沪科版八年级上册15.3 等腰三角形授课课件ppt

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15.3 等腰三角形第15章 轴对称图形与等腰三角形第3课时 等边三角形的性质和判定逐点学练本节小结作业提升学习目标本节要点1学习流程2等边三角形的性质等边三角形的判定知识点等边三角形的性质感悟新知11. 定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫 正三角形.特别解读 等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角.2. 性质(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线.(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.感悟新知感悟新知例 1如图15.3－4，在等边三角形ABC 中，BC ＝ 8，过BC 边上一点P，作∠ DPE ＝ 60°，分别与边AB，AC 相交于点D 与点E．(1)在图中找出与∠ EPC 始终相等的角，并说明理由．(2)若△ PDE 为等边三角形， 求BD+CE 的值．感悟新知解法提醒 等边三角形的三个角都为60°，根据此转化可得角之间的关系，这是典型的“一线三等角”型.解题秘方：掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判 定方法是解题的关键．感悟新知解：(1)∠ BDP= ∠ EPC，理由如下：∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ B=60° .∵∠ DPE=60°，∴∠ DPE= ∠ B.∵∠ DPC 是△ BDP 的外角，∴∠ DPE+ ∠ EPC= ∠ B+ ∠ BDP，∴∠ EPC= ∠ BDP.感悟新知(2)∵△ PDE 为等边三角形，∴ PD=PE.在△ BDP 和△ CPE 中，∠ B = ∠ C ，∠ BDP= ∠ CPE，PD=EP，∴△ BDP ≌△ CPE，(AAS)∴ BD=CP，BP=CE，∴ BD+CE=CP+BP=BC=8．感悟新知例2如图15.3－5，等边三角形ABC 的边长为3，D 是AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE 的长.解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知 线段向已知线段转化.方法点拨 等边三角形具有“三线合一”的性质，有时要运用的和已知的不一致，需要通过“三线合一”的性质进行转化，找出要求线段与已知线段的关系，再解答.感悟新知解: ∵△ ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，∴∠ ABC= ∠ ACB=60°，∠ DBE= ∠ ABC=30° .又∵ DE=DB，∴∠ E= ∠ DBE=30° .∵∠ ACB= ∠ CDE+ ∠ E，∴∠ CDE= ∠ ACB－ ∠ E=30° .∴∠ CDE= ∠ E.感悟新知如图15.3－5，过点C 作CF 垂直DE 于点F，易得△ CDF ≌△ CEF. ∴ CD=CE.∵等边三角形ABC 的边长为3，∴ CE=CD= AC= .感悟新知感悟新知例 3如图15.3－6 ①，点P，Q 分别是等边三角形ABC 边AB，BC 上的动点(端点除外)，点P 从顶点A，点Q 从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ，CP 交于点M．(1)求证：△ ABQ ≌△ CAP；(2)当点P，Q 分别在AB，BC 边上运动时，∠ QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；感悟新知(3)如图15.3－6 ②，若点P，Q 在运动到终点后继续在射线AB，BC 上运动，直线AQ，CP 交点为M，则∠ QMC 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数；感悟新知解法提醒 等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°，为三角形全等创造了边、角相等的条件.解题秘方：根据等边三角形边相等、角相等的性质，证 明△ ABQ ≌△ CAP 是解题关键.(1)证明：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABQ= ∠ CAP，AB=CA.又∵点P，Q 的运动速度相同，∴ AP=BQ.在△ ABQ 与△ CAP 中，AB=CA，∠ ABQ= ∠ CAP，AP=BQ，∴△ ABQ ≌△ CAP.(SAS)感悟新知(2)解：∠ QMC 的大小不变化．∵△ ABQ ≌△ CAP，∴∠ BAQ= ∠ ACP.∵∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ MAC，∴∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ MAC= ∠ BAC=60° .(3)解：∠ QMC 的大小不变化．易知△ ABQ ≌△ CAP，∴∠ BAQ= ∠ ACP.∵∠ QMC= ∠ BAQ+ ∠ APM，∴ ∠ QMC= ∠ ACP+ ∠ APM=180 ° － ∠ PAC=180° －60° =120°．感悟新知知识点等边三角形的判定感悟新知21. 