专题17 三角形 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）

这是一份专题17 三角形 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

专题17 三角形 2023年中考数学一轮复习专题特训（广东专用）
一、单选题
1．（2022·深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且 GCBG=12 ，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE=3，则DF的长为（　　）

A．22 B．453 C．92 D．352
2．（2022·广州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，作等腰三角形ABD，使AB=AD．∠BAD=∠BAC，且点C不在射线AD上．过点D作DE⊥AB，垂足为E．则sin∠BDE的值为（　　）．

A．35 B．45 C．55 D．255
3．（2022·福田模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若BD=BC，∠A=36°，则∠C的度数为（　　）

A．72° B．68° C．75° D．80°
4．（2022·中山模拟）若长度分别是2，3，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·封开模拟）已知三角形三边为 a 、 b 、 c ，其中 a 、 b 两边满足 |a-6|+b-8=0 ，那么这个三角形的最大边 c 的取值范围是（　　）
A．c>8 B．8 6．（2022·清城模拟）如图，平行四边形 ABCD 中， ∠C=100° ，点 E 在 CD 上，且 AE=AD ，则 ∠DAE 的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．80°
7．（2022·增城模拟）如图，直线y= 23 x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角ΔABC，∠BAC=90°，则直线BC的解析式为（　　）

A．y=13x+2 B．y=-14x+2 C．y=-15x+2 D．y=-2x+2
8．（2022·越秀模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CE是斜边AB上的中线，BD⊥CE于点D，过点A作AF⊥CE交CE延长线于点F．下列结论不一定成立的是（　　）

A．∠BAC = ∠DBC B．tan ∠ECB =ACBC
C．AF = BD D．CE = CB
9．（2022·南山模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（　　）

A．10° B．15° C．18° D．30°
10．（2022·坪山模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2022·广州）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为　 　； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为　 　

12．（2022·深圳）如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB的中点，B'在反比例函数y=kx上，则k的值为　 　．

13．（2022·深圳模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE=45°，则 CEBE 的值为　 　．

14．（2022·南沙模拟）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C的外角的度数是 　 　．
15．（2022·广州模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ABD=30°，BE垂直平分CD，交CD于点E，若AD=1，则CE的长为　 　．

16．（2022·南海模拟）如图，等边△OAB的边长为4，则点A的坐标为　 　．

17．（2022·新会模拟）如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为　 　．

18．（2022·蓬江模拟）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABD沿BD折叠后，点A恰好落在AD的延长线上的点E处．若∠C=60°，BC=4，则△ABE的周长为　 　．

19．（2022·潮南模拟）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(-10，8)，点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上的点E处，则tan∠DBE等于　 　．

20．（2022·深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中有 Rt△ABC ， ∠BAC=90° ， ∠B=45° ，A（3，0）、C（1， 12 ），将 △ABC 沿x轴的负方向平移，在第二象限内B、C两点的对应点 B1 、 C1 正好落在反比例函数 y=kx 的图象上，则 k=　 　．

三、解答题
21．（2022·广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE

22．（2022·广东）如图，已知 ∠AOC=∠BOC ，点P在 OC 上， PD⊥OA ， PE⊥OB ，垂足分别为D，E．求证： △OPD≌△OPE ．

23．（2022·花都模拟）如图，点C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝BE．求证：DC＝EC．

24．（2022·广州模拟）如图，点E，F在线段AD上，AB∥CD，∠B=∠C，BE=CF．求证：AF=DE．

25．（2022·增城模拟）如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN．

四、综合题
26．（2022·广东模拟）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°．

（1）求证：△BPQ是等腰三角形；
（2）求电线杆PQ的高度，（结果精确到1m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 5 ≈2.24）
27．（2022·番禺模拟）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，且AC=AD．

（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连接EF，BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，AC=2．判断△BEF的形状，并说明理由，再求出其面积．
28．（2022·濠江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b与y轴正半轴交于A点，与反比例函数y=kx交于点B（-1，4）和点C，且AC＝4AB，动点D在第四象限内的该反比例函数上，且点D在点C左侧，连接BD、CD．

（1）求点C的坐标；
（2）若S△BCD=5，求点D的坐标．
29．（2022·花都模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且AD＝BD．

