课后素养落实(八)　空间向量与平行关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)

A．垂直   B．平行

C．异面   D．相交但不垂直

B　[因为A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，所以，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)可得＝－3，所以∥，直线AB与CD的位置关系是平行，故选B．]

2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　)

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

D　[若l∥α，则a·n＝0．而A中a·n＝－2，

B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0．故选D．]

3．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(　　)

A．α⊥β   B．α∥β

C．α与β相交但不垂直   D．α与β平行或重合

D　[因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行或重合．故选D．]

4．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝(　　)

A．    B．    C．3    D．

A　[由题意知，∵α∥β，∴u＝λv，即

解得λ＝－4，y＝－，x＝4，∴x＋y＝4－＝．]

5．若直线α的一个方向向量是a＝(1,1,1)，平面β的一个法向量是b＝(－1,2，－1)，则直线α与平面β的位置关系是(　　)

A．α∥β   B．α⊥β

C．α∥β或α⊂β   D．不确定

C　[因为a·b＝(1,1,1)·(－1,2，－1)＝1×(－1)＋1×2＋1×(－1)＝0，

所以a⊥b，又因为直线α的一个方向向量是a＝(1,1,1)，平面β的一个法向量是b＝(－1,2，－1)，所以直线α与平面β的位置关系是α∥β或α⊂β．]

二、填空题

6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________．

1　[由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1．]

7．已知向量＝(1,5，－2)，＝(3,1,2)，＝(x，－3,6)．若DE∥平面ABC，则x的值是________．

5　[∵DE∥平面ABC，

∴存在实数m，n，使得＝m＋n，

∴解得x＝5．]

8．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．

垂直　[以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴＝，

平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)．

∵＝－n，∴∥n．∴EF⊥平面PBC．]

三、解答题

9．如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：

(1)MN∥平面CC1D1D；

(2)平面MNP∥平面CC1D1D．

[证明]　(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．

由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，

所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．

由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥．

又MN⊄平面CC1D1D，

所以MN∥平面CC1D1D．

(2)由于＝(0,2,0)，

所以∥，所以MP∥DC．

由于MP⊄平面CC1D1D，

所以MP∥平面CC1D1D．

又由(1)知，MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，

所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D．

10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

[解]　建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，设正方体的棱长为2，

则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．

设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．

设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，

则⇒

令x＝1，则y＝1，z＝2，

∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．

若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．

∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，

∴c＝1，

这时n1·＝－2－2＋4＝0，符合题意．

故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．

11．(多选题)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是(　　)

A．A1M∥D1P

B．A1M∥B1Q

C．A1M∥平面DCC1D1

D．A1M∥平面D1PQB1

ACD　[连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD．由题意知AD平行且等于A1D1．故PM平行且等于A1D1．所以PMA1D1为平行四边形，故A正确．显然A1M与B1Q为异面直线．故B错误．

由A知A1M∥D1P．由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内．

且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内．故CD正确．]

12．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交     B．平行

C．垂直     D．不能确定

B　[以C1为原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵A1M＝AN＝a，＝，＝，

∴M，

N，∴＝．

又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，

∴·＝0，∴⊥．

∵是平面BB1C1C的法向量，

且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C．]

13．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．

　[建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，

设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)，

则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E，

＝(a,0,1)，＝，＝(0，－1，b)，

∵DP∥平面B1AE，

∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ，

即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ＝．

∴∴b＝λ＝，即AP＝．]

14．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝BC＝1，AA1＝2，在A1B上取一点M，在B1C上取一点N，使得直线MN∥平面A1ACC1，则线段MN的最小值为________．

　[如图，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，＝(－1,1,0)，＝(0,0,2)，设平面ACC1A1的一个法向量为p＝(x，y，z)，

则，取x＝1，则y＝1，z＝0，即p＝(1,1,0)，

又＝(0,1，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0,1,0)，

设＝λ，＝μ，则＝＋＋＝(－μ，1－λ，2λ－2μ)，

||2＝(－μ)2＋(1－λ)2＋(2λ－2μ)2＝5λ2＋5μ2－8λμ－2λ＋1＝5＋＋，

当，即时，||2取得最小值，即MN的长度的最小值为．]

15．如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1．问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．

[解]　如图，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则

＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)，

∵∥，

∴y(－1)－2(z－1)＝0,   ①

∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，

＝(－1，y－1，z)，

∴由CE∥平面PAB, 可得⊥，

∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，

∴y＝1，代入①式得z＝．∴E是PD的中点，

即存在点E且E为PD中点时，CE∥平面PAB．