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专题19 对称、平移、旋转 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
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这是一份专题19 对称、平移、旋转 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题19 对称、平移、旋转 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
一、单选题
1．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2022·郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·长沙）在平面直角坐标系中，点(5，1)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(-5，1) B．(5，-1) C．(1，5) D．(-5，-1)
4．（2022·永州）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．（2022·常德）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD.则下列结论错误的是（ ）
A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DE
C．∠DFC=90° D．DG=3GF
7．（2022·娄底）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
9．（2022·怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．可回收物 B．其他垃圾 C．有害垃圾 D．厨余垃圾
11．（2022·衡阳模拟）下列四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·衡阳模拟）已知点A（a，2020）与点B（2022，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
13．（2021·永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·张家界）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形 ABCD 的面积为 S ，黑色部分面积为 S1 ，则 S1：S 的比值为（ ）
A．π8 B．π4 C．14 D．12
15．（2021·长沙）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022·益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．
17．（2022·湘西）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝ ．
18．（2022·郴州）点 (-3，2) 关于 x 轴对称的点的坐标为 .
19．（2022·永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点.若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为 .
20．（2022·湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF=
21．（2022·娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 .
22．（2022·娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D'处，连接BD'.给出下列结论：①△ACD≅△ABD'；②△ACB∼△ADD'；③当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填结论对应的序号）.
23．（2022·怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b = .
24．（2021·湘西）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB 、 CD ，若 CD//BE ， ∠1=20° ，则 ∠2 的度数是 .
25．（2021·怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知 A(-2,1) ， B(-1,4) ， C(-1,1) ，将 △ABC 先向右平移3个单位长度得到 △A1B1C1 ，再绕 C1 顺时针方向旋转 90° 得到 △A2B2C1 ，则 A2 的坐标是 .
三、综合题
26．（2022·益阳）如图，直线y＝12x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
27．（2022·永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）.
方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管.
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短：
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），
满足∠AEB=∠CFD=120°，AE=BE=CF=DF，EF∥AD、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
28．（2022·湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 ，B1 ，C1 ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
29．（2021·郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB.
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q.
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
30．（2021·张家界）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠AOB=60° ，对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 α(0°<α<120°) ，所得的直线 l 分别交 AD ， BC 于点 E，F .
（1）求证： △AOE≌△COF ；
（2）当旋转角 α 为多少度时，四边形 AFCE 为菱形？试说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°，
∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC，
∴AC∥C′B′．故②正确；
在△BAB′中，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝12（180°−50°）＝65°，
∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，
∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；
在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝12（180°−50°）＝65°，
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.
∴正确结论的序号为：①②④.
故答案为：B.
【分析】利用性质的性质可证得BC＝B′C′可对①作出判断；利用旋转的性质可得到∠BAB′＝50°，由此可求出∠B′AC的度数，同时可推出∠AB′C′＝∠B′AC，利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠AB′B的度数，由此可求出∠可得到∠BB′C′的度数，可对③作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠ACC′的度数，可证得∠ABB′＝∠ACC′，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义一一判断即可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（-5，-1）.
故答案为：D.
【分析】关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，据此解答.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：图①是中心对称图形；图②是中心对称图形，图③是中心对称图形，图④不是中心对称图形，
∴是中心对称图形的有①②③.
故答案为：A.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，观察图形，可得到是中心对称图形的选项.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项正确；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B、∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=12AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=12AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确.
C、∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；
D、.∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=12CG，
∴CG=2FG.
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG.故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，推出△BCE是等边三角形，据此判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可得CF=BF=AF=12AC，根据含30°角的直角三角形的性质可得BA=12AC，则BF=AB=AF=CF，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠DEC=90°，推出BF//ED，结合AB=DE可判断B；易得四边形BEDF是平行四边形，则BC=BE=DF，证明△ABC≌△CFD，据此判断C；易得∠FCG=30°，则CG=2FG，根据∠DCE=∠CDG=30°可得DG=CG，进而判断D.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，每条边垂直平分线所在的直线就是其对称轴，故它有3条对称轴；
B、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是其对称轴，故有无数条条对称轴；
C、长方形是轴对称图形，过每组对边中点的直线就是其对称轴，故有2条对称轴；
D、正方形是轴对称图形，过每组对边中点的直线就是其对称轴，每条对角线所在的直线也是其对称轴，故有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：因为△ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，
所以BE的长等于平移的距离，
由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，
所以BE=BC-EC=5-2=3.
