2022年华师大版九年级上册数学第一次月考试卷(含答案)

这是一份2022年华师大版九年级上册数学第一次月考试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级上册数学第一次月考试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．）
1．（4分）有一组数据：1，2，3，3，4，这组数据的众数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（4分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A．0.215×108 B．2.15×107 C．2.15×106 D．21.5×106
3．（4分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞﹣ C．x D．﹣1
5．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
6．（4分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若BG＝3，CG＝2，CE＝6，则的值是（　　）

A． B． C． D．4
7．（4分）观察函数y1＝k1x+b1和y2＝k2x+b2的图象，当x＝1，两个函数值的大小为（　　）

A．y1＝y2 B．y1≥y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2
8．（4分）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AD＝BC B．AB＝CD C．AC＝BD D．AC垂直BD
9．（4分）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了m个人，则第二轮被传染上流感的人数是（　　）
A．m+1 B．（m+1）2 C．m（m+1） D．m2
10．（4分）如图，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则DG与GE的关系为（　　）

A．DG＝GE B．DG＞GE C．DG＜GE D．DG＝GE
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为 　 　．
12．（4分）如果，那么＝　 　．
13．（4分）分解因式：x2﹣4＝　 　．
14．（4分）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝6（m），AB在阳光下的影长BC＝3（m），在同一时刻阳光下DE的影长EF＝4（m），则DE的长为　 　米．

15．（4分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝5，P是AB边上的动点（不与A、B重合），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC相似线．设AP＝x，若经过点P能画△ABC的相似线最多只有3条，则x的取值范围是 　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）计算：﹣8÷2++（）﹣1．
18．（8分）解方程：x2﹣8x+7＝0．
19．（8分）先化简，再求值（），其中x＝2．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，AE∥CF，求证：AE＝CF．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）利用尺规在AC边上求作点E，使得EC＝ED（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，BC＝10，求DE的长．

22．（10分）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分）

A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
表2 民主测评票数统计表（单位：张）

“好”票数
“较好”票数
“一般”票数
甲
40
7
3
乙
42
4
4
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；
综合得分＝演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）当a＝0.6时，甲的综合得分是多少？
（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
23．（10分）如图：点（1，3）在函数y＝（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y＝（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：
（1）直接写出k的值，k＝　 　；
（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）
（3）当m＝时，求证：矩形ABCD是正方形．

24．（13分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
25．（13分）如图，已知点P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，点E，F分别在AD，BC上运动，且∠EPF＝45°，连接EF．

（1）求证：△APE∽△BFP；
（2）若△PEF是等腰直角三角形，求的值；
（3）试探究线段AE，BF，EF之间满足的等量关系，并证明你的结论．

参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．）
1．【分析】找出数据中出现次数最多的数即可．
【解答】解：∵3出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3；
故选：C．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，
故选：B．
3．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、俯视图是有圆心的圆，故A不符合题意；
B、俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、俯视图是三角形，故C符合题意；
D、俯视图不是三角形，故D不符合题意；
故选：C．
4．【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x≥﹣1，得：x≥﹣，
又x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x≥﹣，
故选：C．
5．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝6，
即（x﹣1）2＝6．
故选：B．
6．【分析】利用平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例求解．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝＝．
故选：C．
7．【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据图象即可作出判断．
【解答】解：由图象可知当x＝1时，y1＜y2．
故选：D．
8．【分析】证出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出四边形ABCD是菱形．
【解答】解：需要添加的条件是AC⊥BD；
理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
故选：D．
9．【分析】由每轮传染中一人传染的人数，可得出经过一轮传染后有染上流感得人数，再利用第二轮被传染上流感的人数＝经过一轮传染后有染上流感得人数×每轮传染中一人传染的人数，即可得出结论．
【解答】解：∵在每轮的传染中平均一个人传染了m个人，
∴经过一轮传染后有（m+1）人染上流感，
∴第二轮被传染上流感的人数是m（m+1）人．
故选：C．
10．【分析】连接AG并延长交BC于F，如图，利用重心的性质可判断AF为BC边上的中线，则BF＝CF，再根据平行线分线段成比例定理＝，＝，从而得到DG＝GE．
【解答】解：连接AG并延长交BC于F，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AF为BC边上的中线，即BF＝CF，
∵DG∥BF，
∴＝，
∵GE∥CF，
∴＝，
∴DG＝GE．
故选：A．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．【分析】根据点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）即可得到点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
12．【分析】首先由，求出a、b之间的关系，求得答案．
【解答】解：∵，
∴5a﹣5b＝3a，
∴2a＝5b，
∴＝．
13．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
14．【分析】根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作DF∥AC交地面与点F，EF即为所求；根据平行的性质可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长．
【解答】解：DE在阳光下的投影是EF如图所示；


