2022年北师大版九年级上册数学第一次月考试卷(含答案)

这是一份2022年北师大版九年级上册数学第一次月考试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版九年级上册数学第一次月考试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．3x﹣4＝0 B．x2﹣3x＝0 C．x+3y＝2 D．＝3
2．（3分）方程x（x﹣3）＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3
3．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个根为x＝1，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
4．（3分）如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C．0或4 D．0或﹣4
6．（3分）已知如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
7．（3分）今年，某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2019年单价为200元，2021年单价为162元，2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）
A．10% B．19% C．20% D．30%
8．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，下列结论：
①AP＝EF：②AP⊥EF；③△APD与四边形PEFD的面积相等．
其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）一元二次方程3x2﹣3＝0的一次项系数是 　 　．
10．（3分）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝4cm，则OE的长为　 　．

11．（3分）如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是 　 　．
12．（3分）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，已知：∠PCA＝∠PBC，则∠BPC的度数为 　 　．

13．（3分）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是 　 　．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（5分）用配方法解方程：x2+4x﹣7＝0．
15．（5分）用公式法解方程：2x2+5x﹣1＝0．
16．（5分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点，使CF＝BE，连接DF．求证：四边形AEFD是矩形．

17．（5分）已知3是一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根，求a的值和方程的另一根．
18．（5分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠A＝∠C．
求证：四边形ABCD为菱形．

19．（5分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．

20．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．

21．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
22．（7分）精准扶贫是我国扶贫开发工作中的重点工作，某村提倡贫困户在家承接手工产品提高经济收入．张大爷一家承接的手工产品成本每件10元，销售单价为20元时，每月销量为300件，销售价每降低1元，每月销量增加10件．政府根据每月销量补贴每件2元扶贫补助金．
（1）当销售单价定为15元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？
（2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元时，张大爷一家能获得3200元的收入？
23．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．

24．（8分）某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．

（1）若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由．
25．（8分）矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长．

26．（10分）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．
（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．


参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【分析】由已知方程得到两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
故选：C．
3．【分析】把x＝1代入方程x2+x+m＝0得1+1+m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+x+m＝0得1+1+m＝0，解得m＝﹣2．
故选：C．
4．【分析】由三角形内角和定理即可得出△ABC为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到AB的长等于CD长的2倍．
【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°．
∵AD＝DB，
∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝6．
故选：D．
5．【分析】由已知先确定m≠0，再由方程根的情况，利用根的判别式Δ＝4m2﹣16m＝0，求解m即可．
【解答】解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
解得m＝0或m＝4，
∴m＝4．
故选：B．
6．【分析】根据菱形、矩形、正方形的判断方法即可判定；
【解答】解：A、当AB＝BC时，它是菱形，正确；
B、当AC⊥BD时，它是菱形，正确；
C、当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；
D、当AC＝BD时，它是正方形，错误，应该是当AC＝BD时，它是矩形；
故选：D．
7．【分析】设平均每年降低的百分率是x，根据2019年及2021年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论
【解答】解：设平均每年降低的百分率是x，
根据题意列方程，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
即：2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是10%；
故选：A．
8．【分析】连PC，延长AP交EF于G，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝PC，对应角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF＝PC，由余角的性质可得AP⊥EF，再由△ABP和△CBP全等得S△APD＝S△CPD，由矩形得△EFP和△CFP面积相等，等量代换即可求解．
【解答】解：连接PC，延长AP交EF于G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①正确；
∵PE∥BA，
∴∠BAP＝∠EPG，
∵∠PFE+∠PEF＝90°，
∴∠EPG+∠PEF＝90°，
∴AP⊥EF，故②正确；
∵△ABP≌△CBP，
∴S△ABP＝S△CBP，
∴S△APD＝S△CPD，
∵S四边形PEFD＝S△PFD+S△PEF
＝S△PCF+SPFD＝S△PCD，
∴△APD与四边形PEFD的面积相等，故③正确．
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此求解即可．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣3＝0的一次项系数是0，
故答案为：0．
10．【分析】根据已知可得OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长．
【解答】解：∵OE∥DC，AO＝CO，
∴OE是△ABC的中位线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝4cm，
∴OE＝2cm．
故答案为：2cm．
11．【分析】根据平方根的定义解方程x2﹣9＝0即可求得a．
【解答】解：解方程x2﹣9＝0，
移项得，x2＝9，
解得，x1＝3，x2＝﹣3，
因为a＞b，
所以a＝3，
故答案为：3．
12．【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠PCB+∠BCP＝45°＝∠PBC+∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠PCA+∠BCP＝45°，
∵∠PCA＝∠PBC，
∴∠PBC+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135°．
13．【分析】证四边形BMPN是矩形，得BP与MN互相平分，则BO＝BP，当BP⊥AC时，BP最小，再由面积法求出BP即可．
【解答】解：连接BP，如图所示：
∵PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴∠PMB＝∠PMB＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，
∴BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴O是BP的中点，
∴BO＝BP，
当BP⊥AC时，BP最小，
此时，△ABC的面积＝AC×BP＝AB×BC，
∴BP最小值＝＝＝4.8，
∴BO的最小值＝BP＝2.4，
故答案为：2.4．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：移项得x2+4x＝7，
配方得x2+4x+4＝7+4，即（x+2）2＝11，
开方得x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
15．【分析】先找出a，b，c，求出Δ＝b2﹣4ac的值，再代入求根公式x＝．
【解答】解：∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝25+8＝33，
∴x＝＝＝．
即x1＝，x2＝．
16．【分析】先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥EF，AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴平行四边形AEFD是矩形．
17．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝3代入x2﹣2x+a＝0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2﹣2x﹣3＝0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+a＝0中得32﹣6+a＝0，
解得a＝﹣3，
将a＝﹣3代入x2﹣2x+a＝0中得：x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
所以a＝﹣3，方程的另一根为﹣1．
18．【分析】根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠CBD，根据全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，根据全等三角形的性质得出AB＝BC，AD＝DC，求出AB＝BC＝DC＝AD即可．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中
，
∴△ABD≌△CBD（AAS），
∴AB＝BC，AD＝DC，
∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝DC＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
19．【分析】连接BE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE＝DE＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．
【解答】证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AC，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD．
20．【分析】作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论．
【解答】证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．