故答案为： C.
【分析】根据平移的性质可得BE的长等于平移的距离，然后根据BE=BC-EC进行计算.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A、此图案不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：点A（a，2020）与点B（2022，b）关于x轴对称，
∴a=2022，b=-2020 ，
∴a+b=2022+(-2020)=2 ，
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得a=2022，b=-2020，然后根据有理数的加法法则进行计算.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得：五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，据此判断.
14．【答案】A
【解析】【解答】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a
∴S=4a2 ，圆的面积为 πa2
∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
∴黑色部分面积为圆面积的一半
∴S1=12πa2
∴S1：S=12πa2：(4a2)=π8 ，
故答案为：A.
【分析】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，利用中心对称图形的概念可得黑色部分面积为圆的面积的一半，根据圆的面积公式与正方形的面积公式求值，继而求出 S1：S 的比值 .
15．【答案】C
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，此项不符题意；
B、不是中心对称图形，此项不符题意；
C、是中心对称图形，此项符合题意；
D、不是中心对称图形，此项不符题意；
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
16．【答案】4
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，AB=3，
∴2AB2=AC2=18，
解之：AC=32；
∵将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，
∴A'C'=32；
∵ AA′＝13AC=2
∴A′C=AC-AA′=32-2=22
∴所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，其面积为12×222=4.
故答案为：4.
【分析】利用正方形的性质和勾股定理求出AC的长，利用平移的性质可求出A′C′的长；利用已知求出AA′的长，根据A′C=AC-AA′，可求出A′C的长；然后可证得所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，即可求出阴影部分的面积.
17．【答案】-3
【解析】【解答】解：∵点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，
∴m-2=-5
解之：m=-3.
故答案为：-3.
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
18．【答案】（-3，-2）
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质，得点（-3， 2 ）关于 x 轴对称的点的坐标为（-3，-2）.
故答案为：（-3，-2）.
【分析】关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答.
19．【答案】（2，-2）
【解析】【解答】解：如图，
旋转后的点A的坐标为（2，-2）.
故答案为：（2，-2）.
【分析】将线段OA绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的线段，可得到旋转后的点A的坐标.
20．【答案】40°
【解析】【解答】解：由反射定律得：∠FDO=∠CDB=20°，
∴∠DFO=180°-∠FDO-∠DOE=180°-20°-120°=40°，
∴∠AEF=∠DFO=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO，∠DEO=∠AEF，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，从而求出结果.
21．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.
22．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度得到AD'
∴∠DAD'=θ，AD=AD'
∴∠CAB=∠DAD'
即∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠BAD'
∴∠CAD=∠BAD'
∵∠CAD=∠BAD'AC=ABAD=AD'
得：△ADC≌△AD'B（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴△ACB∼△ADD'
故②对
∴S△AD'DS△ABC=(ADAC)2
即AD最小时S△AD'D最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=θ，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
23．【答案】5
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a=2，b=-3，
∴a-b=2-(-3)=5
故答案为：5.
【分析】关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，据此可得a、b的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
24．【答案】40°
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1=20° ，
由折叠的性质可得 ∠BAF=∠1=20° ，
∵CD//BE ，
∴∠HBA=∠BAF=20° ，
∴∠CHB=∠HAB+∠HBA=40° ，
∵CH//BD ，
∴四边形 CHBD 是平行四边形，
∴∠CHB=∠2=40° ；
故答案为：40°.
【分析】由折叠的性质可得 ∠BAF=∠1=20° ，由平行线的性质可得∠HBA=∠BAF=20°，利用三角形外角的性质可得∠CHB=∠HAB+∠HBA=40°，证明四边形 CHBD 是平行四边形，可得∠CHB=∠2=40°.
25．【答案】（2，2）
【解析】【解答】解：如图示： △A1B1C1 ， △A2B2C1 为所求，
根据图象可知， A2 的坐标是（2，2），
故答案是：（2，2）.
【分析】利用平移的性质和旋转的性质，画出△A2B2C1，即可得到点A2的坐标.
26．【答案】（1）解：令y＝0，则12x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．
（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴2k+b=0b=2，解得：k=-1b=2，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
【解析】【分析】（1）由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点A′的坐标.
