第三章 函数的最值及参数问题练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

函数的最值及参数问题

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：偶函数；值域是，且；在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(    )

A. ① B. ② C. ③ D. ④

2.     已知函数是幂函数，对任意，且，满足，若a，，且，则的值   

A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断

3.     已知幂函数在上为减函数，则(    )

A.  B. 9 C.  D. 3

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.     已知幂函数，则下列结论正确的有(    )

A.
B. 的定义域是R
C. 是偶函数
D. 不等式的解集是

5.     已知函数图象经过点，则下列命题正确的有(    )

A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 若，则
D. 若，则

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

6.     已知幂函数的图象过点，则__________，由此，请比较下列两个数的大小：__________
7.     幂函数的图像过点，则的减区间为__________.
8.     已知幂函数为定义域上的奇函数，则__________.

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.     本小题分

已知幂函数，满足

求函数的解析式.

若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？

若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由.

10. 本小题分
    已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
    求函数的解析式；
    若，求x的取值范围；
    若实数a，满足，求的最小值．
11. 本小题分

已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数.

求m和k的值;

求满足的a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的单调性值域和奇偶性，属于较综合的中档题.
据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项.

【解答】

解：①只满足值域是，且；

③只满足在上是增函数；
④只满足在上是增函数；
②是偶函数，在上是增函数，但其值域是

故选：

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质，单调性，幂函数的定义，属于中档题.
由题意，判断函数的单调性及幂函数的性质求解.

【解答】

解：对任意，且，满足，得函数在上单调递增.
函数是幂函数，
则或
又函数单调递增，故，，
所以，
，且，，
所以
故选：

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题．
由幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，写出函数解析式，再计算的值．

【解答】

解：
由幂函数在上为减函数，
所以，
解得，
所以，
计算

4.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数的定义，考查了幂函数的性质，属于基础题．
先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数的解析式，可判定选项A，B，利用偶函数的定义判定选项C，利用函数的奇偶性和单调性解选项D的不等式即可．

【解答】

解：幂函数，
，
，
，定义域为，故选项B错误，
，选项A正确，
，定义域关于原点对称，
又，
是偶函数，选项C正确，
，
在上单调递减，在上单调递增，
不等式等价于，

解得：或，故选项D正确，
故选：

5.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的性质，属于中档题.
根据图象过点，求出，判定奇偶性与单调性判定即可；

【解答】

解：将点代入函数，得，则
所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.
当时，，即，所以C正确.
当若时，


即成立，所以D正确
故选

6.【答案】

>

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，属于一般题．
用待定系数法求出幂函数的解析式，判断该函数是定义域上的偶函数，且在上是减函数；由此比较与的大小．

【解答】

解：幂函数的图象过点，
即，解得，
所以，其中；
所以是定义域上的偶函数，且在上是减函数；
由，
所以
故答案为

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，求函数的单调区间．
设幂函数为，则由的图象过点，求得的值，可得函数的解析式，再由复合函数单调性遵循“同增异减”原则，求得函数的减区间.

【解答】

解：设幂函数为，
由的图象过点，
可得，，
故，
所以，
由，得或，
函数，对称轴为，
故函数的单调递减区间为
故答案为

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与应用问题．
根据幂函数的定义求出t的值．

【解答】

解：函数是幂函数，
，
解得：或；
当时，是偶函数，不满足题意；
当时，是奇函数，满足题意；
综上，

9.【答案】解：是幂函数，得，解得或，
当时，，不满足
当时，，满足
故得，函数；
由函数，即，，
令，则，
记，，其对称轴，
①当，即时，则，解得；
②当时，即时，则，解得，不满足，舍去；
③当时，即时，则，解得，不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为0；
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数a，，使函数在上的值域为，
则，
②-①可得：
③，
将③代入②得，，
令，
，，即，
则，即，即，
，得：
故得实数n的取值范围 

【解析】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于较难题．
根据是幂函数，可得，求解p，结合，可得解析式；
由函数，，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；
由函数，求解的解析式，判断其单调性，根据在上的值域为，令，化简为一元二次函数，求解n的取值范围．
 

10.【答案】解：幂函数是偶函数，且在上单调递增，
，且 为正偶数，
，，故
，，，
即，求得
故x的取值范围为
若实数a，满足，，即，
则
，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为 

【解析】本题主要考查幂函数的定义和性质，解一元二次不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式．
由题意可得，，两边平方，解一元二次不等式，求得x的范围．
由题意可得，利用基本不等式求得的最小值．
 

11.【答案】解：幂函数，
，解得或3，

又因为幂函数在上是减函数，
，解得，

，或，
又因为幂函数图象关于y轴对称，
当时，，图象关于y轴对称，符合题意；
当时，，图象关于原点对称，不合题意， 
综上，或3，；

由可得，
原不等式可化为，
而函数在和上分别为减函数，
所以不等式可化为：或或，
解得或

【解析】本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
由幂函数的定义求出k，由幂函数的单调性求出m；
将不等式化为，根据函数的单调性，可得或或，故可求出a的取值范围.