第二章 一元二次函数、方程和不等式练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一

第二章一元二次函数、方程和不等式

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知正数，，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    已知，，，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5.    设，，均为正数，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是(    )

A. 这两个方程的根都是负根 B. 这两个方程的根中可能存在正根
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

7.    已知正数，满足，则当          时，的最大值为          ．
8.    已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是          ．
9.    已知，则的最小值为          
10. 已知正实数，满足，则的最大值为          ．

四、解答题（本大题共10小题，共120.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 本小题分

若实数，，满足，则称比远离．

若比远离且，求实数的取值范围；

对任意两个不相等的实数，，证明比远离；

若，试问：与哪一个更远离，并说明理由．

12. 本小题分

如图，长方形表示一张单位：分米的工艺木板，其四周有边框，中间为薄板．木板上一瑕疵记为点到外边框，的距离分别为分米，分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米．

求证：；

为使剩下木板的面积最大，试确定，的值；

求剩下木板的外边框长度的长度之和的最大值及取得最大值时，的值．

13. 本小题分
    某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高．
    若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
    若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
14. 本小题分

某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为．

求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式；

求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值．

15. 本小题分

已知二次函数．

是否存在实数，，使不等式的解集是？若存在，求实数，的值，若不存在，请说明理由；

若为整数，，且方程在上恰有一个实数根，求的值．

16. 本小题分
    已知命题：“，都有不等式成立”是真命题．

求实数的取值集合；

设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

17. 本小题分

已知，，均为正数，求证：；

已知正数，满足，若恒成立，求实数的取值范围．

18. 本小题分
    已知，，．
    求的取值范围；
    若恒成立，求的取值范围．
19. 本小题分

已知函数．

若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；

求关于的不等式的解集．

20. 本小题分

已知，，，．

试比较与的大小，并证明；

分别求，的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，属于较难题．
由题意可得即对任意实数恒成立，令可得对任意实数恒成立，再令，有对任意实数恒成立，利用基本不等式求的最大值即可得出实数的范围．

【解答】

解：由题知，，对任意实数恒成立，
即，对任意实数恒成立．
令，则，
，对任意实数恒成立，
令，则，
，对任意实数恒成立，
，
又，当且仅当时等号成立，
，
，
，
实数的最小值为．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力和推理能力，难度较大．
由以及进行变形即可求解，注意等号成立的条件．

【解答】

解：由题意可得，，
，
当且仅当，即时取等号，
又，
，当且仅当时取等号，
，
，即，
，当且仅当且时取等号，
的最小值为．
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式的运用，注意化简变形和换元，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于难题．
化简配方可得，令，则，令，即，再由基本不等式计算可得最大值．

【解答】

解：，，．
则
，
令，
则，
令，即，
可得，
由，
当且仅当，时上式取得等号，
可得，
则的最大值为，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次不等式的解法，属于较难题．
根据题意及不等式的性质求解即可．

【解答】

解：由，整理可得，
由于该不等式的解集中的整数恰有个，则有，
此时，由于，故．
由不等式，解得，即，
又由，所以解集里的整数是，，，
所以，即，因此，
又，从而可得
解得，
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，属难题．
利用基本不等式结合已知变形所求式子即可得解．

【解答】

解：，，，，且，




，
当且仅当时取等号，
，故A正确；
，，，，且，



，
当且仅当时取等号，故B正确；
，，，，且，



，
由可知，
故，
当且仅当时取等号，故C正确；
，当时，，故D错误．
故选ABC．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查方程根的分布，考查韦达定理，考查转化思想以及计算能力，属于较难题．
运用韦达定理判断选项A，的正误；利用平方差公式判断的正误；利用根与系数的关系判断的正误即可．

【解答】

解：设方程的两根为、，方程的两根为、，
由题意知，，
又，，
这两个方程的根都是负根，故A正确，不正确；
，，，，
，故C正确．
由根与系数的关系可得：
，
由，均为负整数，
得：，故，
同理可得，得，
，故D正确．
故选：．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，考查转化与化归思想，属于拔高题．

令，由题意得，且，由基本不等式可得，解不等式，由此可求出答案．

【解答】

解：由得，

令，则，且，

又，当且仅当即时等号成立，

，即，化简得，

，或舍去，

，

故答案为：；．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了最值的求解，涉及了一元二次不等式的解法、基本不等式求最值的应用，解题的关键是将所求式子转化为只有一个变量，属于拔高题．
先利用一元二次不等式的解法得到以，，，从而得到，，之间的关系，然后将所求解的式子统一转化为表示，将式子进行化简变形，再利用基本不等式求最值即可．

【解答】

解：因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以，，，
故，则，
所以，又因为，
故
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
故答案为：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值，属于拔高题．
先运用基本不等式得到，化简后，再运用基本不等式，即可得到所求的最小值．

【解答】

解：根据题意，，
故，
当且仅当时等号成立，
则

，
又由，则，
则有，
当且仅当，即时等号成立，
综合可得：的最小值为，
当且仅当时等号成立，
故答案为：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式及其应用，是较难题．
直接利用关系式的变换、基本不等式的应用求出结果．

