第三章 幂函数的概念与图象练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

幂函数的概念与图象

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     在同一坐标系内，函数和的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

2.     若幂函数的图象过点，则函数的最大值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

3.     若幂函数的图像经过点，则的定义域为(    )

A. R B.
C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.     已知幂函数为常数，则下列说法正确的是         

A. 幂函数的图象过定点
B. 若，则函数的定义域为R
C.
D. 若，则对于任意的，都有

5.     已知幂函数，则下列结论正确的(    )

A.  B. 的值域为R
C. 为奇函数 D. 不等式的解集

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

6.     如图，已知正方形OABC，其中，函数交BC于点P，函数交AB于点Q，当最小时，则a的值为__________.

7.     若为幂函数，且满足，则__________.

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

8.     本小题分

已知幂函数过点

若，，判断与的大小关系，并证明；

求函数在区间上的值域．

9.    本小题分

已知为二次函数，且的两个零点为1和3，为幂函数，且和都经过点

求函数的定义域；

当时，求函数的值域．

10. 本小题分

若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，求函数的最大值以及单调区间．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数和一次函数的图象和性质，属于中档题．
根据幂函数和一次函数的单调性及在y轴上的截距即可判断．

【解答】

解：逐一分析四个答案中的图象：
A：由于幂函数的图象过第一象限，且是减函数，，与一次函数是增函数矛盾，故不可能；
B：由于幂函数的图象过第一，三象限，且是增函数，，与一次函数在y轴上截距为正矛盾，故不可能；
C：由于幂函数的图象过第一，二象限，且是偶函数，，与一次函数的图象相符，故正确；
D：由于幂函数的图象过第一象限，且是减函数，，与一次函数在y轴上的截距为负矛盾，故不可能；
故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数及函数求最值，属中档题目.
根据题意，设幂函数关系式为，代入点求得幂函数解析式，利用换元法以及二次函数的性质可求.

【解答】

解：由题意，设幂函数解析式为，
将点代入，可得，
解得，
所以函数解析式为，
令
，
当时，
故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的解析式与定义域.
由题意得，幂函数，即可求其定义域得解．

【解答】

解：为幂函数，设

又的图像经过点，
，解得：，，

的定义域为

故选：

4.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数，属于中档题.
根据幂函数的概念，幂函数的图象和性质逐项判断即可.

【解答】

解： 若，则幂函数的图象不过点，故A错误；
， 则的定义域为，故B错误；
 函数，其中是定义域上的偶函数，且在上是减函数，
，，故C正确；
D：，则，当时等号成立，故D正确.
故答案为

5.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了幂函数的定义，考查了幂函数的性质，属于中档题．
先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数的解析式，可判定选项A，B，利用偶函数的定义判定选项C，利用函数的奇偶性和单调性解选项D的不等式即可．

【解答】

解：幂函数，
，，
，定义域为，值域为，故选项B错误;
，故选项A正确;
，定义域关于原点对称，
又，
奇函数，故选项C正确;
，
在上单调递减，在上单调递增，
不等式等价于，
解集故选项D正确.
故选

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查幂函数的性质，基本不等式的应用．
由已知可得P，Q坐标，进而可得，由基本不等式可得答案．

【解答】

解：由题意得：P点坐标为，Q点坐标为，
，
当且仅当时，取最小值，
故答案为：

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
设，由，得，从而，由此能求出

【解答】

解：为幂函数，且满足，
设，则，
解得，
，

故答案为

8.【答案】解：幂函数过点，，，，

，证明如下：

即

又，.

法一：令，，，

，又因为在上为减函数，

当时，y的最大值为0；当时，y的最小值为

所以函数在区间上的值域为

    法二：，

，，，解得，

所以函数在区间上的值域为

【解析】本题考查幂函数的概念，求函数的值域，属于综合题.
由幂函数的概念得到解析式，利用作差法可得结果.
法一：换元，令得，由函数的单调性得到函数的值域;
法二：反解，由的范围得到y的范围.
 

9.【答案】解：由题意可得，设，，

又过点，，，

，

设，由经过点知，，，

，

，

，或，

的定义域为

令，，，

所以，

当时，；时，，

所以的值域为

【解析】本题考查待定系数法求解函数的解析式，以及函数的定义域、值域，属于中档题.
根据零点的定义，结合二次函数和幂函数的定义，运用待定系数法求出函数、的解析式.

求出函数的表达式，结合一元二次方程的解法进行求解即可；

利用换元法，结合幂函数的单调性和配方法进行求解即可.

10.【答案】解：设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以
设，
因为点在幂函数的图像上，
所以，解得，
所以
所以
作出函数的图像如图所示，

可知函数的最大值为1，
的单调递增区间是，单调递减区间是和 

【解析】本题考查幂函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，同时考查分段函数的运用，函数的单调性和最值的求法，属于中档题．
设，，代入点的坐标，解方程可得，的解析式，再由定义，求得的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间.