（1）若AC＝6，BC＝8，AB＝10，求∠ACD的度数；
（2）证明：∠ACB+∠ADB=180°；
（3）设ABAD=k，试判断CA，CD，CB之间的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
30．（2022·光明模拟）如图

如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AC＝8，BC＝6，点M、N分别在线段AC、BC上，将△ABC沿直线MN翻折，点C的对应点是C′．
（1）当M、N分别是所在边的中点时，求线段CC′的长度；
（2）若CN＝2，求点C′到线段AB的最短距离；
（3）如图（2），当点C′落在边AB上时，
①四边形CMC′N能否成为正方形？若能，求出CM的值；若不能，说明理由．
②请直接写出点C′运动的路程长度．

答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，

设CG=x，
∵CGBG=12，
∴BG=2x，
∴BC=3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=3x，∠EAM=∠CAD=45°，∠ADC=∠BCD=90°，
∴AM=EM，AC=32x，
∵AM2+EM2=AE2=32，
∴AM=EM=322，
∴DM=3x+322，
∵DE⊥DG，∠ADC=90°，
∴∠CDG=∠MDE，
∵∠DME=∠BCD=90°，
∴△DCG∽△DME，
∴CDDM=CGME，
∴3x3x+322=x322，
∴x=2，
∴DG=25，
∵AD∥BC，
∴GFDF=CGAD=13，
∴DF=34DG=352.
故答案为：D.

【分析】过点E作EM⊥AD于点M，设CG=x，根据正方形的性质得出AD=CD=BC=3x，∠EAM=∠CAD=45°，∠ADC=∠BCD=90°，根据勾股定理得出AM=EM=322，从而得出DM=3x+322，再证出△DCG∽△DME，得出CDDM=CGME，从而得出x=2，得出DG=25，再根据GFDF=CGAD=13，得出DF=34DG=352.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示：

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=AD=10，
∵∠BAD=∠BAC，
∴sin∠BAD=sin∠BAC=BCAB=45，
∴DE=AD⋅sin∠DAE=8，
∴AE=6，
∴BE=4，
∴BD=BE2+DE2=45，
∴sin∠BDE=BEBD=55；
故答案为：C．

【分析】先求出BD和BE的长，再利用正弦的定义求解即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=36°，
∴∠BDC=∠A+∠DBC=36°+36°=72°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=72°，
故答案为：A．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得∠DBA=∠A=36°，再利用三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠DBC=36°+36°=72°，最后结合等边对等角的性质可得∠C=∠BDC=72°。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由三角形三边关系可知 3-2 ∴1 ∴a 的取值不可能是1
故答案为：A．

【分析】利用三角形三边的关系可得3-2 5．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得： a-6=0 ， b-8=0 ，
解得 a=6 ， b=8 ，
因为 c 是最大边，所以 8 即 8 故答案为：B．

【分析】根据非负数之和为0的性质求出a、b的值，再利用三角形三边的关系可得8 6．【答案】A
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADC+∠C= 180°，
∴∠D= 180°-∠C= 80°
∴∠D=180°- 100°= 80°
∵AE= AD，
∴∠D=∠AED=80°
∴∠DAE= 180°- 80°× 2= 20°
故答案为：A．

【分析】根据平行四边形的性质可得∠D= 180°-∠C= 80°，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠DAE= 180°- 80°× 2= 20°。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：对于直线y= 23 x+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，
令y=0，得到x=-3，即A（-3，0），OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，

∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中， ∠AMC=∠BOA=90°∠ACM=∠BAOAC=BA ，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C（-5，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），
∴b=2-5k+b=3 ，
解得 k=-15b=2 ．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=- 15 x+2．
故答案为：C．