（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，将点A′和点B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到直线A′B的函数解析式.
27．【答案】（1）解：方案一：50×3=150（米）
方案二：2502+502=1002（米）
1002<150所以方案二总长度更短
（2）解：如图，作EG⊥AB，FH⊥CD，垂足分别为G和H.则容易证明（省略）
△AEG≌△BEG≌△DFH≌△CFH(HL)
∵∠AEB=∠CFD=120°，
∴AG=BG=DH=CH=25（米），
GE=FH=33⋅25=2533，EF=GH-2EG=50-5033
AE=BE=CF=DF=5033
总长度：4AE+EF=4×5033+50-5033=503+50=50(1+3)（米）
∵50(1+3)<1002<150
所以小明的方案总长度最短.
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知正方形的边长为50m，利用方案一：沿正方形ABCD的三边铺设水管，可求出铺设水管的总长度；方案二：沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管，利用勾股定理求出对角线的长，再求出铺设水管的总长度；然后比较大小，可作出判断.
（2）作EG⊥AB，FH⊥CD，利用HL证明Rt△AEG≌Rt△BEG≌Rt△DFH≌Rt△CFH，利用全等三角形的性质可证得AG=BG=DH=CH，同时可求出CH的长；再利用解直角三角形求出GE，FH的长，可得到EF，GH的长；然后求出设水管的总长度；比较大小，可得答案.
28．【答案】（1）（1，1）；（0，4）；（2，2）
（2）解：由图知点B旋转到点B的弧长所对的圆心角是90°，OB=4，
点B旋转到点B的弧长=90π×4180=2π.
【解析】【解答】解：(1) 将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1 ，则 A1 （1，1）， B1 （0，4）， C1 （2，2）；
【分析】(1)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1 ，在坐标系中读出A1 ， B1 ， C1 点的坐标即可；
(2)由图知点B旋转到点B的弧长所对的圆心角是90°，且OB=4， 根据弧长公式计算即可求出结果.
29．【答案】（1）证明：如图1，
由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）解：①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝ 12 AB，AF＝ 12 AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，
∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝ 2 ，
∴当EH的长度为 2 时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为 2 或2时，△AQG为等腰三角形.
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：AH＝AG，∠HAG＝90°，由角的和差关系可得∠BAH＝∠CAG，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，易得EF是△ABC的中位线，则EF∥BC，AE＝12AB，AF＝12AC，然后证明△AEH≌△AFG，得到∠AFG＝∠AEH＝45°，据此求解；
②当AQ＝QG时，由等腰三角形的性质可得∠QAG＝∠AGQ，推出∠QAH＝∠AHQ，得到AQ＝QH＝QG，四边形AHFG是正方形，由AC的值可得AF的值，进而求得FG；当AG＝QG时，由等腰三角形的性质可得∠GAQ＝∠AQG，推出∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，得到EH＝AE＝2，据此解答.
30．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC，AO=CO ，
∴∠AEO=∠CFO ，
又∵∠AOE=∠COF ，
∴△AOE≌△COF(AAS) .
（2）解：当 α=90° 时四边形 AFCE 为菱形，
理由：∵△AOE≌△COF ，
∴OE=OF ，
又∵AO=CO ，
∴四边形 AFCE 为平行四边形，
又∵∠AOE=90° ，
∴四边形 AFCE 为菱形.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得 AD//BC，AO=CO，利用平行线的性质得出∠AEO=∠CFO，根据AAS可证△AOE≌△COF；
（2）当α=90°时四边形 AFCE 为菱形，理由：先证明四边形 AFCE 为平行四边，由∠AOE=90°，可证四边形 AFCE 为菱形
专题19 对称、平移、旋转 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）
一、单选题
1．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2022·郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·长沙）在平面直角坐标系中，点(5，1)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(-5，1) B．(5，-1) C．(1，5) D．(-5，-1)
4．（2022·永州）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．（2022·常德）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD.则下列结论错误的是（ ）
A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DE
C．∠DFC=90° D．DG=3GF
7．（2022·娄底）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·邵阳）下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
9．（2022·怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022·衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．可回收物 B．其他垃圾 C．有害垃圾 D．厨余垃圾
11．（2022·衡阳模拟）下列四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·衡阳模拟）已知点A（a，2020）与点B（2022，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
13．（2021·永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·张家界）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形 ABCD 的面积为 S ，黑色部分面积为 S1 ，则 S1：S 的比值为（ ）
A．π8 B．π4 C．14 D．12
15．（2021·长沙）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022·益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．
17．（2022·湘西）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝ ．
18．（2022·郴州）点 (-3，2) 关于 x 轴对称的点的坐标为 .