∵△ABC∽△DEF，AB＝6m，BC＝3m，EF＝4m，
∴，
∴
∴DE＝8，
∴DE＝8（m）．
故答案是：8．
15．【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+5α+2β变形为α2+3α+2（α+β），即可求出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，
∴α2+3α＝7，
∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝7+2×（﹣3）＝1，
故答案为：1．
16．【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，过点P作AC的平行线，或过点P作BC的平行线，都可以截得的三角形与△ABC相似，

∵经过点P能画△ABC的相似线最多只有3条，
∴∠ACP＝∠B或∠BCP'＝∠A，
当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，则△ACP∽△ABC，
∴，
∴10x＝25，
∴x＝2.5，
当∠BCP'＝∠A，∠B＝∠B时，△BCP'∽△BCA，
∴，
∴10×（10﹣x）＝49，
∴x＝5.1，
∴当0＜x≤2.5或5.1≤x＜10时，经过点P能画△ABC的相似线最多只有3条，
故答案为：0＜x≤2.5或5.1≤x＜10．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．【分析】直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4+（﹣3）+3
＝﹣4．
18．【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：
分解因式可得（x﹣1）（x﹣7）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣7＝0，
∴x＝1或x＝7．
19．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：（）
＝•（x+1）（x﹣1）
＝2（x+2），
当x＝2时，原式＝2×（2+2）＝8．
20．【分析】证明四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
21．【分析】（1）由题意可知有两种方法：方法一，根据线段垂直平分线的性质，使点E在CD的垂直平分线上，方法二，根据等腰三角形的性质可利用平行线的性质、角平分线的性质推出∠ECD＝∠EDC，从而有EC＝ED；
（2）根据方法一求解，先利用垂直平分线的性质得出EC＝ED，从而推出∠EDC＝∠DCE，再根据角平分线的性质推出∠BCD＝∠，进而推出DE∥BC、△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
根据方法二求解，由DE∥BC得到∠ADE＝∠B，从而推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
【解答】（1）方法一：作CD的垂直平分线交AC于点E．∴点E就是所求作的点．
方法二：过点D作BC的平行线交AC于点E．∴点E就是所求作的点．

（2）当第（1）问用方法一时：
由（1）知DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝10，
∴，
∴，
∴DE＝4；
当第（1）问用方法二时：
由（1）知DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝10，
∴，
∴，
∴DE＝4．
22．【分析】（1）由题意可知：分别计算出甲的演讲答辩得分以及甲的民主测评得分，再将a＝0.6代入公式计算可以求得甲的综合得分；
（2）同（1）一样先计算出乙的演讲答辩得分以及乙的民主测评得分，则乙的综合得分＝89（1﹣a）+88a，甲的综合得分＝92（1﹣a）+87a，再分别比较甲、乙的综合得分，甲的综合得分高时即当甲的综合得分＞乙的综合得分时，可以求得a的取值范围；同理甲的综合得分高时即当甲的综合得分＜乙的综合得分时，可以求得a的取值范围．
【解答】解：（1）甲的演讲答辩得分＝（分），
甲的民主测评得分＝40×2+7×1+3×0＝87（分），
当a＝0.6时，甲的综合得分＝92×（1﹣0.6）+87×0.6＝36.8+52.2＝89（分）；
答：当a＝0.6时，甲的综合得分是89分；

（2）∵乙的演讲答辩得分＝（分），
乙的民主测评得分＝42×2+4×1+4×0＝88（分），
∴乙的综合得分为：89（1﹣a）+88a，甲的综合得分为：92（1﹣a）+87a，
当92（1﹣a）+87a＞89（1﹣a）+88a时，即有，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高；
当92（1﹣a）+87a＜89（1﹣a）+88a时，即有，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．
答：当0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．
23．【分析】（1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可；
（2）BG＝CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出A的横坐标；
（3）当m＝时，点A（，），点E（，）则点B（，0），AB＝，由B、E的坐标求得D的坐标，进而即可求得AD＝，即可证得AB＝BD，从而证得矩形ABCD是正方形．
【解答】解：（1）由函数y＝（x＞0）的图象过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
故答案为：3；
（2）如图，连接AC，则AC过E，过E作EG⊥BC交BC于G点
∵点E的横坐标为m，E在双曲线y＝上，
∴E的纵坐标是y＝，
∵E为BD中点，
∴由平行四边形性质得出E为AC中点，
∴BG＝GC＝BC，
∴AB＝2EG＝，
即A点的纵坐标是，
代入双曲线y＝得：A的横坐标是m，
∴A（m，）；
（3）当m＝时，点A（，），点E（，），
∴点B（，0），AB＝，
∵E为BD中点，
∴点D（，），
∴AD＝﹣＝，
∴AB＝AD
∴矩形ABCD是正方形．