【分析】过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，先利用“AAS”证明△CAM≌△ABO可得AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，求出点C的坐标，再结合点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】 ∵ ∠ACB = 90°，CE是斜边AB上的中线，BD⊥CE，AF⊥CE
∴∠BDC=90°=∠BDE=∠F，CE=AE=BE=12AB，∠ACE+∠ECB=90°
∴∠BAC=∠ACE，∠ECB=∠ABC，∠ECB+∠DBC=90°
∴ ∠BAC = ∠DBC，故A符合题意；
在Rt△ABC中， tan∠ABC=ACBC
∴ tan ∠ECB =ACBC ，故B符合题意；
在 ΔAEF 和 ΔBED 中
∵∠F=∠BDE∠AEF=∠BEDAE=BE
∴ΔAEF≅ΔBED(AAS)
∴ AF = BD，故C符合题意；
没有足够的条件证明D选项
故答案为：D．

【分析】根据题意可得∠BDC=90°=∠BDE=∠F，CE=AE=BE=12AB，∠ACE+∠ECB=90°，再根据“AAS”证明ΔAEF≅ΔBED，进而解答即可。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，
∴∠BCD=∠ABC=30°，∠EDF=180°-∠E-∠EFD=45°
∴∠DBC=∠EDF-∠BCD=45°-30°=15°
故答案为：B

【分析】根据平行线的性质可得∠BCD=∠ABC=30°，再利用三角形的外角可得∠DBC=∠EDF-∠BCD=45°-30°=15°。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，故（1）符合题意；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，故（2）（3）符合题意；
∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分EF，故（4）符合题意
故答案为：D．
【分析】利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△ADF，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
11．【答案】120；75°
【解析】【解答】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：

则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS)，
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=12CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=12BC，
又已知AB=12BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
12．【答案】3
【解析】【解答】解：连接AA'，作B'E⊥x轴于点E，

由题意知OA=OA'，A'是OB中点，∠AOB=∠A'OB'，OB'=OB，
∴AA'=12OB=OA'，
∴ΔAOA'是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴OB=2OA=2，∠B'OE=60°，
∴OB'=2，
∴OE=12OB'=1，
∴B'E=3OE=3，
∴B'(1，3)，
∵B'在反比例函数y=kx上，
∴k=1×3=3．
故答案为：3．
【分析】先求出OE=1，再求出B'的坐标，最后求出k的值即可。
13．【答案】5-12
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CD于点M，作BN⊥AE于点N，

∵AE⊥CD于F，
∴∠AFD=∠NMD=∠BNF=90°，
∴四边形FMBN是矩形，
∵∠BFE=45°，
∴∠BFD=∠BFE=45°，
∴BM=BN，
∴四边形FMBN是正方形，
设正方形FMBN的边长为a，
∵D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴AD=BD=CD，
∵∠ADF=∠BDM，
∴△ADF≌△BDM，
∴FD=DM=12a，
∴CD=BD=AD=a2+12a2=52a，
∴CF=CD-DF=52a-12a=5-12a，
∵∠CFE=∠BNF=90°，∠CEF=∠BEN，
∴△CEF∽△BEN，
∴CEBE=CFBN=5-12aa=5-12.
故答案为：5-12.
【分析】过点B作BM⊥CD于点M，作BN⊥AE于点N，先证出四边形FMBN是正方形，设正方形FMBN的边长为a，得出FD=12a，CD=52a，从而得出CF=5-12a，再证出△CEF∽△BEN，得出CEBE=CFBN=5-12aa=5-12，即可得出答案.
14．【答案】110°
【解析】【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝60°，
∴与∠C相邻的外角度数为：50°+60°＝110°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
故答案为：110°．
【分析】利用三角形外角的性质求解即可。
15．【答案】1
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠ABC=180°-∠A=90°，
∵∠ABD=30°，AD=1，
∴BD=2AD=2，∠DBC=60°，
∵BE垂直平分CD，
∴BD=BC，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD=DC=2，
∴CE=12CD=1；
故答案为：1．

【分析】先证明△BDC是等边三角形，可得BD=DC=2，再利用等边三角形的性质可得CE=12CD=1。
16．【答案】(2，23）
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，则∠ACO＝90°，

∵等边△OAB的边长为4，
∴∠AOC＝60°，AO＝OB＝AB＝4
∴OC＝CB＝12OB=2， AC＝AO·sin ∠AOC＝4×32＝23
∴点A的坐标为（2，23），
故答案为：（2，23）

