2022-2023学年陕西省西安市高新区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市高新区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.    下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    如图，，，且，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.    一元二次方程配方后可化为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.    晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是(    )

A. 先变短后变长 B. 先变长后变短 C. 逐渐变短 D. 逐渐变长

7.    受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元升，五月底是元升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.    如图，在平面直角坐标系中，，将以原点为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点对应点为点，则点坐标为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

9.    一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则红球的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形，若，，那么线段与的比等于(    )
     

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11. 若四条线段、、、是成比例线段，其中，，，则______．
12. 如果，那么______．
13. 已知一元二次方程的两个根为，，则______．
14. 如图是某几何体的三视图．已知主视图和左视图是两个全等的矩形，俯视图是直径等于的圆，若矩形的长为，宽为，则这个几何体的体积为______．

15. 小军与小王一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“石头”的概率是______．
16. 如图，线段、的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点若每个小正方形的边长都是，则的值是______ ．

17. 如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点若线段恰好平分矩形的面积，且，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    解方程：．
19. 本小题分
    如图，等腰的顶角，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽保留作图痕迹，不写作法

20. 本小题分
    如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路分别与矩形的一条边平行，剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少？

21. 本小题分
    如图，三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍得．
    在图中第一象限内画出符合要求的；不要求写画法
    的面积是：______．

22. 本小题分
    防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了，，三个测温通道，某天早晨，该校小红和小星两位同学将随机通过测温通道进入校园．
    小红从测温通道通过的概率是______；
    利用画树状图或列表的方法，求小红和小星从不同的测温通道通过的概率．
23. 本小题分
    关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程有两个相等的实数根，写出满足条件的值，并求此时方程的根．
24. 本小题分
    小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小明的身高为米，求旗杆的高．
     

25. 本小题分
    如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，过点作射线交于点，使．
    求证：；
    当点为中点时，求的值；
    当时，求的值．

26. 本小题分
    【问题呈现】
    如图，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；
    小明同学给出了如下解决思路：
    以为边作等边，连接，则易证≌，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为______．
    
    【类比探究】
    如图，在凸四边形中，，，，连接，中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
    【实际应用】
    工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件，如图所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连结，在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关
    系．不写证明过程
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据左视图的定义，从左边观察得到的图形，是选项C．
故选：．
根据左视图的定义，画出左视图即可判断．
本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义，是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.方程整理可得，，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
，
，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：人从马路边向一盏路灯下靠近时，光与地面的夹角越来越大，人在地面上留下的影子越来越短，
当人到达路灯的下方时，人在地面上的影子变成一个圆点，
当人再次远离路灯时，光线与地面的夹角越来越小，人在地面上留下的影子越来越长，
所以人在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度变化是先变短后变长．
故选：．
光沿直线传播，当光遇到不透明的物体时将在物体的后方形成影子，影子的长短与光传播的方向有关．
本题主要考查中心投影，由同一点点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得，
故选：．
利用该地号汽油五月底的价格该地号汽油三月底的价格该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．
 

8.【答案】 

【解析】解：将以原点为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点的坐标为，
点坐标为或，即或，
故选：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

9.【答案】 

【解析】解：设红球的个数为个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则红球的个数为个．
故选：．
根据口袋中有个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
同理四边形的其它内角都是，
四边形是矩形．
矩形的对边相等；
又，，
等量代换，
同理，
，
≌，
，
又，
，
在中，，，
根据勾股定理得．
又，
，
又折叠后、都落在点上，
，
：：．
故选：．
先根据图形翻折的性质可得到四边形是矩形，再根据全等三角形的判定定理得出≌，再由勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答．
本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等．
 

11.【答案】 

【解析】解：已知，，，是成比例线段，
根据比例线段的定义得：：，即，
代入、、，
得，
解得：．
故答案为：．
根据成比例线段的定义，将，及的值代入即可求得．
本题考查了比例线段，掌握成比例线段的定义是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
．
故答案为：．
根据分比性质计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
，，
．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由三视图知几何体为圆柱，且底面圆的半径是，高是，
这个几何体的体积为：．
故答案为：．
由三视图得此几何体为：圆柱，并得到圆柱的底面半径和高，由体积公式计算出几何体的体积．
本题考查由三视图求体积，解题的关键是熟练掌握三视图的作图规则，由三视图还原出实物图的几何特征．
 

15.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，两同学同时出“石头”的有种情况，
两同学同时出“石头”的概率是，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“石头”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，设小正方形的边长为，取格点，，设交格线于．

，
∽，
：：：，
，
，
，
∽，
，
．
故答案为：．
如图，设小正方形的边长为，取格点，，设交格线于证明∽，求出，，再证明∽，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于，

线段恰好平分矩形的面积，
是矩形的对称中心，
，
作，，
四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
同理可得，
，
，
，
由得，
，
∽，
，
，
，
在中由勾股定理得，
，
，
故答案为：，
先判断过矩形的对称中心，作，，证明∽，从而求出，进而求得．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
则或，
解得，． 

【解析】移项后，再将左边因式分解得出，继而得或，再进一步求解即可．
本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当方法是解题关键．
 

19.【答案】解：如图，点即为所作．
 

【解析】作线段的垂直平分线，与的交点即为点．
本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．
 

20.【答案】解：设道路的宽应设计为，则栽种花草部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：道路的宽应设计为． 

【解析】设道路的宽应设计为，则栽种花草部分可合成长为，宽为的矩形，根据栽种花草的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：
；
的面积，故答案为．
延长到，使，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可；
把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．
考查位似图形的画法及相关计算；得到关键点的位置是解决本题的关键；网格中三角形面积的求法通常整理为规则图形的面积的和或者差．
 

22.【答案】 

【解析】解：一共有三个通道，小红一次只能通过一个通道，
小红从测温通道通过的概率是．
列表格如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中小明和小红从不同的测温通道通过的情况有种，
所以小明和小红从同一个测温通道通过的概率为．
直接利用概率公式求解可得答案；
先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】证明：

，
方程总有两个实数根；
根据题意，得，
，
方程化为，
解得． 

【解析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
利用，可得，然后解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了解方程．
 

24.【答案】解：，
，
，
∽，
，即，
，
同理得∽，
，即，
，
米，
答：旗杆的高是米． 

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
先证明∽，列比例式可得的长，再证明∽，可得的长，最后由线段的差可得结论．
 

25.【答案】证明：如图，，
，
，
，
∽，
．
解：如图，，，点为中点，
，
由得，
．
解：如图，，
作于点，则，
由得，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】由得，而，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽，得；
由点为中点得，而，由得；
作于点，则，由，，证明∽，即可根据“相似三角形的对应边成比例”求出的值．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，
，，
以为边作等边，连接，
，，
，
≌，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
中的结论改变，；
证明：，，
是等腰直角三角形，
如图，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，

，，
≌，
，
，，
，
，
；
，是的中点，
，，
，
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，

，，，
，
，
∽，
，，
，
厘米，厘米，
，
，
，
，
，
，
，
即．
根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；
如图，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论；
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．