24．【分析】（1）由一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，得到x1+2x1＝3，2x12＝c，即可得到结论；
（2）解方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）得，x1＝2，．由方程两根是2倍关系，得到x2＝1或4，代入解方程即可得到结论；
（3）根据“倍根方程”的概念得到原方程可以改写为a（x﹣t）（x﹣2t）＝0，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，
∵x1+x2＝3，x1x2＝c，即x1+2x1＝3，2x12＝c，
∴c＝2，
故答案为：2；
（2）解方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）得，x1＝2，．
∵方程两根是2倍关系，
∴x2＝1或4，
当x2＝1时，，即m＝n，
代入代数式4m2﹣5mn+n2＝0，
当x2＝4时，，即n＝4m，
代入代数式4m2﹣5mn+n2＝0．
综上所述，4m2﹣5mn+n2＝0；
（3）根据“倍根方程”的概念设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为t和2t．
∴原方程可以改写为a（x﹣t）（x﹣2t）＝0，
∴ax2+bx+c＝ax2﹣3atx+2at2，
∴．
解得2b2﹣9ac＝0．
∴a，b，c之间的关系是2b2﹣9ac＝0．
25．【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定得出△APE∽△BFP即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例关系，分两种情况进行讨论解答即可；
（3）分三种解法，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°．
∵∠APB＝90°，PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°．
∴∠PAE＝∠FBP＝135°．
∴∠APE+∠AEP＝45°．
∵∠EPF＝45°，∠APB＝90°，
∴∠APE+∠BPF＝45°．
∴∠AEP＝∠BPF．
∴△APE∽△BFP．
（2）∵△APE∽△BFP，
∴．
∵△PEF是等腰直角三角形，∠EPF＝45°，
∴可分为两种情况讨论：
①当∠PEF＝90°，PE＝EF时，则．
∴．
∴，．
∵AP＝BP，
∴．

②当∠PFE＝90°，PF＝EF时，则．
∴．
∴，．
∵AP＝BP，
∴．
综上所述，的值为或2．

（3）线段AE，BF，EF之间满足的等量关系是AE2+BF2＝EF2．
解法一：延长AB到G，使得BG＝AE，连接PG，FG，
∵∠PBA＝45°，
∴∠PBG＝135°．
∵∠PAE＝135°，
∴∠PBG＝∠PAE．
∵PA＝PB，BG＝AE，
∴△PBG≌△PAE（SAS）．
∴BG＝AE，PG＝PE，∠BPG＝∠APE．
∵∠APE+∠BPF＝∠EPF＝45°，
∴∠BPG+∠BPF＝∠EPF．
即∠GPF＝∠EPF．
又∵PF＝PF，PG＝PE，
∴△PGF≌△PEF（SAS）．
∴GF＝EF．
∵∠ABC＝90°，
∴∠GBF＝90°．
∴由勾股定理得，BG2+BF2＝GF2．
∴AE2+BF2＝EF2．

解法二：以PE为对称轴，作△PAE的轴对称图形△PME，连接MF，
则PA＝PM，AE＝ME，∠APE＝∠MPE，∠PAE＝∠PME＝135°．
∵PA＝PB，∠APE+∠BPF＝∠EPF＝∠MPE+∠MPF，
∴PB＝PM，∠BPF＝∠MPF．
又∵PF＝PF，
∴△PBF≌△PMF（SAS）．
∴BF＝MF，∠PBF＝∠PMF＝135°．
∵∠PME+∠PMF+∠EMF＝360°，
∴∠EMF＝90°．
由勾股定理得ME2+MF2＝EF2．
∴AE2+BF2＝EF2．

解法三：以PE为对称轴，作△PEF的轴对称图形△PNE，连接NA，
则PN＝PF，EN＝EF，∠EPN＝∠EPF．

∵∠APE+∠APN＝∠EPN，∠APE+∠BPF＝∠EPF，
∴∠APN＝∠BPF．
又∵PA＝PB，PN＝PF，
∴△PAN≌△PBF（SAS）．
∴AN＝BF，∠PAN＝∠PBF＝135°．
∵∠PAB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠NAE＝90°．
由勾股定理得AE2+AN2＝EN2．
∴AE2+BF2＝EF2．