高中数学8.2离散型随机变量及其分布列图片ppt课件

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8.2.4　超几何分布学 习 目 标核 心 素 养1.通过具体实例，了解超几何分布．(重点)2．理解超几何分布的推导过程，并能简单的运用．(重点)3．能利用超几何分布解决简单的实际问题．(难点)1.通过超几何分布概念的学习，培养数学抽象核心素养．2．利用超几何分布解决实际应用问题，提升数学运算、数学建模核心素养.已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列．我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08.且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4,0.08)．如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布？如果不服从，那么X的分布列是什么？知识点　超几何分布1．超几何分布一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N)．2．超几何分布的均值当X～H(n，M，N)时，E(X)＝Pk＝，其中l＝min(n，M)．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)超几何分布模型，在产品检验中，描述的是放回抽样．                               (　　)(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同r的概率P(X＝r)，从而求出X的分布列．                            (　　)(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．  (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.　[P(X＝3)＝＝.]3.若X～H(5,2,50)，则P(X≤1)＝________.　[P(X≤1)＝＋＝.] 类型1　超几何分布的判断【例1】　一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，则X是否服从超几何分布？[解]　不服从超几何分布．因为随机变量X是否服从超几何分布，关键是看随机变量X的分布列是否由P(X＝r)＝确定，对应的N，M，n是多少．本题随机变量X的可能取值为3,4,5,6.不妨探讨“X＝4”与“X＝5”两种情况：“X＝4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1,2,3号球中的2个”，其概率P(X＝4)＝；“X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”，其概率P(X＝5)＝.显然仅从“X＝4”与“X＝5”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由P(X＝r)＝确定的，所以随机变量X不服从超几何分布．判断所给问题属于超几何分布的关键判断所给问题是否属于超几何分布，关键是紧扣超几何分布的定义．超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为r时的概率为P(X＝r)＝(r≤l，l是n和M中较小的一个)．1．(多选题)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是(　　)A．X表示取出的最大号码B．X表示取出的最小号码C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分D．X表示取出的黑球个数CD　[AB不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB错误；CD选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即CD正确；故选CD.] 类型2　超几何分布的分布列及应用【例2】　甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X的分布列；(2)乙所得分数Y的分布列；(3)求乙的得分不低于10分的概率．[解]　(1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.所以甲答对试题数X的分布列为X0123P(2)乙答对试题数可能为1,2,3，所以乙所得分数Y＝5,10,15.P(Y＝5)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝15)＝＝＝.所以乙所得分数Y的分布列为Y51015P(3)由(2)可知，根据随机变量Y的分布列，可以得到乙的得分不低于10分的概率为P(Y≥10)＝P(Y＝10)＋P(Y＝15)＝＋＝.1在求离散型随机变量的分布列时，明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键.2求与分布列有关的概率问题，一般是把所求概率的事件分解为几个互斥的事件，然后利用概率的加法公式计算.2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．[解]　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X123P 类型3　超几何分布的均值和方差【例3】　某班从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为X，求随机变量X的方差．[解]　X的所有可能取值为0,1,2，所以依题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为X012P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，或E(X)＝＝，D(X)＝×＋×＋×＝.若随机变量X服从超几何分布，则其均值EX＝，熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度，但应用公式求均值前要仔细辨别随机变量所服从的分布类型，若不能应用公式，则利用均值的定义计算.3．一个课外兴趣小组共有7名成员，其中3名女性成员，4名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　)A.  B.  C.  D.A　[法一：易知X服从超几何分布，所以E(X)＝＝.法二：由题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故选A.]1．(多选题)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为XB．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，从中任意抽取两个小球，选出黑球的个数为XBD　[由超几何分布的定义可知选BD.]2．在超几何分布公式P(X＝m)＝中，下列正确的是(　　)A．m≤0  B．M≤NC．0≤m≤1  D．P(X＝0)＝0B　[由超几何分布的定义可知B正确．]3．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为________．(用式子表示)1－　[出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为，故出现二级品的概率为1－.]4．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的序号是________．①P(X＝2)；②P(X＝3)；③P(X≤2)；④P(X≤3)．②　[表示6人中有“三好学生”3人的概率，故应填②.]5．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.　[P(ξ≤6)＝P(取到1只黑球3只红球)＋P(取到4只红球)＝＋＝.]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．二项分布与超几何分布有什么区别？[提示]　二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的．即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．2．超几何分布的实际背景及概率计算公式分别是什么？[提示]　(1)超几何分布的实际背景是在实际生产中常用来检验产品的次品数；(2)超几何分布的概率计算公式为P(X＝r)＝.