21．【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；
（2）在k的范围内找出最大整数值，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤；
（2）∵k≤，
∴k的最大整数值为2，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
22．【分析】（1）直接利用每降低1元，每月销量增加10件，表示出总销量，进而得出政府补助金额；
（2）直接利用销量×每件利润＝3200，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：2×（300+5×10）＝700（元），
答：政府本月补助张大爷一家700元；

（2）设销售单价为x元，由题意可得：
（x﹣10+2）[300+10（20﹣x）]＝3200，
解得：x1＝18，x2＝40（不合题意舍去），
答：当某月销售单价为18元时，张大爷一家能获得3200元的收入．
23．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC•DF＝10．

24．【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式Δ＝﹣104＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出围成的鸡场面积不能达到180平方米．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米，
依题意得：x（30+2﹣2x）＝120，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝10，x2＝6．
当x＝10时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×10＝12＜18，符合题意；
当x＝6时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×6＝20＞18，不符合题意，舍去．
答：鸡场的长为12米，宽为10米．
（2）围成的鸡场面积不能达到180平方米，理由如下：
设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米，
依题意得：y（30+2﹣2y）＝180，
整理得：y2﹣16y+90＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×90＝﹣104＜0，
∴该方程没有实数根，
∴围成的鸡场面积不能达到180平方米．
25．【分析】（1）根据矩形的性质得出EH＝EG，EH∥GH，进而利用AAS证明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）连结EG，根据菱形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥GH，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠BFH，
∴∠BFG＝∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF与△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE．
（2）连结EG．在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，

∵E为AD的中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE∥BG且AE＝BG，
∴四边形EFGH中，EG＝FH＝4，
∴AB＝4，
∴菱形周长为16．
26．【分析】（1）根据全等三角形的判定得到△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质得到AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，求出∠CBF+∠AEB＝90°，求出∠BHE＝90°即可；
（2）过点A作AM∥GE交BC于M，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△BCF，由全等三角形的性质得到AM＝BF，根据AM∥GE且AD∥BC推出AM＝GE即可．
【解答】解：（1）AE＝BF且AE⊥BF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF．

（2）BF＝GE，
证明：过点A作AM∥GE交BC于M，
∵EG⊥BF，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAM＝∠CBF，
在△ABM和△BCF中
，
∴△ABM≌△BCF（ASA），
∴AM＝BF，
∵AM∥GE且AD∥BC，
∴AM＝GE，
∴BF＝GE．