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：如图15.3－10，在△ ABC 中， ∵∠ A= ∠ B= ∠ C， ∴△ ABC 是等边三角形.感悟新知2. 推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图15.3－10，在△ ABC 中，∵ AB=AC，∠ A=60°(或∠ B=60°或∠C=60°)，∴△ ABC 是等边三角形.证明等边三角形的思维导图：感悟新知教你一招在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是 顶角还是底角，推论2 都成立.2. 等边三角形的判定方法 ：(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；(2)若已知三角关系，一般选用推论1 判定；(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用推论2判定.感悟新知例4[期中·天津和平区] 如图15.3－11，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AF 为BC 的中线，D 为AF 上的一点且BD 的垂直平分线过点C 并交BD 于E．求证：△ BCD 是等边三角形.感悟新知解法提醒 掌握等边三角形的三种判定方法是解此题的关键，见P195特别解读2 等边三角形的判定方法．解题秘方：根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可推出BD=DC=BC，再利用等边三角形的定义得出结论．感悟新知证明：∵ AB=AC，AF 为BC 的中线，∴ AF ⊥ BC，∴ BD=DC.∵ CE 是BD 的垂直平分线，∴ BC=CD，∴ BD=DC=BC，∴△ BCD 是等边三角形．感悟新知例 5[期末·西安蓝田] 如图15.3－12，在△ ABC 中，DE 是AC 边的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D 和E，∠ B=60°，∠ C=30°，求证：△ ABD 是等边三角形．解题秘方：根据三个角都相等的三角形是等边三角形证明即可．感悟新知教你一招从角的角度证明三角形是等边三角形，两条思路：一 是证明三角形的三个内角相等；二 是求出三角形的三个内角度数都是60° .感悟新知证明：∵ DE 垂直平分线段AC，∴ DA=DC，∴∠ DAC= ∠ C=30°，∴∠ ADB= ∠ DAC+ ∠ C=60° .又∵∠ B=60°，∴∠ BAD=60°，∴∠ B= ∠ ADB= ∠ BAD，∴△ ABD 是等边三角形．感悟新知例6 [期中·成都] 已知：如图15.3－13，△ ABC，△ CDE都是等边三角形，AD，BE 相交于点O，点M，N 分别是线段AD，BE 的中点．(1)求证：AD=BE；(2)求∠ DOE 的度数；(3)求证：△ MNC 是等边三角形．感悟新知解法提醒判定一个三角形是等边三角形的思路：1. 若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定.2. 若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三 角形”来判定.3. 若已知是等腰三角形，则选用“ 有一个角是60°的腰三角 形是等边三角形”来判定.解题秘方：先证明△ ACM ≌△ BCN，推出CM ＝ CN 和 ∠ NCM ＝ 60°，即可利用推论2 进行判定．感悟新知(1)证明：∵△ ABC，△ CDE 都是等边三角形，∴ AC=BC，CD=CE，∠ ACB= ∠ DCE=60°，∴∠ ACB+ ∠ BCD= ∠ DCE+ ∠ BCD，∴∠ ACD= ∠ BCE.在△ ACD 和△ BCE 中， AC=BC， ∠ ACD= ∠ BCE， CD=CE，∴△ ACD ≌△ BCE， ∴ AD=BE．感悟新知(2)解：∵△ ACD ≌△ BCE，∴∠ ADC= ∠ BEC.∵△ DCE 是等边三角形，∴∠ CED= ∠ CDE=60°，∴∠ ADE+ ∠ BED= ∠ ADC+ ∠ CDE+ ∠ BED= ∠ ADC+60° + ∠ BED= ∠ CED+60°=60° +60° =120°，∴∠ DOE ＝ 180° －(∠ ADE+ ∠ BED)=60° .感悟新知(3) 证明： 由(1) 可知∠ CAD= ∠ CBE，AD=BE，AC=BC.又∵点M，N 分别是线段AD，BE 的中点，∴ AM= AD，BN= BE，∴ AM=BN.在△ ACM 和△ BCN 中， AC=BC， ∠ CAM= ∠ CBN， AM=BN，感悟新知∴△ ACM ≌△ BCN，∴ CM=CN，∠ ACM= ∠ BCN.又∵∠ ACB=60°，∴∠ ACM+ ∠ MCB= ∠ BCN+ ∠ MCB=60° .∴∠ MCN=60°，∴△ MNC 是等边三角形．等边三角形的性质和判定　根据条件判定等边三角形的解题技巧：(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形是 等边三角形”判定．(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等 边三角形”判定．等边三角形的性质和判定(3)若已知三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形”判定．请完成教材课后习题作业提升作业1