2022-2023学年广东省深圳高级中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年广东省深圳高级中学八年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列各数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在下列各式中，计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一次函数的图象经过点(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图为深圳高级中学集团各校区的位置，点为中心校区，点为南校区，点为北校区，点为高中园，点为龙岗校区，点为东校区，点为盐田校区，若以点为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则点的坐标可能为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于(    )

A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间

6. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

7. 下列条件中，能确定是直角三角形的有(    )
   三边之比为：：；
   三边长的平方之比为：：；
   三内角之比为：：；
   三内角之比为：：；
   两个内角之和等于第三个角．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 若直线经过一、二、三象限，则直线的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离单位和放学后的时间单位之间的关系如图所示，那么下列说法错误的是(    )

A. 小刚边走边聊阶段的行走速度是
B. 小刚家离学校的距离是
C. 小刚回到家时已放学
D. 小刚从学校回到家的平均速度是

10. 如图，在长方形中，，，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，，则下列结论：；当时，平分；连接，周长的最小值为；当或或时，为等腰三角形．其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 是______的算术平方根．
12. 若点关于轴的对称点为，则的长为______．
13. 对于任意两个不相等的数，，定义一种运算如下：，例如那么______．
14. 如图，已知正比例函数经过，两点，点坐标，点的横坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点坐标为______．

15. 如图，，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为______．
     

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 计算：．
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 如图所示，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口．
    求，两港口之间的距离；结果保留根号
    港口在港口的什么方向．

19. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．
    若，时，求阴影部分的面积；
    若，则图中阴影部分的面积为______．

20. 九年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：
    绘制函数图象，
    列表：下表是与的几组对应值，其中______．

描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；
连线：顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；
通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：______，填写代号
函数值随的增大而减小；关于轴对称；有最小值．
在图中，若直线交函数的图象于，两点在左侧，记为点．则
______．

21. 如图，直线和直线相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴上，且，点坐标为．
    求直线的函数表达式；
    在线段上找一点，使得，求点的坐标；
    如图，点为线段的中点，若点是线段不与点、重合上一点，且使得，
    请求出点坐标．
22. 尝试应用小明将两副大小不同的三角板如图所示放置，和为等腰直角三角形，，连接，，直线经过点交于，交于．
    如图，若，请直接写出与的数量关系；
    类比迁移
    如图，若点是的中点，请判断与的位置关系和数量关系，并证明：小明发现：延长线段至点，使得，连接，证明了与的关系，便可解决问题请你按照他的思路，完成证明；
    拓展应用
    如图，小明又找了两副大小相同的直角三角板，且≌，，连接，，直线经过点交线段于，交线段于，若为线段的中点．
    求：______；______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
根据无理数的定义逐个判断即可．定义：无限不循环小数叫做无理数．
本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无限不循环小数叫无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各数是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，不符合题意；
B.当时，，不符合题意；
C.当时，，符合题意；
D.当时，，不符合题意．
故选：．
代入各选项中点的横坐标，求出值，将其与纵坐标比较后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图可知点所在的象限为第三象限，
A.在第一象限，故本选项不合题意；
B.在第四象限，故本选项不合题意；
C.在第三象限，故本选项符合题意；
D.在第二象限，故本选项不合题意．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

5.【答案】 

【解析】解：点坐标为，
，
点、均在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
，
．
点在轴的负半轴上，
点的横坐标介于和之间．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，由于，故估算出的长，再根据点在轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，在一次函数的图象上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：三边之比为：：，
设三边的长分别为，，，
，，
，
能确定是直角三角形，
故正确；
三边长的平方之比为：：，
设三边长的平方分别为，，，
，
能确定是直角三角形，
故正确；
三内角之比为：：；
，
能确定是直角三角形，
故正确；
三内角之比为：：，
，
不能确定是直角三角形，
故不正确；
设第三个角为，
两个内角之和等于第三个角，
，
，
能确定是直角三角形，
故正确；
所以，上列条件中，能确定是直角三角形的有个，
故选：．
利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线经过一、二、三象限，
，，
，，
直线的图象经过第二、三、四象限，
故选：．
首先确定，，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案．
此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，关键是掌握一次函数：
，的图象在一、二、三象限；
，的图象在一、三、四象限；
，的图象在一、二、四象限；
，的图象在二、三、四象限．
 

