第三章 函数的值域练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

函数的值域

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿、欧拉并列为世界四大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，已知函数，则函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，，若，则的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

3.     若函数的值域是，则函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     若函数，则的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知，则的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     函数的值域为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     函数的值域是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

8.     已知函数的值域为则实数a与实数m的取值可能为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.     下列函数中值域为全体实数的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

10. 对于定义域为D的函数，满足存在区间，使在上的值域为，求实数k的取值范围__________.
11. 已知函数的定义域为R，值域为，则实数__________，__________.
12. 已知R，函数，若，则__________，函数的值域是__________.
13. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________.
14. 函数的值域是__________.
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的值域，涉及到数学文化，属于基础题.
根据题意，先用分离常数法求解的值域，结合“高斯函数”定义，讨论的值域.
 

【解答】

解：，
，
当时，
当时，，
函数的值域为，
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查对定义的理解，分类讨论的思想，以及函数值域的概念，属于中档题．
先对x取值进行分类讨论，即可求的值域为

【解答】

解：时，，，；
时，，，；
时，，，；
时，，，；
时，，，；
时，，，；
时，，，；
时，，，；
的值域为
故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域，属于基础题.
令，则，求出函数y的单调性，求出函数的最值，从而可求出函数的值域.

【解答】

解：令，，则
根据对勾函数性质得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，
故选

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的值域，注意运用函数的单调性和二次函数的值域，考查化简运算能力，属于中档题．
由在递增，以及二次函数的值域求法，即可得到所求的值域．

【解答】

解：函数，

当时，递增，可得；

当时，，
令，
结合二次函数得图像开口向下，对称轴为，
可得即

即有

可得的值域为

故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数的值域.

画出函数图像，结合图像即可确定函数的值域.

【解答】

解：，
作出函数图象，如图中实线部分：
 

易得A点坐标为，
所以函数的值域为

故选

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.
令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解.

【解答】

解：令，，

令，则，
原函数化为，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
又当时，，当时，，当时，
函数的值域为，
则函数的值域为
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查利用换元法求解函数的值域，属于中档题.
根据题意，利用换元法，令，得出，，则将原式转化为关于t的二次函数，再根据二次函数的图象与性质，即可求出的最值，即可得出答案.

【解答】

解：由题意可得，

令，则，，

所以，

当时，取得最大值为1，没有最小值，

所以函数的值域是

故答案选：

8.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域及函数单调性的应用，同时考查利用基本不等式求最值，属中档题.
将变形，构造函数，，然后结合函数的单调性和基本不等式，逐一分析求解即可.

【解答】

解：，
令，，记，，
对于A，若，则在单调递增，
所以，即的值域为
所以的值域为
所以，所以A正确;
对于B，若，则在单调递增，
所以，即的值域为
所以的值域为，所以，所以B正确;
对于C，当时，在单调递增，
所以，即的值域为
所以的值域为
所以，所以C正确.
对于D，若，则，
当且仅当时取等号，
所以的值域为
所以的值域为
所以，所以D不正确;
故选

9.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了函数定义域与值域，属于基础题.
求得各选项的值域，从而得结论.

【解答】

解：选项A：为增函数，函数的值域为R.
选项B：函数的值域为，不符合题意． 
选项C：当时，，当时，，所以函数的值域为R.
选项D：换元法令，，则，令，，
因为在上单调递增，
所以，所以，即函数的值域不是R.
故选

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数值域的应用，根据条件判断函数的单调性，根据单调性建立方程，然后转化为一元二次函数是解决本题的关键．
先判断函数的定义域和单调性，根据函数定义域和值域之间的关系建立方程组，构造函数进行求解即可．

【解答】

解：若满足条件．
函数在上是增函数，
即，
，b为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实根，
设，
当时，有，解得，
当时，有，无解，
综上所述，
故答案为：

11.【答案】

3

【解析】

【分析】

本题主要考查函数值域的应用，结合条件利用判别式法是解决本题的关键．
根据函数的定义域为R，值域的范围，整理成一元二次方程，利用判别式法进行转化求解即可．

【解答】

解：函数的定义域为R，
，
得，
当时，，有解，
当时，判别式，
即，
即不等式的解集为，
则，且，，
得，，即，
故答案为：；3

12.【答案】0或4

【解析】

【分析】

本题考查分段函数求值问题，属于基础题.
由条件可得，即可得，从而可求得a的值.

【解答】

解：因为函数，
所以，
所以，
解得或，
所以或
时，
时，，，时，，，
所以时，函数的值域为；
时，
时，，，时，，，
所以时，函数的值域为
综上可得函数的值域为

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数的性质及应用，也涉及函数的值域问题，属于中档题.
根据题意，按，和三种情况，讨论函数的值域即可.

【解答】

根据题意，函数，
分三种情况讨论：

①若，，
其值域为，不符合题意；

②若，
当时，，有最大值2a；

当时，，

若函数的值域为R，
则必有，即，
不符合题意；

③若，
当时，，有最小值2a；

当时，，

若函数的值域为R，则必有，
即，故有，
即a的范围为

故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

主要考查利函数的值域的求解，属于基础题．

可以分离常数求值域，也可以化为一个关于x的一元二次方程，由判别式求值域，但要验证端点值．

【解答】

解：方法一分离常数法：，

设，

故答案为：
方法二判别式法：由，
得，
即，
则，
整理得，解得，
当时，；当时，x无解，
所以函数的值域为