19．（2022·永州）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点.若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为 .
20．（2022·湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF=
21．（2022·娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 .
22．（2022·娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D'处，连接BD'.给出下列结论：①△ACD≅△ABD'；②△ACB∼△ADD'；③当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填结论对应的序号）.
23．（2022·怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b = .
24．（2021·湘西）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB 、 CD ，若 CD//BE ， ∠1=20° ，则 ∠2 的度数是 .
25．（2021·怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知 A(-2,1) ， B(-1,4) ， C(-1,1) ，将 △ABC 先向右平移3个单位长度得到 △A1B1C1 ，再绕 C1 顺时针方向旋转 90° 得到 △A2B2C1 ，则 A2 的坐标是 .
三、综合题
26．（2022·益阳）如图，直线y＝12x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
27．（2022·永州）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）.
方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管.
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短：
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），
满足∠AEB=∠CFD=120°，AE=BE=CF=DF，EF∥AD、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
28．（2022·湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）请写出A1、B1、C1三点的坐标：
A1 ，B1 ，C1 ；
（2）求点B旋转到点B1的弧长．
29．（2021·郴州）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB.
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q.
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
30．（2021·张家界）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠AOB=60° ，对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 α(0°<α<120°) ，所得的直线 l 分别交 AD ， BC 于点 E，F .
（1）求证： △AOE≌△COF ；
（2）当旋转角 α 为多少度时，四边形 AFCE 为菱形？试说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′．故①正确；
∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，
∴∠BAB′＝50°，
∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC，
∴AC∥C′B′．故②正确；
在△BAB′中，
∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝12（180°−50°）＝65°，
∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，
∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；
在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝12（180°−50°）＝65°，
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.
∴正确结论的序号为：①②④.
故答案为：B.
【分析】利用性质的性质可证得BC＝B′C′可对①作出判断；利用旋转的性质可得到∠BAB′＝50°，由此可求出∠B′AC的度数，同时可推出∠AB′C′＝∠B′AC，利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠AB′B的度数，由此可求出∠可得到∠BB′C′的度数，可对③作出判断；利用三角形的内角和定理求出∠ACC′的度数，可证得∠ABB′＝∠ACC′，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义一一判断即可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（-5，-1）.
故答案为：D.
【分析】关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，据此解答.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：图①是中心对称图形；图②是中心对称图形，图③是中心对称图形，图④不是中心对称图形，
∴是中心对称图形的有①②③.
故答案为：A.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，观察图形，可得到是中心对称图形的选项.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项正确；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、不是中心对称图形，故D选项错误.
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC，故A正确；
B、∵点F是边AC中点，
∴CF=BF=AF=12AC，
∵∠BCA=30°，
∴BA=12AC，
∴BF=AB=AF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠BHE=∠DEC=90°，
∴BF//ED，
∵AB=DE，
∴BF=DE，故B正确.
C、∵BF∥ED，BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BC=BE=DF，
∵AB=CF， BC=DF，AC=CD，
∴△ABC≌△CFD，
∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；
D、.∵∠ACB=30°， ∠BCE=60°，
∴∠FCG=30°，
∴FG=12CG，
∴CG=2FG.
∵∠DCE=∠CDG=30°，
∴DG=CG，
∴DG=2FG.故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，推出△BCE是等边三角形，据此判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可得CF=BF=AF=12AC，根据含30°角的直角三角形的性质可得BA=12AC，则BF=AB=AF=CF，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠DEC=90°，推出BF//ED，结合AB=DE可判断B；易得四边形BEDF是平行四边形，则BC=BE=DF，证明△ABC≌△CFD，据此判断C；易得∠FCG=30°，则CG=2FG，根据∠DCE=∠CDG=30°可得DG=CG，进而判断D.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，每条边垂直平分线所在的直线就是其对称轴，故它有3条对称轴；
B、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是其对称轴，故有无数条条对称轴；
C、长方形是轴对称图形，过每组对边中点的直线就是其对称轴，故有2条对称轴；
D、正方形是轴对称图形，过每组对边中点的直线就是其对称轴，每条对角线所在的直线也是其对称轴，故有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：因为△ABC沿BC方向平移，点E是点B移动后的对应点，
所以BE的长等于平移的距离，
由图可知，点B、E、C在同一直线上，BC=5，EC=2，
所以BE=BC-EC=5-2=3.
