等式与不等式的性质及应用练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一第二章重难点突破

等式与不等式的性质及应用

一、单选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知，且，对于任意均有，则 (    )

A.  B.  C.  D.

2.    设，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

3.    生活经验告诉我们，克糖水中有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是(    )

A. 若，则与的大小关系随的变化而变化
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则一定有

4.    对于实数，，，正确的命题是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则， D. 若，，则

5.    已知，，则下列不等式不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6.    对于实数，，有下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则；若，，则，．

其中是真命题的是          写出所有真命题的序号．

7.    如果，给出下列不等式：
   ；；；；；．
   其中一定成立的不等式的序号是          ．
8.    已知，，则的取值范围          
9.    已知，若，则的取值范围是___________．
10. 已知存在实数满足，则实数的取值范围为          ．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质．
分情况讨论，结合不等式的性质分析即可得到答案．

【解答】

解：因为，所以且
设，
可得有三个零点，，，且．
由题意知，在上恒成立，
则，，，
可得，恒成立，排除、．
我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．
则有或或三种情况，
此时显然成立若，则不成立
若，即，
可得，且和都在正半轴上，符合题意，
综上恒成立．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的性质，利用不等式的基本性质判断不等关系，属于中档题．
根据不等式的性质可判断，利用作差法比较大小可判断，取特殊值可判断，．

【解答】

解：对于，，
  ，，故A正确
对于，，，
，
，故B错误
对于，当时，，故C错误
对于，当，时，，，
，故D错误．
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了不等式的性质，属于较难题．
根据“糖水不等式”，即可判断；举反例即可判断；根据不等式的性质结合“糖水不等式”即可判断；利用不等式的性质即可判断．

【解答】

解：对于，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；

对于，当时，，故B错误；

对于，若，则，

根据“糖水不等式”，，即，故C正确；

对于，若，则，

所以，

所以，故D正确．
故选CD．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质、利用作差法比较大小，属于基础题．
利用不等式的性质和作差法，结合带特值，对各选项逐项判定，即可求出结果．

【解答】

解：选项，因为，
所以，，
所以，故A正确；
因为，
所以，所以，故B正确；
当，时，满足，但不满足，，故C错误；
因为，，
所以，
所以，故D正确．
故答案选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的基本性质考查学生推理能力，属于中档题．
利用不等式的性质来逐项比较大小即可．

【解答】

解：因为，，
所以，未知正负也可以为．
若，则，，
所以选项错误．
同理选项也错误．
因为，所以根据不等式的基本性质，不等号两边同时乘以一个小于的数时，不等号方向改变所以选项错误．
因为，，所以，B正确．
故选ACD．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了不等式的性质，属于拔高题．
根据不等式的基本性质逐一判断即可．

【解答】

解：对于，若，则与大小关系不定，故是假命题；
对于，若，知，则，故是真命题；
对于，由可得，由可得，，故为真命题；
对于，由得，，而，，
又，，故为真命题．
对于，由得，由，
又，，而，，，故为真命题．
故答案为．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的基本性质，还涉及基本不等式，准确应用不等式的性质是解决问题的关键．

根据不等式的基本性质逐个进行判断即可．

【解答】

解：因为  ，

当，时，显然不成立，故错误；

根据函数在上单调递增，可知当时，，故正确；

当，时，显然不成立，故错误；

当时，显然不成立，故错误；

当，时，，故错误；

，
所以，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
由得，，不能同时取等号，
把以上三个式子相加得：，
即，故正确；
故答案为．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

 本题考查利用不等式性质求代数式范围．
结合已知条件，，计算、，得，进一步求解即可，

【解答】

解：由题意设，
，即，
又，，
，即，
故答案为  ．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查不等式的性质求范围，属于基础题．
由题意结合不等式的性质，逐步推理可得的范围．
【解答】
解：当时，，，
故，即；
当时，，故，
又因为，所以，
又，所以，所以．
综上，．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质及求解，考查分类讨论思想，是中档题．
对分情况讨论，解不等式，即可求出的取值范围．

【解答】

解：，，
当时，，即，
当时，，即，无解．
综上可得．
故实数的取值范围是．
故答案为．