )

A.  B.
C.  D.

5.    已知，，，，，则，，的大小关系为  (    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

6.    已知正数，，则下列不等式中恒成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则(    )

A.  B.
C.  D.

8.    若则下列不等式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

9.    几何原本中的几何代数法用几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法， 很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”设，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，过点作的垂线，垂足为则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段          的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为          ．
10. 设正数，，满足，则 __          ____ ．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了学生的分析问题和解决问题的能力．
利用题目所给条件，结合三角形面积和勾股定理，逐项计算得结论．

【解答】

解：对于，由图和图面积相等得，所以，故A错误；
对于，因为，所以，
所以，，
因为，所以，整理得，故B错误；
对于，因为为斜边的中点，所以，
因为，所以，整理得，故C正确；
对于，因为，所以，整理得，故D错误．
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式及其应用，考查数形结合思想以及推理能力，属于基础题．
观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系，得到并判明何时取等即可．

【解答】

解：通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
如图整个大正方形的面积大于等于个小三角形的面积和即，
即．
当时中间空白的正方形消失，即整个大正方形与个小三角形重合，其他选项通过该图无法证明，
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用以及一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题和解决问题的能力．

先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得，进而求得的范围．

【解答】

解：，，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

若恒成立，则恒成立，
，解得．
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式的无字证明，属于中档题．
根据图形知，由勾股定理求，由垂线段最短知，由此选出答案．

【解答】

解：易求：，
，

在中，，
显然，则
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的应用根据基本不等式，可得结果．
由基本不等式的性质进行比较即可．

【解答】

解：，
根据基本不等式，，，
当且仅当时，等号成立．

，即．

故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式，属于中档题．

由即可判定；由即可判定；由即可判定；由可得，再利用不等式的性质可判定．

【解答】

解：因为，均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，A正确
因为，均为正数，所以，当且仅当时，等号成立，B正确
因为，均为正数，所以，，当且仅当时，等号成立，C正确
因为，均为正数，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，不正确．
故选ABC．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

根据题意，设甲、乙两地之间的距离为，求出全程所需的时间，计算可得的值，可得D正确，进而由基本不等式的性质分析A正确，即可答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是求出平均速度，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，
则全程的平均速度，D正确，
又由，由基本不等式可得因为，所以取不了等号，
则，
同时，，
则，A正确，
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质、以及基本不等式比较大小，属于基础题．
先判断出

对于：分别判断左右两边的正负，即可判断；

对于：利用基本不等式进行计算即可

对于：利用不等式的可乘性进行判断；

对于：可以取，进行否定结论．

【解答】

解：因为，所以

对于：由可得：，所以故A正确；

对于：因为，所以且均不为，由基本不等式可得：故B正确

对于：因为，所以对同乘以，得到，即故C正确；

对于：可以取，满足，但是故D不正确．

故选：．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了三角形相似的应用，考查直角三角形性质的运用，属于较难题．
根据∽得线段的长度是，的调和平均数；运用直角三角形斜边和直角边的大小关系进行比较．

【解答】

解：，，
，∽，，即线段的长度是，的调和平均数；
由图可知在中，，，
当点与点重合时，，即当且仅当时，
故，当且仅当时等号成立，
故答案为：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

利用基本不等式的性质“取等号的条件”即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．

【解答】

解：，，为正数，

当且仅当：：：：时，取等号．
，
，
此时有，，
．
故答案为：．