故答案为： C.
【分析】根据平移的性质可得BE的长等于平移的距离，然后根据BE=BC-EC进行计算.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：A、此图案不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、此图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
11．【答案】D
【解析】【解答】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：点A（a，2020）与点B（2022，b）关于x轴对称，
∴a=2022，b=-2020 ，
∴a+b=2022+(-2020)=2 ，
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得a=2022，b=-2020，然后根据有理数的加法法则进行计算.
13．【答案】C
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得：五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，据此判断.
14．【答案】A
【解析】【解答】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a
∴S=4a2 ，圆的面积为 πa2
∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
∴黑色部分面积为圆面积的一半
∴S1=12πa2
∴S1：S=12πa2：(4a2)=π8 ，
故答案为：A.
【分析】设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，利用中心对称图形的概念可得黑色部分面积为圆的面积的一半，根据圆的面积公式与正方形的面积公式求值，继而求出 S1：S 的比值 .
15．【答案】C
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，此项不符题意；
B、不是中心对称图形，此项不符题意；
C、是中心对称图形，此项符合题意；
D、不是中心对称图形，此项不符题意；
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
16．【答案】4
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，AB=3，
∴2AB2=AC2=18，
解之：AC=32；
∵将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，
∴A'C'=32；
∵ AA′＝13AC=2
∴A′C=AC-AA′=32-2=22
∴所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，其面积为12×222=4.
故答案为：4.
【分析】利用正方形的性质和勾股定理求出AC的长，利用平移的性质可求出A′C′的长；利用已知求出AA′的长，根据A′C=AC-AA′，可求出A′C的长；然后可证得所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，即可求出阴影部分的面积.
17．【答案】-3
【解析】【解答】解：∵点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，
∴m-2=-5
解之：m=-3.
故答案为：-3.
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
18．【答案】（-3，-2）
【解析】【解答】解：根据轴对称的性质，得点（-3， 2 ）关于 x 轴对称的点的坐标为（-3，-2）.
故答案为：（-3，-2）.
【分析】关于x轴对称的点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答.
19．【答案】（2，-2）
【解析】【解答】解：如图，
旋转后的点A的坐标为（2，-2）.
故答案为：（2，-2）.
【分析】将线段OA绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的线段，可得到旋转后的点A的坐标.
20．【答案】40°
【解析】【解答】解：由反射定律得：∠FDO=∠CDB=20°，
∴∠DFO=180°-∠FDO-∠DOE=180°-20°-120°=40°，
∴∠AEF=∠DFO=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO，∠DEO=∠AEF，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，从而求出结果.
21．【答案】2
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.
22．【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度得到AD'
∴∠DAD'=θ，AD=AD'
∴∠CAB=∠DAD'
即∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠BAD'
∴∠CAD=∠BAD'
∵∠CAD=∠BAD'AC=ABAD=AD'
得：△ADC≌△AD'B（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴△ACB∼△ADD'
故②对
∴S△AD'DS△ABC=(ADAC)2
即AD最小时S△AD'D最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=θ，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
23．【答案】5
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a=2，b=-3，
∴a-b=2-(-3)=5
故答案为：5.
【分析】关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，据此可得a、b的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
24．【答案】40°
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1=20° ，
由折叠的性质可得 ∠BAF=∠1=20° ，
∵CD//BE ，
∴∠HBA=∠BAF=20° ，
∴∠CHB=∠HAB+∠HBA=40° ，
∵CH//BD ，
∴四边形 CHBD 是平行四边形，
∴∠CHB=∠2=40° ；
故答案为：40°.
【分析】由折叠的性质可得 ∠BAF=∠1=20° ，由平行线的性质可得∠HBA=∠BAF=20°，利用三角形外角的性质可得∠CHB=∠HAB+∠HBA=40°，证明四边形 CHBD 是平行四边形，可得∠CHB=∠2=40°.