【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，则∠ACO＝90°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OC和AC的长，即可得到点A的坐标。
17．【答案】3
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，QF为线段BP的垂直平分线，
∴∠FQB=90°，
∴BQ=BF•cos30°=2×32=3，
∴BP=2BQ=23，
在Rt△BEP中，
∵∠EBP=30°，
∴PE=12BP=3．
故答案为3．

【分析】先利用锐角三角函数求出BQ=BF•cos30°=2×32=3，BP=2BQ=23，再结合∠EBP=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得PE=12BP=3。
18．【答案】24
【解析】【解答】根据翻折的性质可知，△ABD≌△EBD，
∴AD=DE，∠ADB=∠EDB=90°，AB=BE，∠A=∠E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AD=4，
∴∠A=∠E=60°，即△ABE是等边三角形，
∵在Rt△ADB中，∠A=60°，AD=4，
∴∠ABD=90°-∠A=30°，
∴AB=2AD=8，
∴等边△ABE的周长为AB+BE+AE=3AB=24，
故答案为：24．

【分析】先证明△ABE是等边三角形，再求出∠ABD=90°-∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2AD=8，最后利用等边三角形的周长公式计算即可。
19．【答案】12
【解析】【解答】解：在矩形AOBC中，点C的坐标是(-10，8)，
∴BC=OA=10，OB=AC=8，∠C=90°，
由翻折性质可知，
CD=DE，BC= BE=10，∠C=∠BED=90°，
在Rt△BOE中，
由勾股定理可知，OE=BE2-OB2=102-82=6，
∴AE=4，
令CD=DE=x，则AD=8-x，
在Rt△ADE中，DE=AE2+AD2，
∴x=42+（8-x）2，
解得x=5，
∴tan∠DBE=DEBE=510=12，
故答案为：12．
【分析】利用勾股定理求出OE的长，再设CD=DE=x，则AD=8-x，由勾股定理可得DE=AE2+AD2，即x=42+（8-x）2，求出x的值，再利用正切定义可得tan∠DBE=DEBE=510=12。
20．【答案】-53
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，则∠AMC＝∠ANB＝90°，

∵A（3，0）、C（1， 12 ），
∴OA＝3，CM＝ 12 ，OM＝1，AM＝OA－OM＝2
∵∠CAB＝90°， ∠B=45° ，
∴∠ACB＝∠B＝45°，AC＝AB，∠CAM+∠BAN＝90°，
∵∠MCA+∠CAM＝90°，
∴∠MCA＝∠NAB，
在△ACM和△BAN中，
∠CMA=∠ANB∠MCA=∠NABCA=BA
∴△ACM≌△BAN（AAS），
∴CM＝AN＝ 12 ，AM＝BN＝2，
∴ON＝OA＋AN＝ 72 ，MN＝AM＋AN＝ 52
∴B（ 72 ，2），
由平移的性质，可设C1（m， 12 ），则B1（m+ 52 ，2），
把点C1和B1的坐标分别代入 y=kx ，得k＝ 12 m；k＝2（m+ 52 ），
∴12 m＝2（m+ 52 ），解得：m＝ -103 ，
则k＝ 12 m ＝ -53 ．
故答案为： -53

【分析】过点C作CM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，则∠AMC＝∠ANB＝90°，先利用“AAS”证明△ACM≌△BAN可得CM＝AN＝ 12 ，AM＝BN＝2，利用线段的和差可得ON和MN的值，即可得到点B的坐标，再利用点坐标平移的特征求出点C1和B1的坐标，再将点C1和B1的坐标代入反比例函数解析式可得12 m＝2（m+ 52 ），解得：m＝ -103 ，即可得到k的值。
21．【答案】证明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法咱们即可。
22．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC ，
∴OC 为 ∠AOB 的角平分线，
又∵点P在 OC 上， PD⊥OA ， PE⊥OB ，
∴PD=PE ， ∠PDO=∠PEO=90° ，
又∵PO=PO （公共边），
∴△OPD≌△OPE(HL) ．
【解析】【分析】利用“HL”证明△OPD≌△OPE即可。
23．【答案】证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
在△ADC和△BEC中，
AC＝CB∠A=∠BAD＝BE，
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴DC＝EC．
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ADC≌△BEC，再利用全等三角形的性质可得DC=EC。
24．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
∵∠B=∠C，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF，
∵AF=AE-EF，DE=DF-EF，
∴AF=DE．
【解析】【分析】先利用“AAS”证明△ABE≌△DCF可得AE=DF，再利用线段的和差及等量代换可得AF=DE。
25．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠A=∠C，
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DMA=∠DNC=90°，
在△DAM和△DCN中，
∠A=∠C∠DMA=∠DNC=90°AD=CD ，
∴△DAM≌△DCN（AAS），
∴AM=CN．
【解析】【分析】利用“AAS”证明△DAM≌△DCN，再利用全等三角形的性质可得AM=CN。
26．【答案】（1）证明：延长PQ交AB的延长线于点H，则PH⊥AB.

