2022-2023学年天津市和平区益中学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市和平区益中学校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列每对图形中的两个图形成轴对称的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图，和中，，，添加下列哪一个条件仍无法说明≌(    )

A.  B.  C.  D.

3.    把边长相等的正五边形和正方形，按照如图所示的方式叠合在一起，连结，则(    )
    

A.  B.  C.  D.

4.    已知：点与点关于轴对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知三角形三边分别为，，，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，中，平分，平分，，相交于点，连接，则有(    )
    

A. ≌ B.
C. 平分 D.

7.    如图，、是的边上的两点，，分别垂直平分、，垂足分别为点、若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在中，按以下步骤作图：
   以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、．
   分别以点、为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点．
   作射线交于点，
   如果，，的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.

9.    如图，在中，点在上，且，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、，且，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为(    )

A. 根 B.  根 C.  根 D.

11. 如图，中，，平分，点是上一点，则(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使给出下列结论：；；；平分；其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，在中，是延长线上一点，，，则______度．

14. 等腰三角形的两个内角度数之比是：，则这个三角形的顶角的度数是______．
15. 如图，的周长为，的垂直平分线交于点，为垂足，，则的周长为______．

16. 如图，已知中，，于，于，、交于点，、的平分线交于点，则的度数为______．

17. 如图，中，是的外角的平分线，交的延长线于点，是的外角的平分线，交的延长线于点，若，则的大小______度．

18. 如图，在四边形中，若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：；；；；若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是______ 填序号

三、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知：如图，在中，平分，于点，交延长线于点，已知，，求的度数．

20. 本小题分
    如图，，．
    求证：．

21. 本小题分
    如图，在中，，平分，是上一点，且求证：．

22. 本小题分
    如图，，，，的延长线交于点．
    求证：≌；
    ．

23. 本小题分
    概念认识
    如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
    问题解决
    如图，在中，，，若的邻三分线交于点，则的度数为______；
    如图，在中，，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
    延伸推广
    如图，在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点若，；则的度数为______用含的代数式表示．
     
24. 本小题分
    已知，是边长相等的等边三角形，点是边，的中点．
    如图，连接，，则的大小______度；的大小______度；
    与的数量关系是______；与的数量关系是______；
    如图，直线，相交于点，求的大小．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】解：在和中，
，，
若，则，则≌，故选项A不符合题意；
若，则无法判定≌，故选项B符合题意；
若，则≌，故选项C不符合题意；
若，则≌，故选项D不符合题意；
故选：．
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以判断出哪个选项中的条件不一定能得到≌，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键．
利用多边形内角和公式求得的度数，在等腰三角形中可求得的读数，进而求得的度数，再利用正方形的内角得出，进而得出的度数．
【解答】
解：正五边形的内角和为，
，，
又，
，
，
正方形的内角，
，
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，，
则．
故选：．
利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而求出即可．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
即：，
．
故选：．
可根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式：，化简即可得出的取值范围．
本题考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：过作于，于，于，
平分，平分，
，，
，
平分．
故选：．
过作于，于，于，根据角平分线的性质即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，
则，
，分别垂直平分、，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：．
根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
点到和的距离相等，
：：，
．
故选：．
由作法得平分，根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则根据三角形面积公式得到：：，然后利用比例的性质可求出．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
又


即
解得．
故选：．
由可得：，再利用三角形外角性质即可求出．
本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，同时运用了三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

10.【答案】 

【解析】解：添加的钢管长度都与相等，，
，
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，四个是，五个是，六个是就不存在了．
所以最多能添加这样的钢管的根数为根．
故选：．
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
此题考查了三角形的内角和是度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，在上截取，连接，
则，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
，
故选：．
在上截取，连接，则，证≌，得，再由三角形的三边关系得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是三角形的中线，
，
又，
故此选项正确；
取的中点，连接．

，，
，．
．
，
．
．
又是三角形的中线，
．
．
又，
≌，
，
，
故此选项正确；
若要，
则需，
又，
则需，
根据中的全等，得，
则需，
则需，显然不成立，故此选项错误；
根据中的全等，知此选项正确．
故选：．
根据三角形的中线的概念、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质进行分析判断．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题的知识综合性较强，同时注意利用成立的结论得到新的结论．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的外角，
，
，，
，
故答案为：．
根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：设两个角分别是，，
当是底角时，根据三角形的内角和定理，得，
解得，，，
即底角为，顶角为；
当是顶角时，则，
解得，，
从而得到顶角为，底角为；
所以该三角形的顶角为或．
故答案为：或．
设两个角分别是，，根据三角形的内角和定理分情况进行讨论，从而可求得顶角的度数．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；本题通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程求解是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于点，为垂足，
，，
的周长为，
，
的周长．
故答案为：．
根据垂直平分线的性质计算．的周长．
本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：，于，于，
，，
，
、的平分线交于点，
，

故答案为：．
求出，再根据角平分线的定义求出，由此即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义，三角形的高的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：设的度数是，
，
，
，
是的外角的平分线，
，
，
，
，
，
，
是的外角的平分线，
，
，
解得，
，
故答案为：．
可设的度数是，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到度，根据角平分线的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质和对顶角相等得到，，，，根据角平分线的性质得到，再根据平角的定义即可求解．
此题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，关键是熟练掌握三角形外角的性质；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
，
、分别是与的平分线，
，，
，
，
故小题正确；
如图，延长交延长线于，

，
，
平分，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，故小题正确；
≌，
，即点为的中点，
与不一定相等
与不一定相等，故小题错误；
若，则是斜边上的中线，则，
与不一定相等，
与不一定相等，故小题错误；
，，
的取值范围为，故小题正确．
综上所述，正确的有．
故答案为：．
根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明与全等，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明与全等，从而可以证明正确，与不一定相等，所以不正确．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
 

19.【答案】解：平分，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，
． 

【解析】首先证明，再利用三角形的外角的性质证明，即可解决问题
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】证明≌，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件．
 

21.【答案】证明：作于，
，
，
，
，
平分交于，
，，
≌，
．
． 

【解析】作于，再根据等腰三角形的性质可得，再证明≌可得．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．证明三角形全等是证明角相等和线段相等的重要手段．
 

22.【答案】证明：在和中，
，
≌；
如图，连接，
由可知，≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】由证明≌即可；
连接，由全等三角形的性质得，再证≌，得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

23.【答案】 或 

【解析】解：的邻三分线交于点，，
，
，
，
故答案为：；
、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
，
在中，
；
如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，，，
，
即，
，，
；
如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，，，
，
即，
，，
．
综上所述：的度数为：或．
故答案为：或．
根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；
结合根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；
分种情况进行画图计算：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，可求解；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得可求解．
本题考查了三角形外角的性质，列代数式，利用分类讨论思想是解决本题的关键．
 

24.【答案】       
连接，，
由得：，
，
即，
由得：，
，
由得：，
，
，
，

． 

【解析】解：如图，连接，，是等边三角形，，则的大小；
是等边三角形，，
；

，
；；
故答案为：；；；．
见答案
如图中，根据等边三角形的性质解答即可．
如图连接，，利用等边三角形的性质即可解决问题．
本题考查等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质解答．