25．【答案】（2，2）
【解析】【解答】解：如图示： △A1B1C1 ， △A2B2C1 为所求，
根据图象可知， A2 的坐标是（2，2），
故答案是：（2，2）.
【分析】利用平移的性质和旋转的性质，画出△A2B2C1，即可得到点A2的坐标.
26．【答案】（1）解：令y＝0，则12x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．
（2）解：设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴2k+b=0b=2，解得：k=-1b=2，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
【解析】【分析】（1）由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点A′的坐标.
（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，将点A′和点B的坐标代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到直线A′B的函数解析式.
27．【答案】（1）解：方案一：50×3=150（米）
方案二：2502+502=1002（米）
1002<150所以方案二总长度更短
（2）解：如图，作EG⊥AB，FH⊥CD，垂足分别为G和H.则容易证明（省略）
△AEG≌△BEG≌△DFH≌△CFH(HL)
∵∠AEB=∠CFD=120°，
∴AG=BG=DH=CH=25（米），
GE=FH=33⋅25=2533，EF=GH-2EG=50-5033
AE=BE=CF=DF=5033
总长度：4AE+EF=4×5033+50-5033=503+50=50(1+3)（米）
∵50(1+3)<1002<150
所以小明的方案总长度最短.
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知正方形的边长为50m，利用方案一：沿正方形ABCD的三边铺设水管，可求出铺设水管的总长度；方案二：沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管，利用勾股定理求出对角线的长，再求出铺设水管的总长度；然后比较大小，可作出判断.
（2）作EG⊥AB，FH⊥CD，利用HL证明Rt△AEG≌Rt△BEG≌Rt△DFH≌Rt△CFH，利用全等三角形的性质可证得AG=BG=DH=CH，同时可求出CH的长；再利用解直角三角形求出GE，FH的长，可得到EF，GH的长；然后求出设水管的总长度；比较大小，可得答案.
28．【答案】（1）（1，1）；（0，4）；（2，2）
（2）解：由图知点B旋转到点B的弧长所对的圆心角是90°，OB=4，
点B旋转到点B的弧长=90π×4180=2π.
【解析】【解答】解：(1) 将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1 ，则 A1 （1，1）， B1 （0，4）， C1 （2，2）；
【分析】(1)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1 ，在坐标系中读出A1 ， B1 ， C1 点的坐标即可；
(2)由图知点B旋转到点B的弧长所对的圆心角是90°，且OB=4， 根据弧长公式计算即可求出结果.
29．【答案】（1）证明：如图1，
由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）解：①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝ 12 AB，AF＝ 12 AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，
∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝ 2 ，
∴当EH的长度为 2 时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，
∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为 2 或2时，△AQG为等腰三角形.
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得：AH＝AG，∠HAG＝90°，由角的和差关系可得∠BAH＝∠CAG，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，易得EF是△ABC的中位线，则EF∥BC，AE＝12AB，AF＝12AC，然后证明△AEH≌△AFG，得到∠AFG＝∠AEH＝45°，据此求解；
②当AQ＝QG时，由等腰三角形的性质可得∠QAG＝∠AGQ，推出∠QAH＝∠AHQ，得到AQ＝QH＝QG，四边形AHFG是正方形，由AC的值可得AF的值，进而求得FG；当AG＝QG时，由等腰三角形的性质可得∠GAQ＝∠AQG，推出∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，得到EH＝AE＝2，据此解答.
30．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC，AO=CO ，
∴∠AEO=∠CFO ，
又∵∠AOE=∠COF ，
∴△AOE≌△COF(AAS) .
（2）解：当 α=90° 时四边形 AFCE 为菱形，
理由：∵△AOE≌△COF ，
∴OE=OF ，
又∵AO=CO ，
∴四边形 AFCE 为平行四边形，
又∵∠AOE=90° ，
∴四边形 AFCE 为菱形.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得 AD//BC，AO=CO，利用平行线的性质得出∠AEO=∠CFO，根据AAS可证△AOE≌△COF；
（2）当α=90°时四边形 AFCE 为菱形，理由：先证明四边形 AFCE 为平行四边，由∠AOE=90°，可证四边形 AFCE 为菱形
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