由题意得∠QBH=30°，∠PBH=60°
∴∠BQH=60°，∠PBQ=30°
∴∠BPQ=∠BQH−∠PBQ=30°，即∠BPQ=∠PBQ
∴PQ=BQ，即 △ BPQ是等腰三角形.
（2）解：设PQ=BQ=x，∵∠QBH=30°
∴QH=12BQ=12x ，
BH=32x ，
∵∠A=45°， ∴6+32x=x+12x
解得 x=23+6≈9
答：该电线杆PQ的高度约为9m.
【解析】【分析】（1）延长PQ交AB的延长线于点H，根据题意得出PH⊥AB，∠QBH=30°，∠PBH=60°，从而得出∠BQH=60°，∠PBQ=30°， ∠BPQ=30°，得出PQ=BQ，即可得出△BPQ是等腰三角形；
（2） 设PQ=BQ=x，得出QH=12x，BH=32x，再根据AH=PH得出6+32x=x+12x，解方程求出x的值，即可得出答案.
27．【答案】（1）解：如图，AF平分∠CAD；

（2）解：△BEF为等边三角形．
∵∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，
∴∠CAD=30°，∠BAC=15°，
∵AE=CE，∠ABC=90°，
∴BE=AE=12AC，
∴∠ABE=∠BAC=15°，
∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=30°，
又∵AF平分∠CAD，AC=AD，
∴CF=DF，
又∵AE=EC，
∴EF=12AD=12AC，EF∥AD，
∴∠CEF=∠CAD=30°，
∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=60°，
又∵BE=EF=12AC，
∴△BEF为等边三角形，
∴S△ABC=12×22×sin60°=12×4×32=3．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法即可完成作图。
（2）根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得△BEF是等边三角形，在根据三角形面积公式求得。
28．【答案】（1）解：如图， 过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F
∵反比例函数y=kx经过点B（-1，4），
∴4=k-1，
解得，k=-4
∴反比例函数为y=-4x
∵BE⊥y轴，CF⊥y轴，
∴BE∥CF，
∴△BEA∽△CFA
∵AC＝4AB ，
∴BECF=ABAC=14
∴CF＝4
∵反比例函数y=-4x经过点C
∴当x=4时，y=-1，即点C坐标为（4，-1）
（2）解：过点D作DG∥y轴，交AC于点G.

将点B（-1，4），点C（4，-1）代入y=ax+b，解得a=-1，b=3
∴直线的函数解析式为y=-x+3
设点D（t，-4t），点G（t，-t+3）
∵S△BCD=5，
∴12[4-(-1)]×[-t+3-(-4t)]=5
解得，t1=1+172，t2=1-172，
∵0 ∴t1=1+172
此时，点D的坐标为（1+172，1-172)．
【解析】【分析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，先求出反比例函数解析式，再证明△BEA∽△CFA可得BECF=ABAC=14，求出CF=4，再求出点C的坐标即可；
（2）过点D作DG∥y轴，交AC于点G，设点D（t，-4t），点G（t，-t+3） ，根据三角形的面积公式列出方程12[4-(-1)]×[-t+3-(-4t)]=5求出t的值，即可得到点D的坐标即可。
29．【答案】（1）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AC2+BC2＝100=AB2
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=12∠ACB=45°
（2）证明：D分别作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，