【解答】

解：因为

所以，

令，

所以，即，

所以，即，当且仅当时，等号成立．

故的最大值为．

故答案为：．

11.【答案】解：由题意，，
，，即，

两边平方，得，解得；

证明：，
，
，，
，
比远离

，当且仅当时等号成立，
，

从而，

时，

，

即；

时，

，

即；

综上，，即比更远离．

【解析】本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，分类讨论思想，属中高档题，难度较大．

由题意利用已知条件消去，得到，两边平方即得；

计算和，再比较和大小即可；

结合，将问题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，并结合消元思想，配方法可以得到结论．

12.【答案】解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，
，
则与相似，
从而，                      
所以，
即                           
欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小．
由得， ，
当且仅当，即，时，“”成立，
故当，时，剩下木板的面积最大．
       
欲使剩下木板的外边框长度最大，即要最小．
由知，，
当且仅当即，时，“”成立，
故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时，． 

【解析】本题考查了利用基本不等式求解实际问题，属于较难题．
先过点分别作，的垂线，垂足分别为，，可得到与相似，从而得到；
由题意利用基本不等式即可得到的最小值，从而得到剩下木板的面积最大；
由题意知要使最小，再由得到的与相乘，利用基本不等式即可得到的最小值，最后即可得到剩下木板的外边框长度的最大值．
 

13.【答案】解：由题意，得，
即，又，所以．
即最多调整名员工从事第三产业．
从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以，
所以，即恒成立．
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以．
所以的取值范围为． 

【解析】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．
根据题意可列出，进而解不等式求得的范围，确定问题的答案．
根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，利用基本不等式求得的取值范围．
 

14.【答案】解：由题意得，
当时，，代入上式，得．

所以．

当且仅当，即时取“”．

所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为．

【解析】本题考查基本不等式在实际问题中的运用，属于较难题．
由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式．

化简函数，利用基本不等式求解最小值即可．

15.【答案】解：不等式的解集为，
方程的两根是，．
则，解得，，又当时，不等式的解集不可能为，
不存在实数，使不等式的解集是．
，对于方程，
，
方程有两个不相等的实数根又方程在上恰有一个实数根，
，
解得，又，． 

【解析】本题考查二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系．
由一元二次不等式的解法可知的两根是，利用根与系数之间的关系求出，的值进行检验即可求解；
将代入原方程得：，由该方程的可知有两个不等的实数根，再由零点存在性定理列不等式，结合即可求解．
 

16.【答案】解：命题：“，都有不等式成立”是真命题，
得在时恒成立，
，得，
即．
是的充分不必要条件，则是的真子集，不等式，
当，即时，解集，
，此时；
当，即时，
解集，满足题设条件；
当，即时，
解集，
即，此时．
综上可得． 

【解析】本题主要考查了一元二次不等式在给定范围内恒成立问题以及含有参数的一元二次不等式的解法，解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，经常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论，属于拔高题．
分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，求出的范围；
通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合，“是的充分不必要条件”即，求出的范围．
 

17.【答案】证明  ，，均为正数，
，，，
当且仅当时等号成立，
以上三式相加，得，
，
即当且仅当时等号成立．

解：由于正数，满足，所以，
所以：，
则



，
当且仅当，等号成立，
要使恒成立，
只需满足即可，故．

【解析】本题考查了基本不等式和不等式的恒成立问题，是较难题．
由基本不等式得，，，以上三式相加，即可得证；
先化简，又易得，再由乘“”，利用基本不等式可得最小值，由可得实数的取值范围．
 

18.【答案】解：，，，
，，
，当且仅当时取等号，
．
令，则有恒成立．
解法一：在上恒成立，则在上恒成立，
函数在上的最小值为，，
的取值范围为．
解法二：当，即时，，，
当，即时，，
，，，
的取值范围为． 

【解析】根据条件可得，然后求出的范围即可；
令，则有在上恒成立．
解法一：将问题转化为在上恒成立，然后求出函数在上的最小值，即可得到的范围；
解法二：分和两种情况，求出的最小值，然后根据，求出的取值范围．
本题考查了基本不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属拔高题．
 

19.【答案】解：对任意的都成立，
当时，恒成立；
当，，即，解得，原不等式恒成立；
当时，原不等式不恒成立．
综上可得的范围是；
关于的不等式，
即为，
化为，
当时，可得，解得，解集为；
当，即，
可得，
则解集为；
当时，时，
可得，解集为且；
，即，
可得，
则解集为或；
时，即，
可得，
则解集为或
综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为且；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为或

【解析】本题考查不等式恒成立问题解法和二次不等式的解法，考查分类讨论思想，考查化简运算能力，属于较难题．
由题意可得对任意的都成立，讨论，，，进行求解即可；
由题意可得，化为，分类讨论，进行求解即可．
 

20.【答案】解：
 

．

因为，，所以，

当时，；当时， 

，．

当且仅当，即时取等号，

同理，当且仅当时取等号，

所以，当，时，的最小值为 
因为，，所以，，
从而，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以，
即，当且仅当时取等号，此时的最小值为．

【解析】本题考查了比较大小和利用基本不等式求最值，是拔高题．
由作差法比较大小即可；
由，则同理，可得的最小值；
由基本不等式得，，相加即可得出的最小值．