9.【答案】 

【解析】解：
A.小刚边走边聊阶段的行走速度是，此选项错误；
B.当时，，即小刚家离学校的距离是，此选项正确；
C.当时，，即小刚回到家时已放学，此选项正确；
D.小刚从学校回到家的平均速度是，此选项正确；
故选A．
由所对应的图象表示小刚边走边聊阶段，根据速度路程时间可判断；由时的实际意义可判断；根据时可判断；总路程除以所用总时间即可判断．
本题考查利用自变量与因变量之间的关系图象解决实际问题，正确理解题意、理解图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
平分，故正确；
如图，作关于直线的对称点，连接交于，

则此时，周长最小，且周长的最小值为；
，
，
周长的最小值为，故正确；
设，则，
过作于，则四边形是矩形，

，
，
，
当时，
，
；
当时，
，解得，
；
当时，
，解得或不合题意，舍去，
；
当或或时，为等腰三角形，故正确；
故选：．
根据勾股定理得到，故正确；求得，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到平分，故正确；如图，作关于直线的对称点，连接交于，根据勾股定理得到，求得周长的最小值为，故正确；设，则，过作于，根据勾股定理得到，分三种情况求出的值，即可得到正确．
本题是四边形综合题，考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以是的算术平方根．
故答案为：．
如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，由此即可求出结果．
此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是；
的长为：．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：



，
故答案为：．
利用定义的新运算可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
点坐标，
，
直线为，
把代入得，，

过点作轴的平行线过点，点作的垂线，分别交于，两点，则，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
根据反比例函数的对称性求得的坐标，过点作轴的平行线，过点，点作的垂线，分别交于，两点，则，利用“一线三垂直”易证得≌，即可求得，，从而求得的坐标为．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
首先根据折叠可得，，，，，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，，从而求得，，在中，由勾股定理即可求得的长．

【解答】
解：根据折叠的性质可知，，，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
根据勾股定理求得，
，
，，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当，时，
原式
． 

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则，单项式除多项式法则化简代数式，再代值计算．
本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，关键是熟记乘法公式，合并同类法则，单项式除多项式法则．
 

18.【答案】解：由题意可得，，，
，，
，
．
，
，
答：、两地之间的距离为；
由知，为等腰直角三角形，
，
，
港在港北偏东的方向上． 

【解析】由题意得，由勾股定理，从而得出的长；
由，则点在点北偏东的方向上．
本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，是基础知识，比较简单．
 

19.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
根据勾股定理求出，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案；
根据勾股定理和圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，圆和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：当时，；
．
描点、连线画出函数图象如图所示；

故答案为：；

通过观察图象，
函数值随的增大而减小，错误；
关于轴对称，正确；
有最小值，正确．
故答案为：；

画出直线如图，

由函数图象可知，，，，
，
，
．
故答案为：．
把代入函数解析式，求出的值即可求得的值，然后在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
根据函数图象即可判断；
根据函数图象求得、的坐标，以及直线与轴的交点，然后利用三角形面积公式，根据即可求得．
本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
设直线的解析式为，
点，
，
，
直线的解析式为；
，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
，
解得．
直线的解析式为：．
联立，
解得．

如图，
过点作轴于点，过点作轴于点，
由知，，
，
，
∽，
：：，
点为的中点，
，
设点的纵坐标为，
则，
，，
：：，
解得，
 

【解析】先确定出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
先求出三角形的面积，进而求出三角形的面积，再求出直线的解析式，设出点坐标，由平行线转移面积可知直线，得到直线的解析式，联立即可得出结论；
过点作轴于点，过点作轴于点，由题意可知，，进而可得，结合题干可得∽，设点的纵坐标为，则可表示和的长，根据比例得出方程，求解即可．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出正确的辅助线是解本题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：，
过作于，过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
同理，
，
≌，
；
，，
证明：延长线段至点，使得，连接，
点是的中点，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
；
证明：延长线段至点，使得，连接，
点是的中点，
，
，
≌，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
≌，
，
，
，
故答案为：，．
过作于，过作于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
延长线段至点，使得，连接，根据全等三角形的性质得到，，推出，证得≌得到，，根据垂直的定义即可得到结论；
延长线段至点，使得，连接，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．