∵CD平分∠ACB，
∴△DCM≅△DCN（AAS）
∴DM=DN，CM=CN
∵AD=BD
∴△DAM≅△DBN（HL）
∴∠ADM=∠BDN
∴∠ADM+∠ADN=∠BDN+∠ADN，即∠MAN=∠ADB
∵四边形MDNC中，∠ACB+∠MDN+90°+90°=360°
∴∠ACB+∠MDN=180°
∴∠ACB+∠ADB=180°
（3）解：过A作AE⊥AB于E
∵AD＝BD
∴AE=12AB
∵由（2）可得△DAM≅△DBN
∴AM=BN
∴CB+CA=CN+BN+CM-AM=2CM
∴CM=12(CB+CA)
∵∠ACB+∠ADB=180°
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BAD=∠BCD
∴△DMC~△DEA
∴AEAD=CMCD
∵ABAD=k
∴AEAD=12ABAD=12k
∴AEAD=CMCD=12k=12(CA+CB)CD
∴CA+CB=kCD
【解析】【分析】（1）先证明△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，再根据角平分线的性质可得∠ACD=12∠ACB=45°；
（2）过D分别作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，先证明∠MAN=∠ADB，再利用四边形的内角和公式可得∠ACB+∠MDN+90°+90°=360°，求出∠ACB+∠MDN=180°，即可得到∠ACB+∠ADB=180° ；
（3）过A作AE⊥AB于E，先证明A、B、C、D四点共圆，再证明△DMC~△DEA可得AEAD=CMCD，求出AEAD=12ABAD=12k，所以AEAD=CMCD=12k=12(CA+CB)CD，再化简可得CA+CB=kCD。
30．【答案】（1）解：如图（1），记CC'与MN交于点O．

∵AC＝8，BC＝6，M、N分别是所在边的中点，
∴在RtΔMCN中，MN=MC2+NC2=5，
∵S△CMN=12CM⋅CN=12MN⋅CO，
∴CO=MC⋅NCMN=125，
∴CC'=2CO=245；
（2）解：如图（2），点C'在以点N为圆心，2为半径的圆（在RtΔABC内的部分）上．
过点N作ND⊥AB于点D，

∵∠B=∠B．∠NDB=∠CAB，
∴ΔNDB∼ΔACB，
∴NDNB=ACAB，
∴ND=ACAB⋅NB=810×4=165，
∴点C'到线段AB的最短距离为：165-2=65.
（3）解：①当点C'在边AB上时，四边形CMC'N可以成为正方形，
理由如下：
不妨假设四边形CMC'N可以成为正方形，如图（3），

设CM=x，则C'M=x，AM=8-x，
易知MC’ ∥BC，
∴ΔAMC'∼ΔACB，
∴AMAC=MC'CB，
∴8-x8=x6，解得x=247，
∴ 四边形CMC'N可以成为正方形，此时CM=247；
②4
【解析】【解答】(3)②如图（4）中，当点M与A重合时，AC′的值最大，最大值AC’=AC=8．

如图(5)中，当点N与B重合时，BC′的值最小，最小值=AB-BC′=AB-BC=10-6=4，

观察图形可知，当点C′在落在边AB上时，点C′运动的路程长度=8-4=4，
故答案为：4．
点C'运动的路程长度为4．

【分析】（1）记CC'与MN交于点O。 在RtΔMCN中，根据勾股定理可得MN=MC2+NC2=5， 根据 S△CMN=12CM⋅CN=12MN⋅CO， 求出CO，再求出CC′ ；
（2）过点N作ND⊥AB于点D， 证明ΔNDB∼ΔACB，NDNB=ACAB，ND=ACAB⋅NB=810×4=165，点C'到线段AB的最短距离为：165-2=65.；
（3）① 当点C'在边AB上时，四边形CMC'N可以成为正方形， 设CM=x，则C'M=x，AM=8-x，证明ΔAMC'∼ΔACB，AMAC=MC'CB，8-x8=x6，解得x=247， 即四边形CMC'N可以成为正方形，CM=247；②当点M与A重合时，AC′的值最大，最大值AC’=AC=8，当点N与B重合时，BC′的值最小，最小值=AB-BC′=AB-BC=10-6=4，由图可知当点C′在落在边AB上时，点C′运动的路程长度=8-4=4